2014 Збірка олімпіадних завдань з математики

2014

Збірка олімпіадних завдань з математики

Навчально – методичний центр професійно – технічної освіти у Миколаївській області
Вознесенський професійний аграрний ліцей



Укладач: Ларіонова Ольга Миколаївна, викладач математики,

спеціаліст вищої категорії,

старший викладач


Ця збірка адресована тим, хто хоче навчитися розв’язувати задачі олімпіадної математики та навчити цього своїх учнів. Олімпіадна задача з математики – це задача підвищеної складності, нестандартна як за формулю-ванням, так і за методами розв’язання. Серед олімпіадних задач зустрічаються такі, для розв’язання яких потрібні незвичні ідеї та спеціальні методи, так і задачі більш стандартні, але деякі з них можна розв’язувати оригінальними способами.

Мета цієї збірки – надати викладачам та учням конкретну допомогу в розвитку вміння розв’язувати задачі даного напрямку. До задач дано відповіді, вказівки та їх розв’язання. Використання таких вправ сприятиме вихованню в учнів інтересу до вивчення математики, розвитку інтелектуальних здібностей та відкриттю творчого потенціалу школярів.

Юний друже!
Яку б професію в майбутньому ти не обрав би, тобі потрібно навчитися правильно і швидко міркувати, аргументувати розв’язання задач та отриманий результат, формулювати задачі і творчо підходити до їх розв’язку, самостійно поповнювати багаж знань. Розв’язування цих задач підвищить твій інтерес до вивчення математики, сприятиме розвитку твоїх математичних здібностей. Тому не зволікайте, розв’язуйте задачі.


Шановний колего!
Значну роль в розвитку математичних здібностей відіграє систематичне розв’язування задач, які можуть породжувати прагнення до самостійних досліджень. Саме такі задачі й пропонують на математичних олімпіадах.

Мета збірки – допомогти викладачам математики підготувати учнів до участі в олімпіадах та математичних конкурсах. Ця збірка адресована тим, хто хоче навчитися розв’язувати нестандартні математичні задачі.

Сподіваюся, що матеріали збірки Ви, шановні колеги, будете використовувати не тільки на олімпіадах, але й в позаурочній роботі. Адже, як казав великий А. Ейнштейн, «вміє вчити той, хто вчить цікаво».

Завдання 1-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків

(2009-2010н.р.)

І курс

1. 
   Знайдіть значення дробу, де різні букви – це різні цифри, між буквами стоїть знак множення.
   
2. 
   Розв’яжіть рівняння .
   
3. 
   У просторі дано три попарно мимобіжні прямі та . Побудуйте пряму паралельну , так щоб вона перетинала та.
   
4. 
   Знайдіть а, при яких відстань між вершинами парабол і менша .
   
5. 
   На колі довжиною 101 см відмічена 101 точка. Відмічені точки ділять коло на рівні дуги. Петрик поставив в одну з цих точок фішку і рухає її за таким правилом: за один хід можна перемістити фішку за годинниковою стрілкою на 6, 7, 8, 9 або 10см (відстань вимірюється по колу), при цьому фішка повинна опинитися у відміченій точці, в якій ще ні разу не була. Петрик уже зробив 45 ходів. Доведіть, що він зможе зробити ще один хід.
   

Завдання 1-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків

(2009-2010н.р.)

ІІ-ІІІ курс

1. 
   Розв’язати нерівність:
   

2. 
   Дотична в точці А до описаного кола трикутника АВС перетинає продовження сторони ВС за точку В в точці К. Точка L – середина АС, а точка М на відрізку АВ така, що АКМ=СКL. Доведіть, що МА=МВ.
   
3. 
   На стороні квадрата зовні побудовано прямокутний трикутник, гіпотенуза якого збігається зі стороною квадрата. Довести, що бісектриса прямого кута цього трикутника поділяє площу квадрата навпіл.
   
4. 
   Побудуйте графік рівняння
   
5. 
   Дано прямокутну дошку розміром 3 х 7 клітинок. Чи може шаховий кінь, починаючи з якого-небудь кутового поля цієї дошки, обійти всі клітинки за шаховими правилами, побувавши в кожній клітинці тільки один раз і останнім ходом стати знову в кутову клітинку (можливо початкову)?
   

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 5 балів.

Користуватися електронними засобами забороняється
Відповіді та вказівки
І курс

1. 
   Різних букв десять, то серед них є і нуль. Але на нуль ділити не можна, так як нуль стоїть у чисельнику дробу, тому дріб дорівнює нулю.
   
2. 
   Перепишемо наше рівняння у вигляді , або . Розв’яжемо це рівняння як квадратне відносно . Тоді . Перше рівняння сукупності розв’язків не має, а друге має розв’язки 1±.
   
3. 
   Через пряму b проведемо площину β, паралельну до прямої l. Якщо К – точка перетину площини β і прямої а, то пряма, яка проходить через точку К і паралельна до прямої l, є шуканою. Якщо а ∩ β, то задача розв’язку не має.
   
4. 
   Абсциса вершини параболи , а ордината . Для другої параболи ,. Тоді відстань між вершинами цих парабол =. Враховуючи умову, отримали, що а є розв’язком нерівності . Підкореневий вираз і права частина нерівності – додатні. Тому підносячи обидві частини нерівності до квадрату, отримаємо , звідки . Оскільки, ,то наша нерівність рівносильна нерівності . Тому .
   

5. 
   Занумеруємо точки по колу числами від 0 до 100. Нехай Петрик стоїть в нульовій точці. Якщо Петрик не зможе зробити хід, то він уже був у 6-й, 7-й, …, 10-й точках. Очевидно, що знаходячись в довільній з цих п’яти точок, Петрик не зможе відразу перейти в яку-небудь іншу з цих п’яти точок (всі вони розташовані занадто близько одна від одної), значить, він зможе попасти в цю іншу точку, тільки, якщо виконати один оберт по колу. Значить, при русі фішка вже зробила 4 повних оберти і ще один майже повний, тобто фішка пройшла не менше 494 см. Значить, вона зробила не менше, ніж 49 ходів, що невірно.
   

ІІ-ІІІ курс

1. ; ; ; хØ.
2. Трикутники САК і АВК подібні, оскільки К у них спільний і КСА=КАВ як вписаний кут, що спирається на дугу АВ, і кут між хордою АВ і дотичною. Оскільки АКМ=СКL, то відрізки КL і КМ – відповідні елементи в трикутниках САК і АВС. При цьому КL – медіана. Значить, КМ – також медіана і МА=МВ.

3. 
   з виколотою точкою .
   

3. 
   Якщо АВСД – даний квадрат, а ВМС – прямокутний трикутник, то коло, яке описано навколо трикутника ВМС, проходить через точку О – центр квадрата. А оскільки ВО=ОС, то й бісектриса кута ВМС також проходить через т. О. Отже, вона поділяє площу квадрата навпіл.
   

3. 
   Ні (див. малюнок). Оскільки у клітинку В можна потрапити тільки через клітинку А, але і вийти з неї можна тільки через клітинку А. Але ця клітинка не може бути кінцевою. Отже, шуканий маршрут коня неможливий.
   

Завдання 1-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків

(2010-2011н.р.)

І курс

1. 
   Обчислити значення виразу для п = 2011.
   
2. 
   Нехай - довжини сторін трикутника, а його площа. Відомо, що . Довести, що .
   
3. 
   При яких натуральних значеннях n многочлен ділиться націло на многочлен ?
   
4. 
   Діагоналі описаного чотирикутника ABCD перетинаються в точці О. Радіуси описаних кіл трикутників AOB, BOC, COD, DOA відповідно дорівнюють R₁, R₂, R₃, R₄. Доведіть, що
   
5. 
   Побудувати графік функції .
   

Завдання 1-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків

(2010-2011н.р.)

ІІ-ІІІ курс

1. 
   Основи рівнобічної трапеції 3см і 12см, середина більшої основи з’єднана з кінцями меншої основи відрізками, що перетинають діагоналі трапеції в двох точках. Знайти відстань між цими точками.
   
2. 
   Довести нерівність < 1.
   
3. 
   Розв’язати рівняння
   
4. 
   Побудувати графік функції
   
5. 
   Знайти найменше значення виразу якщо
   

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 5 балів.

Користуватися електронними засобами забороняється.
Відповіді та вказівки
І курс

1. 
   Дужки з кожного доданка чисельника число 8, а з кожного доданка знаменника – число 27.
   

Одержимо:

2. 
   За теоремою косинусів . За умовою задачі , тому , крім того, відомо, що . Порівнюючи ці два вирази для площі , дістанемо , .
   
3. 
   Якщо многочлен ділиться без остачі на , то є коренем многочлена, тобто , що виконується тільки при непарних n.
   
4. 
   Нехай Тоді Запишемо
   

Тоді Ураховуючи, що ABCD – описаний чотирикутник і , отримуємо

5. 
   
   

D(y) = {x/x≠3}



Будуємо графіки (для x≥0) і

(для x<0), а потім обидва графіка в одній площині

ІІ – ІІІ курс

1. 
   , || || - за симетрією. ~ . .  ~ . ;
   

Відповідь: 2см.
2. < < 1

3. 
   Нехай . Рівняння має вигляд: , сторонній корінь. , Перевірка показує, що є коренем заданого рівняння.
   
4. 
   .
   
5. 
   Додавши задані рівняння, отримаємо: Отже, найменше значення виразу
   

Відповідь: -6.