2014 Збірка олімпіадних завдань з математики

Олімпіадні завдання

1. 
   В акваріумі живе 200 рибок. З них 1% голубого кольору, решта жовті скільки жовтих рибок потрібно забрати з акваріуму, щоб голубі рибки становили 2% рибок, що залишилися в акваріумі?
   
2. 
   Якщо число a дорівнює 12 % від 75, число b–75 % від 12, число c –
   

30 % від 30. Яке виконується співвідношення між цими числами?

3. 
   Учора число учнів, присутніх у класі, було у 8 разів більше числа відсутніх. Сьогодні не прийшли ще два учні і виявилося, що кількість відсутніх складає 20% від числа присутніх у класі. Скільки всього учнів у класі?
   
4. 
   Є 25 коробок цукерок трьох сортів. Доведіть, що серед них знайдуться 9 коробок цукерок того самого сорту.
   
5. 
   Є три купки камінців: у першій – 10, у другій – 15, у третій – 20. За один хід дозволяється розбити будь – яку купку на дві менші. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?
   
6. 
   У новосформованому десятому класі деякі учні виявилися вже знайомими між собою, а деякі – ні. В перший день навчання кожна дівчинка замріяно подивилася на кожного із знайомих хлопців, тоді як кожен хлопець замріяно подивився на кожну з незнайомих дівчат. Усього було 117 замріяних поглядів. Скільки в класі хлопців і скільки дівчат, якщо всього в класі не більше 40 учнів?
   
7. 
   10 школярів на олімпіаді розв’язали 35 задач, причому відомо, що серед них є школярі, які розв’язали рівно одну задачу, які розв’язали рівно дві задачі, і школярі, які розв’язали рівно три задачі. Доведіть, що є школяр, який розв’язав не менше ніж п’ять задач.
   
8. 
   На вступних екзаменах в університет учень повинен відповісти на 80% питань правильно. Петро опрацював 15 питань. Він упевнений, що на 10 з них відповів правильно. Якщо Петро відповість правильно на всі питання, що залишились у тесті, він пройде тест рівно на 80%. Скільки питань у тесті?
   
9. 
   Зафарбуйте декілька клітинок у квадраті 1010 так, щоб у кожної клітинки було рівно дві сусідні за стороною зафарбовані клітинки.
   
10. 
    Число а на 20% менше ніж b. На скільки відсотків більше ?
    
11. 
    Три спортсмени Михайло, Федір і Степан взяли участь у перегонах. Зразу після старту Михайло був першим, Федір другим, Степан третім. Під час перегонів Михайло і Федір обганяли один одного 9 разів, Федір і Степан –10 разів, Михайло і Степан 11 разів. У якому порядку гонщики фінішували?
    
12. 
    На рисунку біля кожного вузла потрібно записати деяке дійсне число так, щоб суми чисел на кінцях кожного відрізка були однаковими. Яке число має стояти на місці x, якщо два числа вже записані?
    

13. 
    З квадратних плиток виклали прямокутник площею 360 см². Довжина прямокутника –24 см, а ширина –5 плиток. Знайти площу плитки.
    
14. 
    Дано два куби з ребрам а і а+1 дм відповідно. З більшого куба, що був повністю заповнений водою,перелили частину води у менший – порожній, який тепер заповнено водою повністю. У великому кубі залишилося 217 л. Скільки літрів води перелили у менший куб?
    
15. 
    48 дітей поїхали на прогулянку. Шість з них мали рівно одного родича серед решти дітей, дев’ять рівно двох, чотири рівно трьох. Решта
    

дітей не мали родичів на прогулянці. Скільки родин було представлено на прогулянці?

16. 
    Обчислить значення виразу:
    

17. 
    Викладач запропонував учням з одного классу переписати контрольну роботу. На перездачу прийшло дві третини всіх хлопців і три п’ятих всіх дівчат, що навчаються в класі. Загалом у класі 27 дітей. Скільки учнів вирішили не перездавати контрольної роботи?
    
18. 
    Дійсні числа задовольняють рівність:
    

.

Доведіть, що принаймні два з них рівні за модулем.

19. 
    Для додатних чисел доведіть нерівність .
    
20. 
    Відомо, що . Знайдіть значення виразу
    

.

21. 
    Знайти натуральні числа , при яких дріб є скоротним.
    
22. 
    Числа задовольняють умови: , та . Доведіть, що виконується нерівність .
    
23. 
    Знайдіть усі натуральні числа , які задовольняють рівність: .
    
24. 
    Натуральні числа задовольняють умову . Чи може бути простим число ?
    
25. 
    Довести нерівність a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.
    
26. 
    Числа утворюють арифметичну прогресію, а числа утворюють геометричну прогресію. Знайти х та у.
    
27. 
    Обчислити , якщо .
    
28. 
    Знайти квадратний тричлен з цілими коефіцієнтами такий, щоб один із його коренів був 1 - .
    
29. 
    Знайдіть суму коренів рівняння (х - 1)³ = 4(х - 1).
    
30. 
    Задані три квадратних рівняння: , , . Відомо, що перше квадратне рівняння має корінь . Доведіть, що усі три рівняння мають спільний корінь.
    
31. 
    Розв’яжіть рівняння: .
    
32. 
    Розв’язати рівняння .
    
33. 
    Нехай - розв’язки системи рівнянь
    

Знайти добуток .

34. 
    Розв’язати систему рівнянь:
    
35. 
    Розв’язати систему рівнянь:
    
36. 
    Розв’язати рівняння
    
37. 
    Розв’язати рівняння:
    
38. 
    Розв’язати рівняння |x² + x + 3| = x
    
39. 
    Розв’язати рівняння |x + 3| = x² + x - 6.
    
40. 
    Розв’язати рівняння x|x| + 8x - 7 = 0.
    
41. 
    Довести нерівність: (1 + )(1 + ) ≥ 9, якщо x + y =1, x > 0, y > 0.
    
42. 
    Розв’язати нерівність: < 4 - x.
    
43. 
    Розв’язати нерівність : |x² - 4| < 3x.
    
44. 
    Розв’язати нерівність : |x² + x - 2| > |x + 2|.
    
45. 
    Знайти найменший цілий розв’язок нерівності .
    
46. 
    Розв’язати нерівність :
    
47. 
    Побудувати графік функції .
    
48. 
    Побудувати на координатній площині фігуру, задану системою нерівностей
    
49. 
    Побудувати графік функції .
    
50. 
    Побудуйте графік функції .
    
51. 
    При яких значеннях параметра а один з коренів рівняння
    

x² - 2(a +3)x + a² - 3a + 2 = 0 у 2 рази більший за другий?

52. 
    Знайти дійсні значення параметра , при яких нерівність справедлива для всіх тих значень х, які задовольняють нерівність .
    
53. 
    На малюнку зображено фігуру, що складається з правильного шестикутника зі стороною 1 см, шести трикутників і шести квадратів. Чому дорівнює периметр утвореного 12-кутника?
    
54. 
    Знайдіть суму внутрішніх кутів при вершинах зірчастого семикутника.
    
55. 
    Два кола, центри яких лежать на одній діагоналі квадрата, дотикаються між собою і до сторін квадрата, як на рисунку. Сторона квадрата дорівнює 1см. Чому дорівнює сума радіусів цих кіл (в сантиметрах)?
    
56. 
    В трикутнику АВС () проведені бісектриси внутрішніх кутів Знайти кут .
    
57. 
    У прямокутному трикутнику бісектриса одного з гострих кутів дорівнює , де гіпотенуза. Знайти катети цього трикутника.
    
58. 
    Трапеція лежить в площині , =8см. Поза площиною взяли точку : на відрізку відмітили точку таку, що . Побудуйте точку , яка є перетином площини і відрізка та знайдіть довжину відрізка .
    
59. 
    Від правильного трикутника відрізали трикутник так, що утворилась рівнобічна трапеція. Дві такі трапеції приклали сторонами так, що утворився паралелограм. Периметр цього паралелограма на 10 см більший від периметра даного трикутника. Яким є периметр цього трикутника?
    
60. 
    AF – медіана трикутника ABC. Нехай D – середина AF, E – точка перетину прямої CD зі стороною AB і BD = BF = CF. Довести, що AE = DE.
    
61. 
    Чотири довільні точки A, B, C, D простору з’єднані між собою відрізками AB, BC, CD, DA; середини цих відрізків позначимо відповідно М, N, P, Q. Яка утвориться фігура, якщо провести відрізки MN, NP, PQ, QM?
    
62. 
    На сторонах ВС, СА, АВ трикутника АВС взяті точки А₁, В₁, С₁ такі, що ВА₁ : АС₁ = СВ₁ : В₁А = АС₁ : С₁В = 1 : 2. При перетині відрізків АА₁, ВВ₁, СС₁ утворюється трикутник. Знайдіть відношення площі цього трикутника до площі трикутника АВС.
    
63. 
    У колі проведено два радіуса. Побудуйте хорду, яка ділиться цими радіусами на три рівні частини
    
64. 
    Прямокутник поділили на три менші прямокутники, два з яких мають розміри 7x11 і 4 х 8. Знайдіть розміри третього прямокутника, якщо відомо, що його площа максимально можлива.
    
65. 
    На скляний куб з стороною 1 дм хлопець наклеїв декілька однакових золотих квадратів так як це показано на малюнку. Поверхня куба виглядає однаковою з усіх боків. Чому дорівнює площа позолоченої частини поверхні куба (позначеної на малюнку чорним кольором)?
    
66. 
    Периметр трикутника АВС дорівнює 2р, довжина сторони АС=в, . Коло з центром в точці О, вписане в трикутник АВС і дотикається до сторони ВС в точці К. Знайдіть площу трикутника ВОК.
    
67. 
    На колі з центром O позначили точки A, B, C, D, E так, як це показано на малюнку, причому _ACE=50°. Обчисліть градусну міру ADB.
    

68. 
    Центри кіл, радіус кожного з яких 2, не перетинаються і лежать у вершинах трикутника. Знайдіть суму площ заштрихованих фігур.
    
69. 
    Побудувати прямокутний трикутник за сумою катетів і гіпотенузою.
    
70. 
    Побудувати трикутник, знаючи його сторону, протилежний кут і висоту, яка проведена до іншої сторони.
    

Основою піраміди є прямокутник , причому Бічне ребро перпендикулярне до площини основи і має довжину . Знайти відстань між прямими .

Відповіді та вказівки

1. 
   Кількість рибок голубого кольору . Щоб вони становили 2 %, в акваріумі повинно бути 100 рибок, тому вони повинні забрати 200-100=100 рибок з акваріуму.
   
2. 
   а = 75٠0,12 = 9, b= 12٠0,75 = 9, с = 30٠0,3 = 9. Тому, а = b= с.
   
3. 
   36.
   
4. 
   Нехай таких коробок 8, то 25 = 24:3+1. Отже, серед них є 9 коробок цукерок того самого сорту.
   
5. 
   Другий гравець виграє без будь – якої стратегії. Після кожного ходу кількість купок збільшиться на 1. У кінці гри їх має стати 45, буде зроблено 42 ходи. Отже, останній хід зробить другий гравець.
   
6. 
   9 хлопців і 13 дівчат або 13 хлопців і 9 дівчат. Нехай у класі було х хлопчиків та у дівчаток. У кожній парі дівчина-хлопець був рівно один замріяний погляд, тому ху = 117. Оскільки 117 = 1 117 = 117 1 = 3 39 = =39 3 = 9 13 = 13 9, тому умову задачі задовольняють х = 9, у = 13 або х = 13, у = 9.
   
7. 
   Знайдеться 7 учнів, які разом розв’язали 35 – (1 + 2 + 3) = 29 задач. Оскільки 29 7 • 4, то знайдеться учень, який розв’язав не менше 5 задач.
   
8. 
   Нехай тест має х завдань. Оскільки з перших 15 задач він зробив 10 правильно, а решта усі задачі він повинен був зробити правильно, щоб отримати 80% від усіх задач, то записуємо рівняння
   

= 0,8

0,2x = 5

x = 25

9. 
   
   

10. 
    За умовою , тоді . Отже, число на 125% більше, ніж число .
    
11. 
    Якщо спортсмени обігнали один одного парну кількість разів, то вони фінішують у тому ж порядку, в якому стартували, а якщо непарну - в протилежному. Тому Федір фінішує перед Степаном, а Степан перед Михайлом.
    
12. 
    Оскільки суми чисел на кінцях кожного відрізка однакові, то біля кожного з вузлів може бути записане лише одне з двох чисел: 1 або 4, причому, на кінцях кожного відрізка записані різні числа. Послідовно ставлячи числа у вузлах ґратки, одержимо, що х =1.
    
13. 
    Ширина прямокутник 360 :24 = 15 см. Тому довжина сторони плитки 15 : 5 = 3 см і площа 3٠3 = 9 см².
    
14. 
    У більшому кубі залишилося (а +1 )³ - а³ = 217 дм³ води, звідси а = 8 дм. Отже, в менший куб перелили а³ = 512 л води.
    
15. 
    Шестеро дітей, що мають рівно одного родича серед решти дітей, представляють 6:2 = 3 сім’ї; дев’ятеро, що мають рівно двох родичів, представляють 9:3 = 3 сім’ї; четверо, що мають рівно трьох родичів, представляють 4:4 = 1 сім’ю. Решта 48-6-9-4 = 29 дітей представляють по одній сім’ї кожний. Тому на прогулянці було представлено 3 + 3 + 1+29 = 36 сімей.
    
16. 
    Використовуючи рівність: , зробимо такі перетворення:
    

17. 
    Кількість хлопців, що навчаються в класі ділитися на 3, а кількість дівчат - на 5. Отже, 3х + 5у = 27, де 3х і 5у відповідно кількість хлопців і дівчат, що навчаються в класі. Звідси х = 4, у = 3. Отже, на перездачу не прийшло 10 дітей.
    
18. 
    Перепишемо рівність таким чином:
    

.

Якщо , то твердження доведене, бо . Інакше, скоротимо на і будемо мати, що

або ,

звідки й випливає, що або , або . Твердження доведене.

19. 
    
    

20. 
    Зауважимо, що . Помножимо задану рівність на , тоді маємо, що
    

.

Звідси

.

21. 
    Нехай заданий дріб скоротний на число , тоді . Оскільки число 5 має тільки два дільники 1 та 5 і , то , , ,
    

, де довільне ціле невід’ємне число.

Відповідь: .

22. 
    Оскільки добуток двох додатних чисел є додатнім числом, то:
    

,

звідки й випливає шукана нерівність.

23. 
    При діленні на степені числа дають з періодом остачі , та , при цьому тоді і тільки тоді, коли Але це означає, що , проте це неможливо. Одержана суперечність завершує доведення.
    
24. 
    З умови задачі випливає, що число є натуральним. Тоді існують такі числа , що , , . Звідси і маємо, що
    

– не просте число.

25. 
    Помножимо дану нерівність на 2 та перенесемо всі доданки у праву частину нерівності:
    

2a² + 2b² + 2 – 2ab – 2a - 2b = a² - 2ab + b² + a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 = ( a - b)² + (a – 1)² + (b – 1)² ≥ 0.

26. 
    Використовуючи основну властивість арифметичної прогресії запишемо: . Аналогічно, за основною властивістю геометричної прогресії, маємо . Отримали систему: ця система розпадається на дві:
    

27. 
    
    

28. 
    Якщо квадратний тричлен має корінь 1 - , то він також матиме корінь
    

1 + . Використовуючи теорему Вієта, матимемо:

x² - (( 1 - ) + (1 + ))x + ( 1 - )(1 + ) = x² - 2x – 2.

29. 
    х₁ + х₂+х₃ = -1+1+3 = 3
    
30. 
    З теореми Вієта перше рівняння має корені , які задовольняють рівність: , Оскільки за умовою , то . Тому коефіцієнти задовольняють рівність: . Отже, є коренем кожного з цих рівнянь.
    
31. 
    Оскільки , то задане рівняння можна переписати у вигляді: , або , це рівносильне умові , тобто розв’язком рівняння є множина чисел .
    
32. 
    Приведемо рівняння до вигляду: введемо заміну: , отримаємо рівняння: звідки або звідки .
    

33. 
    Розв'язання.
    

34. 
    Помножимо друге рівняння на 2 та додамо до третього рівняння системи:
    

x² + 2xy + y²) + z² + 2z(x + y) = 16.

Враховуючи умову , одержиммо:

z² + 4z – 12 = 0,

z₁ = - 6, z₂ = 2.



Розв’язавши ці дві системи, маємо розв’язок (1;1;2).

35. 
    Позначимо , тоді
    

або

або або , бо перша система

не має розв’язку.

36. 
    
    

37. 
    При х = 0 рівняння перетворюється у правильну рівність.
    

При х > 0 ліва частина рівняння додатна, а права від’ємна, бо < 1.

Нарешті, при х < 0, навпаки, права частина додатна, а ліва від’ємна.

Отже, маємо відповідь: х = 0.

38. 
    
    

x = 1, або x = .

39. 
    
    

x = 3, або x = -3

40. 
    
    

х=

41. 
    
    

(1 + )(1 + ) – 9 = = = = = ≥ 0.

42. 
    Відповідь:  0; 3].
    
43. 
    
    

х

44. 
    
    

(x² + x - 2)² > (x + 2)²;

(x - 1)²(x + 2)² > (x + 2)²

x = -2 не являється коренем, розділимо на (x + 2)²:

45. 
    ОДЗ: . Найменше ціле число, що задовольняє ОДЗ . Перевіримо, чи це значення задовольняє нерівність: . Тобто найменший цілий розв’язок рівняння -2.
    
46. 
    
    

47. 
    Представимо функцію у вигляді:
    

48. 
    Обидві фігури, кожна з яких визначається однією з даних нерівностей, симетричні відносно кожної координатної осі . У зв’язку з цим можна розглянути фігуру, яка визначається даною системою і розміщена в першій чверті, тобто фігуру, для якої Шукана фігура складається з чотирьох параболічних сегментів, які на малюнку заштриховані.
    
49. 
    , . Нулі модуля: , . Нулі модуля розбивають область визначення функції на проміжки.
    

Функція приймає вигляд:

50. 
    Побудуйте графіки функцій
    

51. 
    a .
    
52. 
    Дискримінант квадратного тричлена дорівнює:
    

. Розглянемо можливі випадки:

, який входить у розв’язок нерівності , тобто не задовольняє умові. Якщо , то , для всіх , крім , що не входить до розв’язків нерівності , тобто задовольняє умові задачі.

Відповідь: .

53. 
    АВО = СВЕ = 90°. АВС = 120°, як кут у правильному шестикутнику.
    

Тому DВЕ = 360°- АВD - DВЕ - СВЕ = 60° і ВЕ = ОВ. Отже,

DВЕ - правильний. Кожна зі сторін утвореного 12-кутника дорівнює 1 см. Тоді периметр фігури дорівнює 12 см.

54. 
    Сума кутів трикутника дорівнює 180˚, а сума кутів чотирикутника дорівнює 360˚. Отже, 108˚ + 360˚ = 540˚.
    
55. 
    Введемо позначення згідно з малюнком. Нехай а Тоді , Отже, .
    

Звідси

56. 
    бісектриса зовнішнього кута трикутника . Тому точка є перетином продовження бісектриси і бісектриси . Це означає, що бісектриса кута . Аналогічно, бісектриса кута . Оскільки кут між бісектрисами двох суміжних кутів – прямий, то .
    

57. 
    Нехай ВК – бісектриса кута В і . Нехай у , , . Застосуємо теорему синусів до : . Спростивши це рівняння, отримаємо квадратне рівняння , звідки . Отже, катети трикутника дорівнюють: .
    
58. 
    Площиниі перетинаються по прямі, яка є паралельною до . Тому і .
    
59. 
    Нехай а – сторона правильного трикутника, а х – менша основа трапеції, що утворилася після відрізання кута. Тоді периметр утвореного паралелограма Р = 2((а + х) + (а - х)) = 4а. Звідси а = 10. Периметр цього трикутника 30см.
    
60. 
    Нехай М – середина DF, N – середина ВЕ, ВМ  AF і ED  NF. Оскільки AD = DF, то AE = EN, а з того, що BF = FC випливає, що EN = NB. Якщо AD : AM = 2 : 3 і AN : AB = 2 : 3, то ND  BM, тобто ND – висота трикутника ANF. Оскільки вона є медіаною, то трикутник ANF – рівнобедрений. Враховуючи, що ED  NF, то трикутник AED також рівнобедрений.
    

61. 
    Вказівка: утвориться паралелограм.
    

Достатньо переконатися в тому, що (MN) ‖(AC)  (PQ) і(MQ)  (BD)  (NP).

62. 
    1 : 7.
    
63. 
    Нехай ОА і ОВ – два даних радіуса. Продовжимо відрізок АВ в обидві сторони так, що АС=ВD=АВ. ОС і ОD перетинає коло в точках Е і F. Очевидно що ЕF – шукана хорда (використовується гомотетія).
    
64. 
    Шуканий прямокутник може мати розміри 1×11, 3×4, 3×8, 7×8. Максимальна можлива площа прямокутника буде при розмірах 7×8.
    
65. 
    Нехай х - довжина сторони золотого квадрата, тоді довжина
    

діагоналі цього квадрата і = 1 дм, тобто х = . Тому площа

позолоченої поверхні куба дорівнює (6٠3٠)² = 2,25 дм² =225 см².

L

В

М

К

С

А

О

СК=СL, АL=АМ, ВМ=ВК ( як зовнішні відрізки дотичних).

Тоді Р_∆АВС = (АL+LС) + (СК+КВ) + (АМ+МВ) =

= 2в + 2КВ = 2р.

Звідси 2КВ = 2р – 2в, КВ = р – в.

З ∆ОКВ, К = 90, ОВК = ,

ОК = КВ tg.

S_∆ОКВ = КВ  ОК = КВ² tg= ( р – в )² tg.

66. 
    _{EDA=ECA=50°, як кути, що спираються на одну дугу. Оскільки EB –діаметр, то EDB=90°. Отже, ADB=EDB-EDA=40°.}
    
67. 
    Розташуємо всі сектори в одному крузі без перетинів і без проміжків. Отримаємо півкруг. Його площу знайдемо так:
    

68. 
    Побудова
    

Продовжимо один з катетів від прямого кута так, щоб одержати суму катетів. З’єднаємо одержану точку з третьою вершиною прямокутного трикутника. Одержимо трикутник, у якого один кут 45і відомі дві сторони. Його можна побудувати, отже можна побудувати шуканий трикутник.

69. 
    Побудова
    

Будуємо ГМТ, з яких основу видно під даним кутом (цьому ГМТ належить шукана вершина трикутника, далі будуємо ГМТ, з яких основу видно під прямим кутом (півколо) і з вершини при основі радіусом, який дорівнює висоті, проводимо дугу до перетину з цим півколом – одержимо основу висоти на бічній стороні.

70. 
    Нехай SABCD – дана піраміда, , , , точка перетину . проекція на площину . Проведемо .
    

Довжина відрізка - відстань між прямими , вона дорівнює з .


Список використаних джерел

1. 
   Добосевич А.С. 10 років разом. Міжнародний математичний конкурс “Кенгуру”. 1997-2006 / А.С. Добосевич, М.С. Добосевич, Р.Є. Кокорузь, Є.Я. Пенцак, Х.Р. Трущак. – Львів: Каменяр, 2006. – 234 с.
   
2. 
   Лейфура В.М., Мітельман І.М.,Радченко В.М., Ясінський В.А.Змагання юних математиків України. 2006 рік / В.М.Лейфура, І.М.Мітельман, В.М. Радченко, В.А.Ясінський. – Львів: Каменяр, 2007. – 111 с.
   
3. 
   Рубльов Б.В. Математичні олімпіадні змагання школярів України 2007-2008 та 2008-2009: навчально-методичний посібник / Б.В. Рубльов. – Львів: Каменяр, 2010. – 550 с.
   
4. 
   Ясінський В.А. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язування / В.А. Ясінський. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2006. – 208 с.
   
5. 
   Лейфура В.М. та ін. Математичні олімпіади школярів України 1991-2000 рр.: Навч. метод. посібник / В.М. Лейфура, І.М. Мітельман, В.М. Радченко, В.А. Ясінський. – К.: Техніка, 2003.
   
6. 
   Лейфура В.М. та ін. Математичні олімпіади школярів України 2001-2006 рр. /В.М. Лейфура, І.М. Мітельман, В.М. Радченко, В.А. Ясінський. – Львів: Каменяр, 2008.
   
7. 
   Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2007-2008 та 2008-2009 (Текст): За ред. Б.В. Рубльова. - Львів: Каменяр, 2010.
   
8. 
   Режим доступу: www.kangaroo.com.ua
   
9. 
   Серветник В.Г. Новорчні задачі(добірка нестандартних задач).