2014 Збірка олімпіадних завдань з математики

Скачати 0.51 Mb.

Назва	2014 Збірка олімпіадних завдань з математики
Сторінка	2/4
Дата	21.02.2016
Розмір	0.51 Mb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4

Завдання 1-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків

(2012-2013 н.р.)
І курс

Завдання оцінюються 2 балами

Якщо S₁ = 2·3 + 3·4 + 4·5, S₂ = 2² + 3² + 4², S₃ = 1·2 + 2·3 + 3·4, то

А:S₂13; Б:S₁2=S₃; В:S₁23; Г:S₃21; Д:S₁=S₂3.

На яке число потрібно поділити 2011, щоб в остачі отримати 1011?

А: 100; Б: 500; В: 1000; Г: деяке інше число; Д: такого числа не існує.
Завдання оцінюються 3 балами

Після повороту з одного відрізка отримали інший, як це зображено на малюнку. Які із запропонованих точок можуть бути центрами даного повороту?

А: лише A; Б: лише A і С; В:лише A і D; Г: лише D; Д: A,B, С і D.

Якому числу із запропонованих може дорівнювати , якщо

підкореневий вираз кратний 27?

А: 290; Б: 380; В: 420; Г: 450; Д: 580.
Завдання оцінюються 5 балами

Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а?
Доведіть, що для будь-якого натурального n значення виразу кратне 9.
Навколо трикутника PQR описано коло, RS – дотична, проведена до нього в точці R. На прямій PQ вибрали точку Т, щоТRP = PRS. Доведіть, що .
Як розрізати квадрат 5×5 прямими лініями так, щоб з одержаних частин можна було б скласти 50 рівних квадратів. Не дозволяється залишати невикористані частини, а також не можна їх накладати одну на другу.

На виконання роботи відводиться 3 години.

Користуватися електронними засобами забороняється

ІІ- ІІІ курс
Завдання оцінюються 2 балами

У гральному кубику сума кількостей точок, розташованих на протилежних гранях, дорівнює 7. Три гральні кубики приклеїли один до одного так,як це показано на малюнку. Сума кількостей точок на склеєних гранях сусідніх кубиків дорівнює 5. Скільки точок на грані, яку позначено ?

А: 2; Б: 3; В: 4; Г:5; Д: 6.

На дошці записано числа17, 13, 5, 10, 14, 9, 12, 16.

Які два числа можна стерти так, щоб середнє арифметичне решти чисел дорівнювало середньому арифметичному даних чисел?

А:12 і 17; Б:5 і 17; В:9 і 16; Г:10 і 12; Д:14 і 10.
Завдання оцінюються 3 балами

Обчисліть p+ q, якщо додатні дійсні числа p та q задовольняють

співвідношення p² - 2pq+q² -2q=15-2pq.

А:1; Б: 5; В:9; Г: 13; Д: 17.

Ігор записує цілі числа в клітинки таблиці розміром3x3 так, щоб сума чисел у будь-якому квадраті розміром 2 x2 дорівнювала 10. П’ять чисел він уже записав у таблицю. Чому дорівнюватиме сума решти чотирьох?

1		0
	2
4		3

А: 9; Б: 10; В: 11; Г: 12; Д: 13.
Завдання оцінюються 5 балами

При яких значеннях параметра а нерівність виконується при всіх дійсних значеннях х?
Дотична в точці А до описаного кола трикутника АВС перетинає продовження сторони ВС за точку В в точці К. Точка L – середина АС, а точка М на відрізку АВ така, що АКМ=СКL. Доведіть, що МА=МВ.
Знайдіть усі пари дійсних чисел , які задовольняють нерівність
Ванна має 4 крани. Якщо відкрити їх усі, то вона наповниться за 4 год. 1-й, 2-й і 3-й крани наповнюють її за 5 год, 2-й, 3-й і 4-й – за 6 год. За який час наповниться ванна, якщо відкрити 1-й і 4-й крани?

На виконання роботи відводиться 3 години.

Використання калькуляторів не дозволяється.

Відповіді та вказівки
І курс
1.Г; 2.Д; 3.В; 4.Г
5. якщо a<0, то рівняння не має коренів; якщо а=0, то рівняння має 3 корені; якщо

, то рівняння має 6 коренів; якщо а=4, то рівняння має 4 корені; якщо a>4, то рівняння має 2 корені.
6. Використаємо метод математичної індукції. Якщо n=1, то

- кратне 9. Припустимо, що для n=k умова задачі виконується, тобто

- кратне 9. Доведемо для n=k+1, що

- кратне 9. Маємо:

Число

- кратне 9 (за припущенням). Оскільки

, то 4^k при будь-якому k при діленні на 3 дає остачу 1, а тому число

при будь-якому k кратне 3, а отже, вираз

при будь-якому k кратний 9. Тому

- кратне 9.

7.

Кути PRS і RQP рівні, оскільки кожен з них дорівнює половині дуги RP. Отже,

TRP=

PQR і

RPT

QRP за двома кутами. Тому

.
8. Як розрізати квадрат 5×5 прямими лініями так, щоб з одержаних частин можна було б скласти 50 рівних квадратів. Не дозволяється залишати

невикористані частини, а також не можна їх накладати одну на другу.

ІІ- ІІІ курс
1. Д; 2.Д; 3.Б 4.Г

5.Виконуємо заміну

Маємо:

Числа

- корені тричлена

Маємо:

Умова задачі виконуватиметься у двох випадках: якщо

або

Відповідь.

6. Трикутники САК і АВК подібні, оскільки К у них спільний і КСА=КАВ як вписаний кут, що спирається на дугу АВ, і кут між хордою АВ і дотичною. Оскільки АКМ=СКL, то відрізки КL і КМ – відповідні елементи в трикутниках САК і АВС. При цьому КL – медіана. Значить, КМ – також медіана і МА=МВ.

7. Запишемо вираз, який стоїть у лівій частині рівності, так:

Оскільки

, а

, то

Тому рівність може виконуватися лише за умови

Відповідь.

8. Позначимо через x, y, z, t час, за який кожен кран окремо може наповнити ванну водою. Обернені до них величини показують, яку частину ванни наповнює кожен кран за одну годину. Тоді ситуація умови задачі описується такою системою рівнянь:

Поєднуючи розгляд першого рівняння з наступним, знайдемо значення змінних x і t.
1)

звідки х = 12.

2)

звідки t = 20.

3) 1-й і 4-й крани наповнюють за одну годину таку частину ванни:

Отже, коли відкриємо одночасно 1-й і 4-й крани, то ванна наповниться за :

(год)
Відповідь: 7 годин 30 хвилин.

Завдання 1-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків

(2013-2014 н.р.)

І курс

У давнину в Афінах був басейн, до якого підведено три труби. Одна з них наповнювала басейн за 1 годину, друга, більш тонка, - за 2 години, третя, ще тонша – за 3 години. За який час наповнювали басейн усі три труби, працюючи разом?
Знайдіть усі цілі числа n, які задовольняють рівність:

(n - 1)( n -3)( n -5)…( n - 2013) = n(n +2) (n + 4)… (n + 2014).

Розв’язати рівняння .
Трапеція лежить в площині , =8см. Поза площиною взяли точку : на відрізку відмітили точку таку, що . Побудуйте точку , яка є перетином площини і відрізка та знайдіть довжину відрізка .
Доведіть нерівність .

ІІ-ІІІ курс

Два квадрата розташовані так, як показано на малюнку. Нехай точка М – середина відрізка АВ, а точки О₁ і О₂ – центри квадратів. Доведіть, що відрізки МО₁ і МО₂ рівні і знайдіть кут між ними.
Побудуйте графік функції .
Чи можна пофарбувати деякі клітинки дошки так, щоб у будь-якому квадраті було рівно зафарбованих клітинок, а в кожному прямокутнику (вертикальному чи горизонтальному) – рівно зафарбовані клітинки?
У чотирикутнику кути і рівні між собою. Бісектриса кута перетинає сторону в точці . Пряма, яка проходить через вершину і перпендикулярна до перетинає сторону в точці . Доведіть, що прямі і паралельні.
Знайдіть усі шестицифрові числа, які мають вигляд та діляться націло на 45.

На виконання роботи відводиться 3 годин.

Кожна задача оцінюється в 5 балів.

Користуватися електронними засобами забороняється.
Відповіді та вказівки
І курс
1.

год.

2. Підставимо замість n парне число. В лівій частині рівності отримаємо непарне число, а в правій – парне. Після підстановки непарного числа зліва буде парне число, а справа – непарне. Отже, рівність неможлива.

Таких цілих чисел не існує.

3.

;

. Після заміни

одержимо:

, звідки

; маємо

;

; тоді

. Дискримінант першого рівняння від’ємний, а з другого рівняння маємо:

;

.
4. Площини

перетинаються по прямі, яка є паралельною до

. Тому

.

5. В лівій частині маємо суму геометричної прогресії

. Тому

.

ІІ-ІІІ курс

1. З’єднаємо центри квадратів з вершинами і опустимо з них перпендикуляри на основи. Тепер можна довести, що прямокутні трикутники О₁Р₁М і МР₂О₂ рівні. Тому рівні їх гіпотенузи О₁М і МО₂, і кут між ними прямий.
2.

.
3. Припустимо, що таке розфарбування можливе. Дошку

можна розрізати на вісім прямокутників

, тому на ній рівно

зафарбовані клітинки. ЇЇ ще можна розрізати на чотири квадрати

, три прямокутники

і кутовий квадратик

(див. мал.). В чотирьох квадратах і трьох прямокутниках вже

зафарбовані клітинки. А це означає, що всі клітинки кутового квадратика

– не заштриховані. Те ж саме і в інших кутових квадратиках

. Дошку без таких квадратиків можна розрізати на шість прямокутників

. Одержуємо, що всього на дошці

зафарбовані клітинки. Протиріччя.

Відповідь. Не можна.

4.Оскільки

– бісектриса кута

, то трикутник

– рівнобедрений ( його висота співпадає з його бісектрисою). Тому,

. Далі, трикутники

– рівні (за двома сторонами і кутом між ними). Звідси слідує, що

. Оскільки, за умовою,

, то

. З рівності цих кутів, випливає, що

, що і треба було довести.

5. Ці числа повинні бути кратними 9 та 5. Розглянемо два випадки. Якщо воно закінчується на 0, тобто

, то його сума цифр дорівнює

. Тому для виконання умови повинно

. Якщо воно

, то його сума цифр дорівнює

і повинно бути

. Таким чином маємо дві відповіді:

та

1 2 3 4

Схожі:

ЗАТВЕРДЖУЮ Створення творчих груп для підготовки олімпіадних завдань для укладання посібників «Збірник завдань з педагогіки та психології для...	Чи брали ви участь в олімпіадах з математики? «ФОРМУВАННЯ ТВОРЧОГО МИСЛЕННЯ ПРИ РОЗ’ЯЗУВАННІ ОЛІМПІАДНИХ ЗАДАЧ З ТЕОРІЇ ГРАФІВ»
Рекомендації щодо оцінювання олімпіадних завдань Тестові завдання Бали за тестові завдання не нараховуються у випадках, коли відповідь неправильна або відсутня; відповідь обведена олівцем, а не ручкою;...	Порядок проведення Інтернет-олімпіади з математики у 2013-2014 н... Участь в Інтернет-олімпіаді з математики можуть брати всі учні 8-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів області
Урок математики в 1 класі. Урок-тренінг «Вправи на Застосування таблиць... Сєргєєва Валентина Олександрівна, вчитель вищої категорії,старший вчитель КНТМЛ №81. Збірка «Цікаво в 1 класі.»	Л. В. Гринчук- методист математики ХОІППО Організація навчання у 2013-2014 навчальному році буде здійснюється згідно з Типовими навчальними планами
Інформація про виконання основних пріоритетів та завдань Програми... Програми соціально-економічного та культурного розвитку м. Бердянськ за 1 півріччя 2014 року	Уроках математики Я пропоную деякі прийоми, які дають можливість вчителю математики сприяти формуванню даної компетентності засобами уроків математики,...
ПРОГРАМ А вступного випробування з математики для абітурієнтів напрямів підготовки Програму вступного випробування з математики розроблено з урахуванням вимог чинної програми з математики для 5–11 класів, затвердженої...	Факультет прикладної математики Чернівецький університет завжди славився високим рівнем математичної освіти і наукових досліджень. Відзначимо математиків зі світовим...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання