Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння

Скачати 445.32 Kb.

Назва	Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння
Сторінка	2/5
Дата	25.10.2013
Розмір	445.32 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4 5

Приклад 1. Розв’язати рівняння

f =.

Розв’язання. Замінимо x на

, а y – на 0:

або

,

де b= f(0). Порівнюючи це рівняння з даним, дістанемо:

розв’язком якого є функція

.

Приклад 2. Знайти всі розв’язки функціонального рівняння

(8)

де f визначена на R функція, що задовольняє рівняння (8) при довільних R, причому f(0)=0.

Розв’язання. Покладемо спочатку в рівнянні (8) x=0 і y=x. Тоді воно набере вигляду:

(9)

Якщо y=2x, то

(10)

При y=-2x

(11)

Додаючи і віднімаючи рівняння (10) і (11), матимемо:

звідки

(12)

Комбінуючи, нарешті, рівняння (9) і (12), дістанемо:

.

Ця єдина функція справді задовольняє рівняння (8) і буде його розв’язком при всіх x

R.

Приклад 3. Нехай a і b, a b – додатні числа, відмінні від 1. Знайти всі функції f: RR такі, що для довільних дійсних чисел x і y виконується рівність:

. (13)

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Підставимо x=y=0 в дане рівняння і отримаємо

, (14)

звідки f (0)=0.

З тотожності f (x+y)f (y+x) і з умови задачі слідує, що для довільних x і y виконується рівність:

, (15)

яку при x, y 0 перепишемо у вигляді:

.

Це означає, що

= const = C, тобто f (x) = C (a^x - b^x), де C

R. А так як

C (a^x - b^x)=0, то будь – яка шукана функція описується отриманою формулою і при x=0. Перевірка показує, що при довільному C

R функція f (x)= C (a^x - b^x) задовольняє потрібну рівність (13).

Приклад 4. Розв’яжемо методом підстановок функціональне рівняння

(16)

припускаючи, що шукана функція неперервна в множині R.

Розв’язання. Нехай а)

; б)

; в)

і введемо позначення

.

Дістанемо відповідно три рівняння:

(17)

(18)

(19)
Додавши рівняння (17) і (18) і віднявши від суми рівняння (19) дістанемо

Отже, розв’язком рівняння (16) є функція виду

(20)

Безпосередньою перевіркою пересвідчуємося, що функція (20) є розв’язком рівняння

Приклад 5. Знайти функцію f з областю визначення , що задовольняє функціональне рівняння

(21)

Розв’язання. Поклавши

, дістанемо в результаті підстановки в (21):

Позначивши t через x, матимемо:

(22)

Розв’язавши систему рівнянь (21) – (22), остаточно маємо:

Ця функція з областю значення справді задовольняє функціональне рівняння (21).

Приклад 6. Знайти функцію f з областю визначення

, що задовольняє функціональне рівняння

(23)

Розв’язання. Поклавши

, отже,

, звідки

, при підстановці в (23) дістанемо:

Позначивши t через x, матимемо:

(24)

Розв’язавши систему рівнянь (23) – (24), дістанемо:

Ця функція справді задовольняє функціональне рівняння (23).

Приклад 7. Знайти функцію f з областю визначення

, що задовольняє функціональне рівняння

(25)

Розв’язання. Поклавши

, отже,

, звідки

, і врахувавши, що

дістанемо при підстановці в (25):

Позначивши t через x, матимемо:

(26)

Розв’язавши систему рівнянь (25) – (26), дістанемо:

і, нарешті, поклавши

так, що

, дістанемо:

.

Отже, остаточно, шукана функція f з областю визначення

, яка справді задовольняє функціональне рівняння (25) –

.

МЕТОД ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Цей метод полягає в тому, що фіксуючи одну змінну, ми беремо похідну всього рівняння і розв’язуємо його відносно другої змінної.

Приклад 1. Знайти всі функції для сяких виконується рівність

f (x+y) = f (x) + f (y) (27)

для будь-яких x,y.

Розв’язання. Зафіксуємо y. Візьмемо похідну від (27):

f ^‘ (x+y) = f ^‘(x) + f ^‘(y)

f ^‘(x+y) = f ^‘(x)=а.

Якщо f ^‘(x)=a, то f(x)=ax+c.

f(x)=ax+c,

f(y)=ay+c,

f(x+y)=a(x+y)+c

f(x)+f(y)=ax+c+ay+c , коли c=0.

Розв’язком (27) буде y=ax.

Приклад 2. Знайти всі функції, визначені на множині R, для сяких при умові

, виконується рівність

Розв’язання. Будемо вважати, що функція f має похідну в кожній точці.

Перетворимо

Зафіксуємо число y і з одержаної тотожності будемо мати

або

Оскільки ця рівність виконується при

то f ^‘(x) – постійна; так що

f(x)=ax+b, де a,bR.

Але f(x)-2f(y)+f(2y-x)=(ax+b)-2(ay+b)+a(2y-x)+b=0 при любих a і b, так що розв’язками задачі (в класі диференційних функцій) є лінійні функції.

ІТЕРАЦІЙНИЙ МЕТОД

Цим методом розв’язують більш складніші функціональні рівняння. Назва «ітераційний» походить від слова «ітерація», що означає необоротні повтори.

Приклад. Знайти функцію f з областю визначення D(f)=R|{0;1}, що задовольняє функціональне рівняння

. (28)

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Поклавши = t (x0), і, отже, x–1=tx, звідки x= (t1), дістанемо при підстановці в (28):

(t1).

Позначивши t через x, матимемо:

(x1). (29)

Поклавши в (28) x= (u1), і, отже,

, звідки u= (x1), дістанемо з урахуванням того, що

= = (u1),

при підстановці в (28)

.

Позначивши u через x, матимемо:

, xR/{0;1} (30)

Розв’язуючи систему рівнянь (28) – (30), додавши, наприклад, перші два з них, і віднявши третє, дістанемо:

f (x)=, xR/{0;1}.

Отже, шукана функція f з областю визначення D(f)=R/{0;1}, яка справді задовольняє (28), має вигляд (31).

Під цей метод підходять розв’язки рівнянь

f (x+y)+f (x-y)=2f (x)cosy,

які подано в методі підстановок.

ГРАФІЧНИЙ МЕТОД.

Цей метод полягає в побудові графіка такої функції, яка б задовольняла відповідне функціональне рівняння.

1 2 3 4 5

Схожі:

Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що...	В. Л. Красюк Ділова українська мова У посібнику подано основні теоретичні відомості з ділового українського мовлення, висвітлено питання правопису та загальні мовні...
1. Загальні відомості про районні організації політичних партій Загальні відомості про районні організації політичних партій (останні дані про кількість зареєстрованих районних організацій, порівняльний...	Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та... Тема 1: Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та кондитерського виробництва, їх місце та роль у сучасному...
Урок №3 Тема. Рівняння та його корені Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; поглибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...	ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ ЗАСТУПНИКА ГОЛОВИ РАЙОННОЇ ДЕРЖАВНОЇ... Виконує функціональні повноваження першого заступника голови районної державної адміністрації у разі його відсутності, діючи в межах,...
ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ КЕРІВНИКА АПАРАТУ Закону України „Про державну службу” та здійснює координацію роботи з питань запобігання проявам корупції в апараті районної державної...	Додатки до уроку «Материки Землі» Додаток Історичні відомості про виникнення материків Земля — одна з 9 планет, якi обертаються навколо Сонця i утворюють Сонячну систему
Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби... Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби із сірників; картинки із сірників; аплікація із сірників;...	Лабораторна робота №2 Дослідження властивостей термопластичних насичених... Дослідження властивостей термопластичних насичених та ненасичених полімерів на прикладі поліетилену та КАУЧУКУ

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання