Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння

Скачати 445.32 Kb.

Назва	Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння
Сторінка	5/5
Дата	25.10.2013
Розмір	445.32 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4 5

Приклад 2. (диференціальне рівняння радіоактивного розпаду). Нехай у початковий момент часу маса радіоактивної речовини дорівнює

m(0)=m₀. (5)

Відомо, що швидкість зменшення маси речовини m(t) з часом пропорційна її кількості, тобто виконується рівняння

, де k>0. (6)

Скористаємося (без доведення) встановленою залежністю m(t)=Ce^-^kt.

Константу C знаходимо з умови (5). Маємо: m(0)=Ce⁰, тобто C=m(0)=m₀, звідки m(t)=m₀ e^-^kt.

Нагадаємо, що інтервал часу T, за який маса радіоактивної речовини зменшується вдвічі, називають періодом піврозпаду цієї речовини. Отже, k і T пов’язані рівнянням e^-^kT=, з якого дістанемо: e^kT=2, kT=ln2, k=. Для радію T1550 років, тому k=0,000447. Через мільйон років від початкової маси радію m₀ залишиться

m()=m₀ e^-447

.
ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНИХ КОНКУРСІВ

ЗАДАЧА 1. Знайти всі функції, визначені на R, для

R, і задовольняють рівності:

(1)

Розв’язання. Зробимо такі заміни:

x=y, тоді (2)
y=-x, тоді (3)

З (2) і (3) маємо:

(4)

Підставимо в (4) x=1

.

Отже:

.

При x=x+y, маємо:

,

при

, маємо:

.

Підставимо в (1) і отримаємо:

.

Отже шукані функції, які задовольняють рівняння (1):

.

ЗАДАЧА 2. Знайти всі функції, визначені на R, для

R, і задовольняють рівності:

(1)

Розв’язання. Зафіксуємо y і продиференціюємо (1):

(2)

Тобто:

.

Тепер зафіксуємо x і продиференціюємо (1):

(3)

З (2) і (3) отримаємо, що a=1.

Отже шукана функція має вигляд:

.

ЗАДАЧА 3. Знайти всі функції, визначені на R, для

R, і задовольняють рівності:

(1)

де f визначена на R функція, що задовольняє рівняння (1) при довільних R, причому f(0)=0.

Розв’язання. Покладемо спочатку в рівнянні (1) x=0 і y=x. Тоді воно набере вигляду:

(2)

Якщо y=2x, то

(3)

При y=-2x

(4)

Додаючи і віднімаючи рівняння (3) і (4), матимемо:

звідки

(5)

Комбінуючи, нарешті, рівняння (2) і (5), дістанемо:

.

Ця єдина функція справді задовольняє рівняння (1) і буде його розв’язком при всіх x

R.

ЗАДАЧА 4. Розв’язати рівняння

f (x)+f ()= x для R / {2}. (1)

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Зробимо таку заміну = u, звідси x =. Підставимо в (1):

f ()+f (u)= . (2)

Тепер в (2) покладемо x= u :

f ()+f (x)=. (3)

Від (1) віднімемо (3):

f () - f ()=. (4)

Тепер зробимо заміну в отриманому рівнянні: =, звідси 4x=4x-8-2xu+4u. Виражаємо x:

x==.

Тоді, підставивши в (4), отримаємо

f () - f()==

==.

І , нарешті, поклавши x=u , отримаємо:

f (x)-f ()=. (5)

Додамо рівності (1) і (5):

2 f (x)==.

Звідки отримуємо шукану функцію

f (x)= .
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.

Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Проб. підруч. для 10 – 11 кл. серед. шк. К.: Зодіак – ЕКО, 1995. – 608 с.
Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра: Проб. підруч. для 11 кл. шк. та кл. з поглиб. вивченням математики. – К.: Освіта, 1994. – 304 с.
У світі математики. Збірник науково – популярних статей. Випуск 9. К.: Радянська школа, 1978. – 236 с.
У світі математики. Збірник науково – популярних статей. Випуск 10. К.: Радянська школа, 1979. – 207 с.
У світі математики. Збірник науково – популярних статей. Випуск 14. К.: Радянська школа, 1983. – 255 с.
Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т.1. М.,1969.– 608с.
Большая Советская Энциклопедия, т.45. М., 1956.

1 2 3 4 5

Схожі:

Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що...	В. Л. Красюк Ділова українська мова У посібнику подано основні теоретичні відомості з ділового українського мовлення, висвітлено питання правопису та загальні мовні...
1. Загальні відомості про районні організації політичних партій Загальні відомості про районні організації політичних партій (останні дані про кількість зареєстрованих районних організацій, порівняльний...	Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та... Тема 1: Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та кондитерського виробництва, їх місце та роль у сучасному...
Урок №3 Тема. Рівняння та його корені Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; поглибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...	ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ ЗАСТУПНИКА ГОЛОВИ РАЙОННОЇ ДЕРЖАВНОЇ... Виконує функціональні повноваження першого заступника голови районної державної адміністрації у разі його відсутності, діючи в межах,...
ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ КЕРІВНИКА АПАРАТУ Закону України „Про державну службу” та здійснює координацію роботи з питань запобігання проявам корупції в апараті районної державної...	Додатки до уроку «Материки Землі» Додаток Історичні відомості про виникнення материків Земля — одна з 9 планет, якi обертаються навколо Сонця i утворюють Сонячну систему
Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби... Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби із сірників; картинки із сірників; аплікація із сірників;...	Лабораторна робота №2 Дослідження властивостей термопластичних насичених... Дослідження властивостей термопластичних насичених та ненасичених полімерів на прикладі поліетилену та КАУЧУКУ

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання