Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння


Скачати 445.32 Kb.
НазваЗагальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння
Сторінка1/5
Дата25.10.2013
Розмір445.32 Kb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Математика > Документи
  1   2   3   4   5





ЗМІСТ

Вступ

  1. Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння

  2. Елементарні методи розв’язування функціональних рівнянь

2.1. Метод Коші (аналітичний метод)

2.2. Метод підстановок

2.3. Метод диференціювання

2.4. Ітераційний метод

2.5. Графічний метод

  1. Адитивні функції

  1. Функціональне рівняння для лінійної однорідної функції

  2. Функціональне рівняння для показникової функції

  3. Функціональне рівняння для логарифмічної функції

  4. Функціональне рівняння для степеневої функції

  5. Функціональне рівняння для тригонометричного тангенса

  6. Диференціальні рівняння як вид функціональних рівнянь

  7. Задачі математичних конкурсів

Список використаної літератури
ВСТУП

Традиційно під розв’язками рівнянь ми розуміємо число чи декілька чисел. В цій роботі ви познайомитеся з такими рівняннями, коренями яких є функції.

Розв’язуючи функціональне рівняння потрібно добре знати властивості всіх функцій, а саме, як поводять себе їх абсциси і ординати.

В цій роботі розглянуто п’ять методів розв’язування функціональних рівнянь: метод Коші (аналітичний), метод підстановок, диференціювання, ітераційний та графічний метод. Розкрито поняття «адитивної функції» і наведено характеристичне для неї рівняння (таке рівняння, яке повністю розкриває її властивості).

Також наведені і доведені характеристичні рівняння для лінійної однорідної, показникової, логарифмічної, степеневої функції.

Але в даній роботі наведені лише теоретичні міркування: функціональні рівняння можна розглядати з практичної сторони, оскільки вони мають велике прикладне значення, а саме, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і техніки. Їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у багатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що досить часто об’єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі таких рівнянь, а самі ці рівняння є засобом для кількісного вираження цих законів.

Розв’язування і складання функціональних рівнянь – одне з найстаріших питань в математиці, але багато хто і не чув про нього. Нажаль, цієї теми немає в шкільній програмі, тому вона не дуже легко засвоюється при самостійному вивченні.

Рекомендовано вчителям математики та учням при підготовці до математичних конкурсів.
ЗАГАЛЬНІ ТЕОРЕТИЧНІ ТА ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ ПРО ФУНКЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Нехай нам задано деяку функцію f і рівність між виразами, складеними із значень цієї функції (або функції F від цієї функції) для вибраних однієї або кількох змінних, наприклад x і y, або для якої-небудь комбінації цих змінних.

Такі рівності, призначені для визначення однієї невідомої функції f (або кількох), називають функціональними рівняннями.

Найпростішими прикладами функціональних рівнянь є такі:

;

;

;

;

;

;

;

;

і т.п.

Розв’язком заданого найпростішого рівняння буде таке значення f(x), або такий клас функцій, що задовольняють функціональне рівняння, при значеннях змінного з області визначення (при деяких додаткових умовах). Додатковими умовами можуть бути умова неперервності функції f , умова диференційованості, обмеженості та ін.

Характер шуканої функції звичайно визначається поставленою метою, наявними можливостями і обмеженнями. Так, наприклад, розв’язком рівняння буде ax, якщо припустити, що шукана функція f неперервна. Якщо ж умову неперервності виключити, то виявляється, що існують розривні функції, необмежені в будь-якому інтервалі, але такі, що задовольняють задане функціональне рівняння.

Розв’язком рівняння є будь-яка парна функція з області визначення; рівняння є умова періодичності. Іншим функціональним рівнянням, наведеним вище, відповідають цілком визначені функції, однозначні з точністю до коефіцієнтів, що задовольняють певні умови.

Питання про розв’язування функціональних рівнянь – одне з найстаріших у математиці. Такі визначні математики, як Л. Ейлер, Н. Абель, К. Гаусс, О. Коші, М.І. Лобачевський, Г. Монж та ін. не раз зверталися до таких рівнянь при розробці якої-небудь теорії.

Ейлер застосовував функціональні рівняння при розв’язуванні деяких диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Основоположник неевклідової геометрії М.І. Лобачевський функціональне рівняння використав для визначення кута паралельності. Він же звертався при обґрунтуванні неевклідової геометрії й до інших функціональних рівнянь.

Рівняння використовується у проективній геометрії та теорії ймовірностей.

Функціональне рівняння має цікаве застосування в механіці, зокрема для обґрунтування закону додавання сил.

Нарешті, виходячи із задання певного функціонального рівняння, можна аналітично обґрунтувати побудову різних елементарних функцій, наприклад показникової, логарифмічної, тригонометричних. Такий підхід має переваги перед поширеним геометричним, бо він не обумовлений вибором геометрії, і є законним як в евклідовій, так і в неевклідовій геометрії.


МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Існують такі методи розв’язування функціональних рівнянь:

  • метод Коші (аналітичний метод);

  • метод підстановок;

  • метод диференціювання;

  • ітераційний метод.

МЕТОД КОШІ (аналітичний метод)

Цей метод полягає в тому, що розв’язок рівняння, тобто функцію f(x) знаходять спочатку для xN, потім для всіх xQ і, нарешті, для всіх xR (цей метод застосований при умові неперервності і монотонності функції f(x)).

Приклад 1. Розв’яжемо методом Коші функціональне рівняння

(1)

тобто знайдемо f(x), припускаючи, що ця функція монотонна і неперервна на .

Розвязання. Покладемо послідовно

;

; (2)

f(nx)=f(x)f((n-1)x)= ...f n(x)

(за методом математичної індукції).

Покладемо в (2) x=1:

f(n)=f n(1).

Вважаючи f(1)= a = const, дістанемо

f(n)=an,

тобто (x=n, xN) (f(x)=ax).

Покладемо тепер у (2) x=, де m, n Z і n0. Тоді

f(m)=f n ,

або a m =f n,

звідси f = a.

Зокрема, при m=1,:

f = a.

Оскільки за умовою функція f(x) визначена при довільних значеннях x, то матиме смисл при довільному nN, звідки

f(1)=a0.

Поклавши в (1) y=0, дістанемо при довільному a

f(x)=f(x)f(0).

І, оскільки f(x) будучи монотонною (зростаючою або спадною), не дорівнює тотожно нулю, то

f(0) = 1 = a0.

Поклавши в (1) y = -x, дістанемо:

f(x)f(-x)=f(0).

Звідси f(-x)=.

Отже, при x = :

f ===.

(Отже, рівність a=0 виключається).

З викладеного випливає, що при всіх раціональних x функція f(x) має значення, що дорівнює ax, тобто є показниковою функцією.

Нехай x= – ірраціональне дійсне число; тоді в силу монотонності f(x) маємо: f()

для зростаючої f(x), або

для спадної f(x).

Тут і – наближені десяткові значення з недостачею і надлишком, тобто , Q.

Оскільки f ) = a і f і єдиним числом, що міститься між a і a , є , то f()=.

Отже, (xR)(f(x)=ax).

Рівняння (1) – характеристичне для показникової функції.

Приклад 2. Знайти всі розв’язки функціонального рівняння

f(xy)=yf(x)+xf(y) (3)

де f неперервна на функція, що задовольняє (3) при довільних x, y .

Розвязання. Покладемо в (3) y= x, тоді

f(x2)=2xf(x).

Якщо ж y= x2, то

f(x3) = x2 f(x) + x f(x2) = x2 f(x) + 2 x2 f(x) = 3 x2 f(x).

Використовуючи метод математичної індукції, легко показати, що при довільному nN

f(xn) =n xn-1 f(x) (4)

Припустимо, що рівність (4) – правильна і доведемо, що

f(xn+1) = (n+1) xn f(x).

Справді f(xn+1) = f(x) = xnf(x) + xf(xn) = xnf(x) + nxnf(x) = (n+1)xnf(x).

Рівність (4) виконується при n= 0. Справді, покладемо в (3) y=1, тоді

f(x) = f(x)+ xf(1)f(1)=0.

Якщо ж покласти в (3) , то

,

тобто співвідношення (4) виконується і при n=-1. Використовуючи метод математичної індукції, легко показати, що рівність (4) зберігатиметься при довільному цілому від’ємному значенні. Отже, (4) має місце при довільному Z.

Замінимо тепер у (3) x і y відповідно на і , де Z. Використовуючи (4) маємо:



Отже (5)

Для довільного числа Q, що має вигляд , дістанемо



Отже, для довільного числа Q :

(6)

(при будь-якому додатному x).

Розглянемо довільне число R і виділимо послідовність раціональних чисел , збіжну до .

Згідно з (6), матимемо ( x – довільне додатне число). Переходячи в цьому співвідношенні до границі при дістанемо (в силу неперервності функції f на ):

(7)

( x– довільне додатне число).

Підставимо в (7) значення ( y – довільне додатне число). Тоді . Звідси .

Тут x і y – довільні додатні значення, а тому (c – довільна стала) при всіх .

Таким чином, шуканим розв’язком функціонального рівняння (3) є функція f(x)= (c – довільна стала).

Аналітичний метод – основа для подальшого вивчення деяких класів функціональних рівнянь.

МЕТОД ПІДСТАНОВОК

Метод підстановок полягає в тому, що застосовуючи замість змінних різні підстановки і комбінуючи знайдені рівняння, визначають f(x). Це найпоширеніший метод розв’язування функціональних рівнянь.
  1   2   3   4   5

Схожі:

Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів
Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що...
В. Л. Красюк Ділова українська мова
У посібнику подано основні теоретичні відомості з ділового українського мовлення, висвітлено питання правопису та загальні мовні...
1. Загальні відомості про районні організації політичних партій
Загальні відомості про районні організації політичних партій (останні дані про кількість зареєстрованих районних організацій, порівняльний...
Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та...
Тема 1: Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та кондитерського виробництва, їх місце та роль у сучасному...
Урок №3 Тема. Рівняння та його корені
Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; по­глибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...
ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ ЗАСТУПНИКА ГОЛОВИ РАЙОННОЇ ДЕРЖАВНОЇ...
Виконує функціональні повноваження першого заступника голови районної державної адміністрації у разі його відсутності, діючи в межах,...
ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ КЕРІВНИКА АПАРАТУ
Закону України „Про державну службу” та здійснює координацію роботи з питань запобігання проявам корупції в апараті районної державної...
Додатки до уроку «Материки Землі» Додаток Історичні відомості про виникнення материків
Земля — одна з 9 планет, якi обертаються навколо Сонця i утворюють Сонячну систему
Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні ви­роби...
Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні ви­роби із сірників; картинки із сір­ни­ків; аплікація із сірників;...
Лабораторна робота №2 Дослідження властивостей термопластичних насичених...
Дослідження властивостей термопластичних насичених та ненасичених полімерів на прикладі поліетилену та КАУЧУКУ
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка