2014 Збірка олімпіадних завдань з математики

Скачати 0.51 Mb.

Назва	2014 Збірка олімпіадних завдань з математики
Сторінка	3/4
Дата	21.02.2016
Розмір	0.51 Mb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4

Завдання 1-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків

(2014-2015 н.р.)

І курс

Пішохідна зебра складається з білих та чорних смуг шириною 50 см кожна. Зебра починається і закінчується білою смугою. Яка загальна довжина переходу, якщо він має всього 8 білих смуг?
Побудувати графік функції: y = .
На діагоналі паралелограма вибрані точки та таким чином, що . Прямі та перетинають сторони та відповідно у точках та . Знайдіть відношення .
Дано трикутник ABC. Точка А₁ лежить на продовженні сторони BC за точку С, причому ВС=СА₁. Аналогічно будуються точки В₁ и С₁ (дивіться малюнок). Знайдіть площу трикутника А₁В₁С₁, якщо площа трикутника АВС дорівнює 1.
Зараз 2014 рік. Через скільки років вперше настане рік з тією самою сумою цифр, але з іншим їх добутком?

ІІ-ІІІ курс

У мішку декілька кульок. На кожній кульці записано деяке натуральне число. Числа,кратні 6,записані на 30 кульках, числа,кратні 7– на 20 кульках, а числа кратні 42 - на 10 кульках. Яка найменша кількість кульок може бути у мішку?
Чи може бути кутом трикутника, якщо він задовольняє рівність:.
Розв’яжіть рівняння: .
На стороні BC трикутника ABC вибрано точку . Бісектриси кутів ADB і ADC перетинають AB і AC в точках M і N відповідно, а бісектриси кутів ABD і ACD перетинають DM і DNв точках K і L відповідно. Доведіть, що AM=AN тоді і тільки тоді, коли MN і KL є паралельними.
Знайдіть всі натуральні числа, які закінчуються на 2014 і після викреслювання останніх 4-х цифр зменшуються в ціле число разів.

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 5 балів.

Користуватися електронними засобами забороняється.
Відповіді та вказівки
І курс

Якщо перехід починається і закінчується з білої смуги і загалом їх 8, то чорних смуг 7. Тому у зебрі 8+7=15 смуг. А довжина зебри 15٠0,5=7,5м
Після розкриття модуля отримаємо y = x - , x > 0.
Проведемо діагональ , тоді точка перетину діагоналей – ділить обидві діагоналі навпіл. Тоді для відрізок – медіана, а точка задовольняє умови , тобто – точка перетину медіан . Тому – також медіана , а тому – середина сторони , аналогічно – середина сторони . Тому – середня лінія , звідси і випливає, що
7 кв. од.
через 99 років.

ІІ –ІІІ курс

Оскільки числа кратні 42, кратні 6і 7 одночасно, то кількість кульок, на яких записані числа кратні лише 6 є 30-10=20, а тільки 7 є 20-10=10. Тоді у мішку принаймні 20+10+10=40 кульок.
Знайдемо можливі значення із заданого рівняння.

Тоді можливі варіанти:

або

і найменше натуральне значення, що задовольняє таку рівність є

, що неможливо для кута трикутника.

або

і найменше натуральне значення, що задовольняє таку рівність є

, що також неможливо для кута трикутника.

або

і найменше натуральне значення, що задовольняє таку рівність є

, що також неможливо для кута трикутника.

Оскільки , то розглянемо два випадки.

Перший випадок.

, звідки

– розв’язки.

Другий випадок.

, звідки

. Тоді задане в умові рівняння можна переписати таким чином:

. Звідси випливає, що розв’язком останнього рівняння є проміжок

. З урахуванням першого випадку та умови

маємо відповідь:

А

M

B

D

K

L

N

C

- бісектриса кута

- бісектриса кута

. За властивістю бісектриси для

маємо:

. Аналогічно, для

маємо:

.

З отриманого випливає, що

Шукані числа можна записати у вигляді: х 10000 + 2014, де х – натуральне число. Після викреслювання останніх 4-х цифр отримаємо число х. Тоді за умовою (х 10000 + 2014) : х = k, k – _{натуральне.} 10000 + = k. Отже, х – дільник числа 2014. Оскільки 2014 = 21953, то воно має 8 дільників: 1, 2, 19, 53, 38, 106, 1007, 2014.

Відповідь.12014, 22014, 192014, 532014, 382014,1062014, 10072014, 20142014

Завдання з порядковим номером поточного календарного року
Одним із прийомів зацікавлення учнів математикою є розв’язування цікавих задач з порядковим номером поточного календарного року, які часто зустрічаються серед олімпіадних завдань. Учнів приваблює їх своєрідний колорит, «актуальність». Причому завдання не обов’язково можуть бути підвищеної складності. Щороку такі тестові вправи, наприклад, пропонує конкурс «Кенгуру».

Скільки одиниць в записі числа: ?
В десятковому записі числа закреслили 2011-у цифру після коми. Що більше: одержане число чи ?
Довести, що дріб не можна подати у вигляді суми двох дробів з меншими знаменниками.
Знайти всі розв’язки рівняння 2011^х – 2010^х = 1.
Скільки існує нескоротних дробів із чисельником 2011, які менші за і більші за ?
Розв’язати рівняння: 1 + cos 2011x = 2^{1 + sin 2011x}.
Знайти всі додатні розв’язки рівняння: х²⁰¹⁰ + 2011²⁰¹¹ = х²⁰¹¹ + 2011²⁰¹⁰.
Розв’язати рівняння:
Обчислити значення виразу для п = 2011.
Чи можна число 2012 подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних

чисел ?

Знайти значення виразу , якщо х = 2012.
Розв’язати рівняння:
В трьох купках лежать предмети, по 2012 предметів у кожній. За хід дозволяється взяти довільне число предметів, але тільки з однієї купки. Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі ?
На дошці записано число 2013. Два гравці грають у таку гру. За один хід треба відняти від числа, що записане на дошці, будь-який його дільник та записати на дошці одержану різницю замість попереднього числа. Програє той гравець, після ходу якого на дошці буде записано число 0. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?
При яких значеннях параметра параболи та дотикаються одна одної?
Розв’яжіть рівняння n+ S(n) =2014, де а S(n) – сума цифр натурального числа n.
Порівняйте два числа: + і 2, 014.
Знайдіть найменше й найбільше значення виразу , де a, b, c- довільні дійсні числа.
Знайдіть число А, якщо А.
Знайдіть усі натуральні значення n, для яких число 2015 n⁵ + 2014 n² + n – 1 є простим.

Відповіді та вказівки

Оскільки , то 2011-а цифра після коми є цифра 5. Дійсно 2011 : 6 = 335 (1 ост.). Якщо врахувати цифру 0 в розряді десятих, то одержуємо цифру 5.

Якщо ж цифру 5 закреслити, то на її місці опиниться цифра 7. Тому одержане число буде більше.

Припустимо супротивне: . Тоді , або

2011 (а d + b с) = 2010 b d. Тому b d ділиться на 2011.

Оскільки число 2011 – просте, то хоча б одне з чисел b або d ділиться на 2011, а значить, не менше від 2011.

Отже, дріб

не можна подати у вигляді суми двох дробів з меншими знаменниками.

Запишемо рівняння у вигляді .

Функція в лівій частині рівняння зростає, а в правій частині спадає. Тому рівняння має не більше одного кореня. Помічаємо, що х = 1 є коренем рівняння.

Нехай шукані дроби мають вигляд , де т N. За умовою > , звідки > , звідки - > 0.

Аналогічно

< 0.

Тоді 2011² < т < 2011 · 2012, тобто т = 2011² + k, k

{1; 2; … ; 2010}.

для всіх таких т дріб

буде нескоротним, оскільки число 2011 є простим.

Відповідь. 2010.

Множина значень лівої частини [0; 2]., а правої - [2; 4]. Отже, ліва і права частини рівності дорівнює двом.

або

Відповідь. х = π п, п

х²⁰¹¹ - х²⁰¹⁰ = 2011²⁰¹¹ - 2011²⁰¹⁰;

х²⁰¹⁰ (х - 1) = 2011²⁰¹⁰ (2011 - 1);

х > 0,

х – 1 > 0, х > 1.

У лівій частині рівняння є добуток монотонних функцій (степеневої і лінійної). Отже, рівняння має один розв’язок, або немає зовсім розв’язків.

Відповідь. х = 2011.

При х = 0 рівняння перетворюється у правильну рівність.

При х > 0 ліва частина рівняння додатна, а права від’ємна, бо

< 1.

Нарешті, при х < 0, навпаки, права частина додатна, а ліва від’ємна.

Отже, маємо відповідь: х = 0.

Дужки з кожного доданка чисельника число 8, а з кожного доданка знаменника – число 27. Одержимо:
Нехай х – у = 2012. Тоді (х - у) (х + у) = 2012;

(х - у) (х + у) = 2 · 2 · 503.

1)

2 х = 507, 2 х 1008, 2 х = 2013,

х – дробове число, х = 504, х – дробове число,

у = 502.

2012 = 504² – 502².

Відповідь. Так,

Перетворимо вираз:

Відповідь не залежить від значення х, якщо х ≠ 25.

. Тоді

Виграшна стратегія: 1) забрати всі предмети з однієї купки, тоді гра зводиться до гри «дві купки по 2011», в якій перший гравець грає другим.

В новій грі першому гравцю досить грати симетрично повторюючи ходи першого, але тільки в другій купці. Таким чином, після ходів другого гравця кількість предметів в купках стає рівною.. ситуація, коли в обох купках не залишиться жодного предмета настає після ходу другого, а, значить, він виграє.

Відповідь. Виграє перший гравець

Нескладно помітити, що всі непарні числа мають тільки непарні дільники. Отже якщо гравець ходить з непарного числа, то йому доведеться записати на дошці парне число. Звідси маємо стратегію для другого гравця: кожним своїм ходом віднімати від записаного числа 1. Тоді перший гравець завжди буде починати з непарного числа і записувати парне число. Оскільки числа на дошці постійно зменшуються, колись перший гравець буде змушений записати .
Параболи дотикаються, якщо вони мають рівно одну спільну точку, а тому рівняння , а отже і рівняння повинно мати єдиний корінь. Звідси

. Отже

або

Очевидно, що n – чотирицифрове число. Перша цифра може бути 1

або 2. Методом перебору знаходимо розв’язки 1988 і 2006.

Позначимо перше число а і піднесемо його до куба. Отримаємо:

а³ = 4 + 3а. а³ – 3а – 4 =0. Нехай f(х) = х³– 3х – 4. Оскільки число а більше за 1, то розглянемо функцію f(х) на проміжку

На цьому проміжку функція строго зростає. f(а) = 0, f(2)

0, f(2,1)

0. Отже, f(а)

f(2,014) і а

2,014.

Отже. перше число більше.

Розглянемо вектори (;; ) і (; -; -). Тоді даний вираз виглядає так: . Нехай φ – кут між і .

cos φ =

cos φ

1. -

Відповідь. -

=3 =

Перетворимо вираз таким чином: 2015 n⁵ + 2015 n² - n² + n – 1 =

= 2015 n² ( n³ + 1) – (n² - n + 1) = (2015 n²( n+ 1) – 1)( n² - n + 1). Дане число буде простим тоді і тільки тоді, коли один з множників 1, а інший – просте число.

Різниця 2015 n²( n+ 1) – 1 більша за одиницю. Припустимо, що n² - n + 1 = 1, тоді n² - n = 0, n = 1. Обчислимо другий множник: 2015 n²( n+ 1) – 1 = 2015·1·2 – 1 = 4029 – ділиться на 3. Отже, таких чисел не існує.

1 2 3 4

Схожі:

ЗАТВЕРДЖУЮ Створення творчих груп для підготовки олімпіадних завдань для укладання посібників «Збірник завдань з педагогіки та психології для...	Чи брали ви участь в олімпіадах з математики? «ФОРМУВАННЯ ТВОРЧОГО МИСЛЕННЯ ПРИ РОЗ’ЯЗУВАННІ ОЛІМПІАДНИХ ЗАДАЧ З ТЕОРІЇ ГРАФІВ»
Рекомендації щодо оцінювання олімпіадних завдань Тестові завдання Бали за тестові завдання не нараховуються у випадках, коли відповідь неправильна або відсутня; відповідь обведена олівцем, а не ручкою;...	Порядок проведення Інтернет-олімпіади з математики у 2013-2014 н... Участь в Інтернет-олімпіаді з математики можуть брати всі учні 8-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів області
Урок математики в 1 класі. Урок-тренінг «Вправи на Застосування таблиць... Сєргєєва Валентина Олександрівна, вчитель вищої категорії,старший вчитель КНТМЛ №81. Збірка «Цікаво в 1 класі.»	Л. В. Гринчук- методист математики ХОІППО Організація навчання у 2013-2014 навчальному році буде здійснюється згідно з Типовими навчальними планами
Інформація про виконання основних пріоритетів та завдань Програми... Програми соціально-економічного та культурного розвитку м. Бердянськ за 1 півріччя 2014 року	Уроках математики Я пропоную деякі прийоми, які дають можливість вчителю математики сприяти формуванню даної компетентності засобами уроків математики,...
ПРОГРАМ А вступного випробування з математики для абітурієнтів напрямів підготовки Програму вступного випробування з математики розроблено з урахуванням вимог чинної програми з математики для 5–11 класів, затвердженої...	Факультет прикладної математики Чернівецький університет завжди славився високим рівнем математичної освіти і наукових досліджень. Відзначимо математиків зі світовим...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання