Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?


Скачати 48.65 Kb.
НазваПрограє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?
Дата17.12.2013
Розмір48.65 Kb.
ТипВопрос
bibl.com.ua > Математика > Вопрос
Симетрія в задачах, іграх

Розглянемо таку гру.

Задача 1. Двоє по черзі кладуть п'ятаки на круглий стіл, причому так, щоб вони не накладались один на одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання. В цій грі виграє перший, незалежно від розмірів столу! Першим ходом він кладе п'ятак так, щоб центри монети і столу співпа­ли. Після цього на кожний хід другого гравця той, що починає, відпо­відає симетрично щодо центру столу, тобто на однаковій відстані від центру і всі три монети лежать на одній прямій лінії. Помітимо, що при такій стра­тегії після кожного ходу першого гравця позиція симетрична. Тому, якщо черговий хід другого гравця можливий, то можливий і симетрич­ний йому відповідний хід першого. Отже, він перемагає.

Відповідь. Перемагає гравець, що розпочинає гру з центра, дотримуючись центрально-симетричної ходів у відповідь на хід суперника.

     Спробуємо, застосовуючи симетричну стратегію, розв'язати ще од­ну задачу.

 Задача 2. Двоє по черзі ставлять слонів(ходить і б'є іншу фігуру по діагоналі, на якій стоїть) у клітинки шахової дошки так, що слони не б'ють один одного. (Колір слонів значення не має.) Програє: той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?

 Розв'язання. Оскільки шахова дошка симетрична відносно свого центру, то природно спробувати симетричну стратегію. Але на цей раз (першим ходом не можна поставити слона в центр дошки) симетрію може підтримувати другий гравець. Здавалося б, по аналогії з попередньою задачею, це і є його виграшна стратегія. Проте, додержуючись її, другому гравцю не вдасться зробити навіть свій перший хід! Слон, щойно поставлений першим гравцем, може бити центрально-симетричне поле.

Цей приклад показує, що при доведенні правильності симетричної стратегії не можна забувати про наступну обставину:

черговому симетричному ходу може завадити хід, щойно зроблений супротивником.

Раніше зроблені ходи, в силу симетрії позиції, завадити не можуть.

Щоб розв'язати гру за допомогою симетричної стратегії, необхідно знайти симетрію, при якій щойно зроблений супротивником хід не перешкоджає здійсненню обраного плану.

Так, розв'язання задачі 2 легко провести, застосовуючи не цен­тральну, а осьову симетрію шахової дошки. За вісь симетрії можна взяти пряму, що поділить четверту і п'яту горизонталі. Симетричні відносно неї поля мають різний колір, і, тим самим, слон, що поста­влений на одне з них, не перешкоджає ходу на інше. Таким чином, в цій грі виграє все ж таки другий гравець.

Відповідь. Перемагає гравець, який робить парні ходи, дотримуючись осьово-симетричної стратегії.

Симетрична стратегія зовсім не зобов'язана мати суто геометрич­ний зміст. Розглянемо задачу:

Задача 3. Є дві купи каменів по 7 в кожній. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість каменів, але тільки із однієї купи. Програє той, кому нема що брати. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання.  Якщо другий гравець В2, за своїм ходом «повторює» ходи першого гравця А1, тобто, буде брати з більшої купки стільки камінців, скільки їх бере суперник (починаючий гру), то другий гравець перемагає в цій грі.

Або можна сформулювати виграшну стратегію ще таким чином. В цій грі другий гравець перемагає за допомогою симе­тричної стратегії: кожним своїм ходом він повинен брати стільки ж каменів, скільки попереднім ходом взяв перший гравець, але з іншої купи. Таким чином, у другого гравця завжди є хід. Симетрія в цій задачі грунтується на рівності числа камінців в купах.    

Відповідь. Перемагає гравець, який робить парні ходи, якщо застосує «повторює» ходи починаючого гравця з більшої купки.

Для викладачів. Ідея симетрії заслуговує окремої невеликої розмови. Перед нею необхідно розв'язати дві-три гри на симетрію (краще на одному занятті). Од ще декілька ігор, що ілюструють ту ж ідею.

Задача 4. Двоє по черзі ставлять коні в клітинки шахової дошки так, що коні не б'ють один одного(шаховий коні ходять так: буквою «Г», дві клітинки становить «ніжка» букви і одна клітинка «гачок» букви. Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання. Виграє другий. Його виграшну стратегію можна сформулювати  таким чином. В цій грі другий гравець перемагає за допомогою симе­тричної стратегії: кожним своїм ходом він може використати і центральну, і осьову си­метрію. Таким чином, у другого гравця завжди є хід.   Можна використати і центральну, і осьову си­метрію.

 Задача 5. Двоє по черзі ставлять королі у клітинки дошки 9x9 так, що королі не б'ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання. Виграє перший. Перший хід в центр дошки, а після цього - центральна симетрія.

 Задача 6. а) Двоє по черзі ставлять слони у клітинки шахової дошки. Черговим ходом слід побити хоча б одну небиту клітинку. (Слон б'є і клітинку, на якій він знаходиться. Програє той, хто не може пробити хід.

б) Та ж гра, але з турами. Програє той, хто не може зробити хід.

Хто перемагає при найкращій грі?

 Розв'язання. В обох пунктах виграє перший гравець,  а) Осьова симетрія; б) Центральна симетрія.   Вирішальним міркуванням є те, що якщо два симетричних поля не побиті, то поля, з яких обидва вони б'ються, також не побиті.

 Задача 7. Дано клітчасту дошку 10х10. За хід дозволяється по­крити будь-які 2 сусідні клітинки прямокутником 1x2 так, щоб пря­мокутники не перекривались. Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання. Виграє другий. Центральна симетрія.

Задача 8. В кожній клітинці дошки 11х11 стоїть шашка. За хід дозволяється зняти з дошки будь-яку кількість шашок, що йдуть під­ряд, або з одного вертикального, або з одного горизонтального ряду. Виграє той, хто зняв останню шашку. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання. Виграє перший.  Першим ходом він знімає центральну шашку, а потім грає центрально-симетрично.

 Задача 9. Є дві купки камінців: в одній - 30, в другій - 20. За хід дозволяється брати будь-яку кількість камінців, але тільки з одної купки. Програє той, кому нема що брати. Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання. Виграє перший. Першим ходом він зрівнює кількість камнців в купках, після чого грає як в задачі 3.

Задача 10. На колі розставлено 20 точок. За хід дозволяється з'єдна­ти будь-які дві з них відрізком, що не перетинає відрізків, які проведено раніше. Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?

 Розв'язання. Виграє перший.  Першим ходом він проводить хорду, по обидва боки від якої розташовано по 9 вершин.   Після цього, на кожний хід другого він відповідає аналогічним ходом по інший бік від цієї хорди.

 Задача 11. Ромашка має а) 12 пелюсток; б) 11 пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну пелюстку, або дві, що ростуть поруч. Програє той, хто не може зробити ходу. Хто перемагає при найкращій грі?

Розв'язання. В обох пунктах виграє другий гравець. Незалежно від ходу пер­шого гравця, другий може після свого ходу залишити два однакових за довжиною ланцюжки пелюсток. Далі - симетрія.

Схожі:

Двоє гравців по черзі кладуть п'ятикопійчані монети на круглий
Той, кому нікуди покласти монету, програє. Хто за умови дотримання правил гри виграє — той, хто ходить першим, чи той, хто ходить...
В березні місяці Італія святкує 150 років об,єднання. Свято яке викликало...
Хто згіден, хто ні; хто протестує, хто критикує, хто підтримує, а декому взагалі байдуже. Але тим не менш живуть під одним прапором,...
До уваги батьків!
Учити жити — це значить передавати із серця в серце моральні багатства. І передає ці багатства той, хто з колиски пестить дитину,...
Шановні вчителі, глядачі!
Ви присутні на грі «Слаба ланка». Сьогодні ми визначимо кращого інтелектуала школи. Ним стане той, хто впевнено, без перешкод, подолає...
«Я знаю: мова мамина свята»
Хто не любить свою мову – той не любить свою батьківщину”. „Я не смію тебе розлюбить, моє вічне кохання, о мово!”. „Хто не знає рідної...
Учений це не той, хто дає правильні відповіді, а той, хто ставить правильні запитання.”
Розвиток пізнавальної і творчої діяльності учнів; вироблення навиків самостійного пошуку нових закономірностей, пробудження їх допитливості;...
Аскетичні науки І. ВСТУПНА АСКЕТИЧНА НАУКА
Хто бажає великого, високого достоїнства, хто хоче стояти все при Христі, а почує голос:,Коли хто служить мені, нехай іде за мною;...
Ми раді вітати всіх хто зібрався в цій залі. Вітаємо всіх, хто любить...
Учень: У мене для вас ось така новина! Всїх вчителів направили на семінар, залишилися тільки математики. І у нас сьогодні 6 уроків...
КОНКУРС. Презентація команд: оголошення назви, девізу
ВЕДУЧИЙ : Сьогодні, мабуть, навряд чи знайдеться дитина, яка бодай не чула б про Гаррі Поттера. Дехто вже встиг прочитати відому...
Підготувала Вчитель англійської мови
Гра розроблена для проведення тижня англійської мови в школі, для учнів 4-го класу, в грі приймають участь три учні по 10 питань...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка