Застосування похідної до розв'язування математичних задач прикладного змісту

Скачати 64.12 Kb.

Назва	Застосування похідної до розв'язування математичних задач прикладного змісту
Дата	22.12.2013
Розмір	64.12 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

Застосування похідної до розв'язування математичних задач прикладного змісту.

( урок – дослідження, 11клас )

Шахненко О.Ф., вчитель фізики і математики ЗШ №1

м.Долинська, Кіровоградської області

Мета: формування практичних навичок, застосування теоретичних знань і загальнонавчальних компетенцій учнів.
Завдання: розширення загального кругозору школярів, стимулювання пізнавальної діяльності, вміння знаходити й обробляти інформацію;
активізація розумової діяльності учнів при розв'язуванні завдань прикладного характеру, алгоритмізація діяльності; розвиток уміння працювати в команді, активно слухати, поважати чужу думку, формувати потреби в самовираження і науковій творчості.

Вступ.
Математичні задачі з практичним змістом - це такі завдання, які пов'язані з застосуванням математики в техніці, хімії, економіці, медицини, екології, а також у побуті. Ми розглянемо завдання, які можна вирішити за допомогою похідної. Ці завдання не зовсім звичайні як за формою викладу, так і по застосовуваних методів розв'язання.
Одним з найважливіших понять математичного аналізу є похідна функції. Похідна характеризує швидкість зміни функції по відношенню до зміни незалежної змінної. В геометрії похідна характеризує кривизну графіка, в механіці - швидкість нерівномірного прямолінійного руху, в біології - швидкість розмноження колонії мікроорганізмів, в економіці - вихід продукту на одиницю витрат, в хімії - швидкість хімічної реакції.
При вирішенні конкретних задач доводиться мати справу з величинами, числові значення яких отримані шляхом вимірів і, отже, точне їх значення невідомо. Якщо вихідні дані містять похибки вимірювань, то застосування точних методів вимірювання не доцільно. Для спрощення і полегшення обчислень в таких випадках краще використовувати наближені методи. Теоретичною основою одного з найпростіших прийомів наближених значень обчислень є поняття диференціала. Наближене значення прирісту функції називається диференціалом функції і позначається dy, причому dy = y '(x) dx.
Серед багатьох завдань, що вирішуються за допомогою похідної, найбільш важливим є завдання знаходження екстремуму функції і пов'язане з нею завдання знаходження найбільшого (найменшого) значення відповідних функцій. Розглянемо деякі з них.
Завдання № 1
Доведіть, що рівняння має тільки один дійсний корінь

.
Розв'язання:
Розглянемо функцію

і знайдемо її інтервали монотонності. Маємо:
Похідна f '(x) дорівнює нулю в чотирьох точках: -2, -1, 1, 2. Ці точки розбивають числову пряму на п'ять проміжків: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1, 2), (2; + ∞).
На кожному із зазначених проміжків похідна зберігає постійним знак. Звідси висновок, що на кожному з цих проміжків функція y = f (x) монотонна, тобто або зростає або спадає. Тоді графік функції на кожному із зазначених проміжків може перетинати вісь абсцис не більше ніж в одній точці. Це означає, що функція y = f (x) на кожному з розглянутих проміжків може мати не більше одного кореня, причому корені функції можуть бути в тих і тільки тих проміжках, на кінцях яких функція має різні за знаком значення.
Так як f (x) має різні знаки тільки на кінцях проміжку (-1; 1), то задане рівняння має лише один дійсний корінь, що лежить всередині цього інтервалу.

Завдання № 2.
При виверження вулкану камені гірської породи викидаються перпендикулярно вгору з початковою швидкістю 120 м / с. Якої найбільшої висоти досягне каміння, якщо опором вітру знехтувати?
Розв'язання: Речовина викидається перпендикулярно вгору. Висота каменя h, функція часу -

. Звідки слід:

.Отже, 0 = 120-9,8 ∙t і t ≈ 13 сек. Тоді h = 745м, тобто камені гірської породи досягають рівня 720 м від краю вулкана.
Завдання № 3.
Навантажені санки рухаються по горизонтальній поверхні під дією сили F, яка прикладена до центра ваги. Який кут α повинна становити лінія дії сили F з горизонтом, щоб рівномірний рух саней відбувався під дією найменшої сили? Коефіцієнт тертя саней про сніг дорівнює к.
Розв'язання:
Розкладемо силу F на горизонтальну і вертикальну складові. Сила нормального руху саней і вертикальної складової сили F: N = PF sinα, тому сила тертя F тр = kN = = k (P-Fsinα). Санки будуть рухатися рівномірно за умови компенсації горизонтальних сил:
Fx = Fтр., Тобто Fcosα = k (P-Fsinα). Далі знаходимо силу як функцію кута α:
F (α) = kP / (ksinα + cosα). F '(α) = kP (sinα-kcosα) / (ksinα + cosα) ². Тоді F '(α) = 0 при k = tgα.
Визначимо знак другої похідної у цій точці ...
З розв'язку цього завдання можна зробити практичний висновок: коли необхідно везти на санях вантаж по дорозі з великим коефіцієнтом тертя, потрібно тягнути сани за коротку мотузку. Якщо ж коефіцієнт тертя малий, мотузка повинна бути довгою.
Завдання № 4.
Витрата пального легкового автомобіля (літр на 100 км) в залежності від швидкості х км / год при русі на четвертій передачі приблизно описується функцією f (x) = 0,0017 х²-0, 18х +10,2; х> 30. При якій швидкості витрати пального будуть найменшими? Знайдіть ці витрати.
Розв'язання: Досліджуємо витрати пального за допомогою похідної: f '(х) = 0,0034 х-0, 18.Тоді f' (х) = 0 при
х ≈ 53. Визначимо знак другої похідної в критичній точці: f''(х) = 0,0034> 0, отже, втрати пального при швидкості 53 км / год буде найменшою. f (53) ≈ 5,43 л.
Завдання № 5.
Оборот підприємства за минулий рік описується функцією U (t) = 0,15t ³ - 2t ² + 200, де t - місяці, U-мільйони. Дослідіть оборот підприємства.
Розв'язання. Досліджуємо оборот підприємства за допомогою похідної: U '(t) = 0,45 t² - 4t; U''(t) = 0,9 t-4; U'' '(t) = 0,9.

Момент найменшого обороту при U (t) = 0, тобто при t = 8,9. Найменший оборот був на дев'ятому місяці. Перша похідна показує екстремальну зміну обороту. З U (t) = 0 слідує t = 4,4. Так як U'' '(t)> 0, то на п'ятому місяці є сильне зниження обороту.
Точки перегину важливі в економіці, тому що саме за ними можна визначити, в який конкретно момент відбулася зміна.
Так, наприклад, за розв'язком запропонованої задачі можна зробити висновки:
1. На початку досліджуваного періоду у підприємства було зниження обороту;
2. Підприємство намагалося вийти з цього стану, і для цього використовувало певні кошти.
На п'ятому місяці (точка перегину) щось було зроблено і підприємство стало виходити з кризи, а на дев'ятому місяці стало набирати обороти.
Завдання з біології та хімії

Біологічний зміст похідної.
Нехай залежність між кількістю особин популяції мікроорганізмів у і часом t її розмноження задана рівнянням: у = p (t). Нехай Δt-проміжок часу від деякого початкового значення t до t + Δt. Тоді у + Δу = p (t + Δt) - нове значення чисельності популяції, відповідне моменту t + Δt, а Δy + p (t + Δt)-p (t)-зміна числа особин організмів.

Хімічний зміст похідної.
Нехай дана функція m = m (t), де m-кількість деякої речовини, що вступила у хімічну реакцію в момент часу t. Приросту часу Δt буде відповідати приріст Δm величини m. Відношення Δm/Δt- є середня швидкість хімічної реакції за проміжок часу Δt. Межа цього відношення при прямуванні tΔ до нуля - є швидкість хімічної реакції в даний момент часу.
Розглянемо кілька завдань
Завдання № 6.
Залежність між кількістю х речовини, що отримується в результаті деякої
хімічної реакції і часом t виражається рівнянням Х = А (1 + е) Визначте швидкість хімічної реакції в момент часу t.
Завдання № 7.
Закон накопичення сухої біомаси у винограду сорту Шалса визначається рівнянням y = 0,003 x²-0,0004 x, де x-кількість днів від розпускання бруньок, y-накопичення біомаси в кг на 1 кущ. Рівність відображає залежність величин x і y як середній результат масових спостережень. З'ясуйте, як зміниться суха біомаса при зміні від 50 до 60 днів.
Завдання № 8.
Реакція організму на введення ліків можуть виражатися в підвищенні кров'яного тиску, зменшення температури тіла, зміни пульсу або інших фізіологічних показників. Ступінь реакції залежить від призначених ліків, їх дози. Припустимо, що Х позначає дозу призначених ліків, У - функція ступеня реакції. У = f (x) = x ² (ax), де а - деяка позитивна постійна. При якому значенні Х реакція максимальна?

Точки перегину важливі в біохімії, так як вони визначають умови, за яких деяка величина, наприклад швидкість процесу, найбільш (або найменш) чутлива до будь-яких впливів.

Пропонується творче завдання (за наявності часу на уроці, якщо маємо в наявності здвоєні уроки. Якщо така можливість відсутня, творче завдання виконується дома).

Завдання № 9.
За останні 10 років чисельність гризунів в місті Д. виросла в 5 разів і досягла 1 мільйона особин: по одному щурю на кожного жителя. За рік одна пара щурів здатна відтворити 50 штук собі подібних. За словами епідеміологів, щурі є переносниками багатьох хвороб - чуми, сказу, енцефаліту. Складіть задачу за наведеними даними і розв'яжіть її.
Завдання № 10.
Залежність добового удою У в літрах від віку корів Х в роках визначається рівнянням У (х) = -9,3 +6,86 х-0, 49х², де х> 2.Знайдіть вік дійних корів, при якому добовий удій буде найбільшим.

Схожі:

Урок узагальнення та систематизації навчального матеріалу Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач геометричного, фізичного та економічного змісту”	УРОК 129. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ Мета Мета. Узагальнити знання учнів про відсотки та масштаб, завершити формування вмінь і навичок розв'язування задач на застосування...
Урок гра з геометрії в 8 класі. Тема уроку «Подібність трикутників» в процесі розв’язування задач; розглянути застосування подібності трикутників для розв’язування практичних...	Тема уроку: Застосування похідної до розв’язування прикладних задач Навчальна мета уроку Навчальна мета уроку: Формувати в учнів вміння знаходити найбільше і найменше значення функції при розв’язуванні різних типів прикладних...
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...	Урок №45 Тема. Пряма пропорційна залежність. Розв'язування задач на пропорційний поділ Мета: продовжити роботу з формування вмінь складати пропорції для розв'язування задач на пряму пропорційну залежність величин; вдосконалювати...
Тема уроку. Розв'язування задач на застосування векторів. Мета уроку Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач	Розв'язування прикладних задач У математиці задачі відіграють важливу роль. Iсторiя свідчить, що математика як наука виникла iз задач i розвивається в основному...
Урок №34 Тема. Задачі на ділення дробів. Знаходження числа за його дробом Мета: домогтися засвоєння учнями алгоритму розв'язування задач на знаходження числа за його дробом (відсотками); повторити алгоритми...	Урок №60 Тема. Розв'язування задач Мета: сформувати уявлення в учнів про схему розв'язання текстових задач складанням квадратного рівняння; сформувати вміння застосовувати...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання