Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння
|
|
Скачати 445.32 Kb.
|
Приклад 1. Що буде являти собою графік функції y=f(x), що задовольняє функціональне рівняння f(x)=f(f(x)), і є неперервною на всій числовій осі. Г  рафіком такої функції є лінія, що має характерні «злами». Спочатку графічно отримаємо точку з ординатою  , припускаючи відомим розташування графіка функції  , це ордината точки  (рис.1).Висновок 1. Якщо справедлива рівність  , то кожній точці графіка , що лежить поза прямою y=x, відповідає точка графіка, яка лежить на прямій y=x і має ту ж ординату. Для обґрунтування такого висновку помітимо, що на рис.1 ординати точок М1 і М3 повинні співпасти, тоді точка М3 графіка співпаде з точкою М2 прямої y=x.Т  аким чином, доки ситуація з графіком функції , що задовольняє умову , виглядає як на рис.2, точки Mi і Ni належать графіку.Зробимо тепер основний висновок. Висновок 2. Якщо функція неперервна на всій числовій осі і задовольняє рівнянню , то частинами її графіка обов’язково є частини прямої (чи вся її пряма, чи її промінь, чи її відрізок, чи її точка), а сам графік має один з п’яти видів, зображених на рис.3. Д   ля обґрунтування цього висновку візьмемо дві точки графіка , що лежать на прямій y=x:  і  Як відомо значення функції f(x) в силу її неперервності заповнять на осі Oy весь відрізок з кінцями в точках f(x1) і f(x2). А цьому відрізку буде на прямій y=x відповідати відрізок N1N2 графіка (рис.4).Таким чином, на прямій y=x графіку функції належить множина, яка або складається тільки з одної точки, або, поряд з двома різними точками, містить і весь відрізок між ними. Подібні множини на прямій називають однозв’язними. Необхідно звернути увагу на те, що в силу неперервності функції на всій числовій прямій розглядуваній множині належать його граничні точки.Геометрично очевидно, що на прямій однозв’язними множинами, які містять і всі свої граничні точки, являються тільки сама пряма, окремі її точки, промені, відрізки. Частина графіка , що лежить на прямій y=x, визначає верхню і нижню границі для частин графіка , що не лежать на прямій. В іншому ці частини довільні – настільки, наскільки можуть бути довільними частини графіка неперервної на всій числовій прямій функції, оскільки не важко перевірити, що для довільної неперервної функції, графік якої належить одному з пяти видів, вказаних на рис. 3, справедлива рівність .Приклад 2. Цей приклад є узагальненням попереднього і стосується графічного розв’язку рівняння f (x)=f  ,де функція  неперервна й строго монотонна на всій числовій осі.Як відомо для такої функції існує строго монотонна та неперервна обернена функція  , значення якої заповнюють всю числову вісь.Спочатку на рисунку, аналогічному рис.1, графічно одержимо точку з ординатою f , приймаючи за відоме розташування графіків функцій y=f (x) та y=, – це ордината точки M3 (рис.5).А  бсциса точки M2 повинна дорівнювати саме  , щоб отримати ординатуf (x)= f .Тепер неважко зробити висновок, який узагальнює висновок 2: якщо функція y=f (x) неперервна на всій числовій осі й задовольняє рівняння f (x)=f ,де функція y= неперервна та строго монотонна на всій числовій осі, то частинами графіка y=f (x) обов’язково є частини графіка y=(чи він увесь, чи його промінь, чи його відрізок, чи його точка); а сам графік y=f (x) має один з п’яти видів, зображених на рис.6. АДИТИВНІ ФУНКЦІЇ Нехай на R  визначено деяку функцію f, що задовольняє при довільних x, y R функціональне рівнянняf (x+y)=f (x)+ f (y). (32) Це рівняння характеризує так звані адитивні функції. Легко побачити: лінійна однорідна функція f (x)= ax (a – довільна стала) задовольнятиме (32). Виявляється, що для досить широкого класу функцій лінійна однорідна функція – єдина серед усіх, що задовольняють (32). ЗАДАЧА 1. Довести, що визначена на R функція f, яка задовольняє (32) і обмежена зверху хоча б на одному інтервалі (s, s+t) (t – деяке додатне число), є лінійна однорідна функція. РОЗВ’ЯЗАННЯ. Із співвідношення (32) при x=y матимемо f (2x)=2f (x). Припустимо, що f (nx)= nf (x), n N (33)і доведемо, що f [(n+1)x]= (n+1) f (x). Справді f [(n+1)x]=f (nx+x)=nf (x)+f (x)= (n+1) f (x). Отже, згідно з принципом математичної індукції рівність (33) має місце для будь-якого натурального числа n. Вважатимемо тепер у рівності (33), яка виконана при довільному x R, x рівним  . Маємо:f ( ) =  f (x), nN.Нехай тепер r – довільне додатне раціональне число, тобто r=  (m, nN). Тоді, згідно з доведеним,f (rx)= f ( x)= mf ()=f (x)= rf (x).Отже, якщо функція f адитивна, то для довільного додатного числа r Q має місце рівністьf (rx)= rf (x) (34) (при будь-якому x R).Співвідношення (34) дає можливість для довільної адитивної функції f, що задовольняє (32), обчислювати її значення при будь-якому додатному r Q, якщо задане тільки одне її значення, зокрема: f (1). Справді, покладаючи в (34) x=1, дістанемо:f ( r)= rf (1). Більше того, формула (34) діє також і при від’ємних раціональних значеннях змінної. Для того, щоб переконатися в цьому, покажемо спочатку, що f (0)= 0. Покладемо в (34) x=y=0, тоді f (0)=2f (0). Отже, f (0)= 0. Візьмемо тепер у (34) y= - x, тоді f (x–x)= f (x)+ f (- x)= f (0)=0 і, отже, f (- x)= f (x) для довільного x R .Таким чином, для довільного від’ємного раціонального числа – r: f (-rx)= - f (rx)= - rf (x). Отже, для будь-якого r Qf (rx)= rf (x), x R (35) і, зокрема, при x=1 f ( r)= rf (1), r Q. (36)Це для визначеної на R адитивної функції f, що задовольняє функціональне рівняння (32), але це справедливо, коли значення змінної раціональні. Поширимо формулу (36) на всі дійсні значення x, використавши те, що f обмежена зверху хоча б на одному інтервалі (s; s+t) (t – деяке додатне число). Зазначимо, що з умови f (x)<M на інтервалі (s; s+t) випливає обмеженість зверху функції f на інтервалі (0; t). Справді, нехай x (0; t), тоді x+s(s; s+t) i, отже, f (x+s)<M. Виходячи з (32), маємо f (x)+f (s)<M і, отже,f (x)1 при довільному x (0; t).Введемо до розгляду допоміжну функцію: g(x)=f (x) –  x, xR. (37)На проміжку (0; t) функція g обмежена зверху: g(x)<M1+|f (t)|=M2. Очевидно також, що g(t)=0 i при довільних x, y Rg(x+y)=g(x)+g(y). Звідки випливає, що g(x+t)=g(x)+g(t)=g(x), тобто функція g – періодична з періодом t >0. З періодичності цієї функції та її обмеженості зверху на проміжку (0; t) випливає обмеженість зверху g при довільному x R , тобто g (x)< M2.Доведемо тепер, що g(x)  0. Припустимо супротивне: нехай при деякому x0(0; t) значення функції g(x0) 0. З формули (34) матимемо тоді для адитивної функції g:g(rx0)=rg(x0), r Q.Очевидно, завжди можна підібрати число r Q так, щоб rg (x0)>M2. Отже, при значенні змінної rx0 матимемо g(rx0)>M2, а це суперечить тому, що g(x)< M2 при довільному xR.Суперечність доводить, що g(x) 0 при будь-якому x(0; t), а отже, враховуючи періодичність, g(x)0 при довільному xR.З формули (37) дістанемо: f (x)= x.Поклавши a= , остаточно матимемо:f (x)=ax, x R,що й треба було довести. З останньої формули очевидно, що a=f(1) (a – довільна стала). Не слід думати, що довільна визначена на R функція f, що задовольняє (32), є лінійною однорідною. У 1905 р. німецький математик Г.Гамель (1977–1954) побудував адитивну функцію, що була відмінною від лінійної однорідної. Основна її властивість полягає в тому, що вона не обмежена зверху на довільному інтервалі. На жаль, результат Гамеля дуже складний, і я не наводжу його. |
Схожі:
|
Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що... |
В. Л. Красюк Ділова українська мова У посібнику подано основні теоретичні відомості з ділового українського мовлення, висвітлено питання правопису та загальні мовні... |
|
1. Загальні відомості про районні організації політичних партій Загальні відомості про районні організації політичних партій (останні дані про кількість зареєстрованих районних організацій, порівняльний... |
Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та... Тема 1: Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та кондитерського виробництва, їх місце та роль у сучасному... |
|
Урок №3 Тема. Рівняння та його корені Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; поглибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті... |
ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ ЗАСТУПНИКА ГОЛОВИ РАЙОННОЇ ДЕРЖАВНОЇ... Виконує функціональні повноваження першого заступника голови районної державної адміністрації у разі його відсутності, діючи в межах,... |
|
ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ КЕРІВНИКА АПАРАТУ Закону України „Про державну службу” та здійснює координацію роботи з питань запобігання проявам корупції в апараті районної державної... |
Додатки до уроку «Материки Землі» Додаток Історичні відомості про виникнення материків Земля — одна з 9 планет, якi обертаються навколо Сонця i утворюють Сонячну систему |
|
Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби... Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби із сірників; картинки із сірників; аплікація із сірників;... |
Лабораторна робота №2 Дослідження властивостей термопластичних насичених... Дослідження властивостей термопластичних насичених та ненасичених полімерів на прикладі поліетилену та КАУЧУКУ |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua