«Обчислення границь функцій»

Скачати 270.05 Kb.

Назва	«Обчислення границь функцій»
Дата	24.10.2013
Розмір	270.05 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Одеський коледж комп’ютерних технологій ОДЕКУ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до самостійної роботи студентів

на тему

«Обчислення границь функцій»

Розроблено викладачем комісії

математичних та природничих дисциплін

Макушкіною М.П.

м. Одеса
2013р

Пояснювальна записка
Важливою формою навчання є самостійна робота над учбовим матеріалом:

вивчення матеріалу із посібників;
розв`язування задач;
самоперевірка;
виконання контрольних завдань.

Методичні вказівки за темою « Обчислення границь функцій» допоможуть студентам засвоїти та закріпити практичні навички по знаходженню границь функцій.

Методичні вказівки містять:

довідковий матеріал з формулами, теоремами, поясненнями, якими потрібно користуватися при виконанні завдань тем;
приклади знаходження границь функцій за темами;
контрольні завдання за темами;
перелік рекомендованої літератури.

При виконанні контрольних завдань треба користуватися наступними рекомендаціями:

- розгляньте довідковий матеріал;

розберіть приклади завдань даної теми;
знайдіть та розгляньте приклади за даною темою у рекомендованих підручниках;
визначте свій номер варіанту;
запишіть у зошиті назву теми самостійної роботи за зразком

Самостійна робота №___

на тему_______________________;

- виконайте контрольні завдання за темою.

Мета : сформувати уміння та навички обчислювати границі функцій, навчитися розкривати невизначеності при знаходженні границь.

Після виконання завдань студент повинен

знати:

метод обчислення границь функцій у випадку, коли невизначеності не виникають;
види невизначеностей;
методи розкриття невизначеностей;

вміти:

обчислювати границі функцій.

Рекомендована література

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Высш. шк., 1990 г.

2. Бубняк Т.І. Вища математика Львів-2006 «Новий Світ-2000»

Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней

школы/ М.: Наука, 1980.

Вища математика. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М

Вища математика ч. 1, 2 Київ «Техніка» 2003

Вища математика. Збірник задач у двох частинах за редакцією П.П. Овчинникова

Київ «Техніка» 2004

6. Коваленко І.П. Вища математика Київ «Вища школа» 2006

Лейфура В.М., Голодницький Г.І., Й.І. Файст Математика

Київ «Техніка» 2003

Довідковий матеріал
1. Арифметичні властивості границь:

2. Теорема про границю складної функції:

Якщо та ,то

3. Відомі важливі границі:

1. = 1,

2. = е.

4. Наслідки, які випливають з цих границь:

1. = 1,

2. = = 1,

3. = е,

4. ,

5. , ( а > 0, ),

6. .

7. , ( а > 0, ),

8. ,

9. , ( а > 0),
10. ,

11. ,

12. .
Слід пам'ятати, що при обчислені границь можуть мати місце дві принципово різні ситуації:

По-перше, це випадок, коли не виникає невизначеності. Тоді границю функції, якщо вона існує, можна обчислити одразу за допомогою властивостей границі.

По-друге, це випадок, коли для обчислення границі треба розкрити невизначеність.

5. Види невизначеностей

1. Якщо , то для має місце невизначеність . 2. Якщо , , ,то для маємо невизначеність

3. Якщо , 0, , то для f(x)g(x) маємо невизначеність

.

4. Якщо , + , + (або - , - ), то для

f(x)-g(x) маємо невизначеність .
5. Якщо , 1, ,то для маємо невизначеність .
6. Якщо , 0, 0, то для маємо невизначеність
7. Якщо та , 0, то для маємо невизначеність .
Тема 1. Обчислення границь функцій, коли не виникають невизначеності.

Розглянемо приклади, в яких для обчислення границі використовуються властивості границь та функцій.

Приклад 1. .

Розв'язання:

. .

Приклад 2. .

Розв'язання:

.

У розглянутому прикладі було використано той факт, що степенева функція

неперервна в області визначення, тому можливо виконувати граничний перехід під знаком кореня.

Приклад 3. .

Розв'язання:

=

В цьому прикладі для обчислення границі також використано неперервність функції в точці х = 3.

Приклад 4. .

Розв'язання:

= 0 .

Для обчислення наведеної границі було використано те, що коли , то

в чисельнику дробу маємо обмежену величину, а в знаменнику нескінченно велику. За властивостями границі в такому випадку границя дорівнює 0.

Приклад 5. .

Розв'язання:

.

В цьому прикладі використано відому властивість границі, яка полягає у тому, що величина обернена до нескінченно малої є нескінченно великою.

Завдання для контролю

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б)

₄ _a₎ _б₎
5. а) б)

6. а) б)
7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)
Перелік рекомендованої літератури:
1. , гл.6, §1.

2. Методичні вказівки за даною темою.

Тема 2. Розкриття невизначеності .

Приклад 1. .

Розв'язання:
При вирази та , то маємо невизначеність яка символічно позначається як . Для розкриття невизначеності в чисельнику та знаменнику дробу винесемо х за дужки та скоротимо чисельник та знаменник на х .Далі використаємо те, що границя частки дорівнює частки границь (бо такі границі існують)

.

Приклад 2. .

Розв'язання:

Маємо невизначеність , тому спочатку винесемо в чисельнику та знаменнику дробу за дужки, а потім скоротимо та використаємо властивість границі частки.

.

Приклад 3. .

Розв'язання:

Для розкриття невизначеності в цьому прикладі виконуємо такі ж самі дії, як у попередньому прикладі.

.
Для розв'язування наступних прикладів виконуємо всі дії аналогічно попереднім.
Приклад 4. .

Розв'язання:

.

Приклад 5. .

Розв'язання:

.
Приклад 6. .

Розв'язання:

.
Приклад 7. .

Розв'язання:

.

Наведені приклади дають правило обчислення границь:

Якщо та

1) найвищий степінь х у чисельнику більш за найвищий степінь х

у знаменнику, то границя дорівнює .

2) найвищий степінь х у чисельнику менш за найвищий степінь х

у знаменнику, то границя дорівнює 0.

3) найвищий степінь х у чисельнику дорівнює найвищому степеню х

у знаменнику, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при

найвищих степенях х.

Приклад 8. .

Розв'язання:

Маємо невизначеність . Найвищий степінь х чисельника дорівнює 2 та найвищий степінь х знаменника дорівнює також 2. Тому
= .

Приклад 9. .

Розв'язання:

Маємо невизначеність . Найвищий степінь х чисельника дорівнює 4 та найвищий степінь х знаменника дорівнює 1. Тому

= .

Приклад 10.

Розв'язання:

Маємо невизначеність . Найвищий степінь х чисельника дорівнює 1 та найвищий степінь х знаменника дорівнює . Тому =0.

Приклад 11. .

Розв’язання:

Маємо невизначеність . Щоб відшукати найвищий степінь х чисельника та знаменника, розкриємо в чисельнику та знаменнику дужки та виконаємо перетворення:

Тому

= = = 3 .
Зауваження З останнього прикладу випливає, що при порівнянні степенів х чисельника та знаменника, слід бути уважним.
Завдання для контролю

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)
Перелік рекомендованої літератури:

1. , гл.6, §1.
2. Методичні вказівки за даною темою.
Тема 3. Розкриття невизначеності .

Приклад 1. .

Розв'язання:

Маємо невизначеність . Для того щоб позбутися цієї невизначеності, виконаємо наступні перетворення:

.

Звідки .

Приклад 2. .

Розв'язання:

Приклад 3. .

Розв'язання:

Для того щоб позбутися невизначеності , виконаємо наступні перетворення:

Тому = ,

так як найвищий степінь х у чисельнику менш ніж найменший степінь х у знаменнику.
Приклад 4. .

Розв'язання:
Завдання для контролю
1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

Перелік рекомендованої літератури:
1. , гл.6, §1.

2. Методичні вказівки за даною темою.

Тема 4. Розкриття невизначеності .

Приклад 1. .

Розв'язання:

Якщо ,то та . Тому маємо невизначеність.

Очевидно х = 0 є корінь виразів чисельника та знаменника, тому при розкладанні їх на множники вираз ( х – 1) міститься як в чисельнику так і в знаменнику. Щоб позбутися невизначеності вилучимо у чисельнику та знаменнику одночлен (х – 1) та потім на нього скоротимо дріб:

.

Приклад 2. .

Розв'язання:

Щоб позбутися невизначеності , розкладемо вирази чисельника та знаменника на множники. За теоремою Вієта корені чисельника , тому , так само корені знаменника

звідки

.

Приклад 3. .

Розв'язання:

Так як х = -1 є коренем чисельника та знаменника, то для розкриття невизначеності вилучимо одночлен з виразів чисельника та знаменника, використовуючи те, що чисельник та знаменник мають націло ділитися на одночлен (х+1). Для ділення застосуємо схему Горнера

1573-11430-1130 Результат ділення показує, що х = -1 корінь кратності 2, тому .

Аналогічно

1452-11320-1120

Звідки

Повертаючись до обчислення границі, маємо:

.
Приклад 4. .

Розв'язання:

Для того щоб розкрити невизначеність , спочатку чисельник та знаменник дробу доповнимо до різниці квадратів, а потім вилучимо вираз

(х – 4) та скоротимо на нього дріб:

Приклад 5. .

Розв'язання:

Маємо невизначеність .

Для її розкриття перетворимо дріб так, щоб у чисельнику утворилася сума кубів та в знаменнику розкриємо суму кубів:

Звідки

.

Завдання для контролю

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

Перелік рекомендованої літератури:

1. , гл.6, §1.
2. Методичні вказівки за даною темою.
Тема 5. Розкриття невизначеностей за допомогою важливих

границь

5.1 Використання = 1 для розкриття невизначеностей при

обчисленні границь

Приклад 1. .

Розв'язання:

Якщо , то , тому зробимо заміну змінної

.

Приклад 2. .

Розв'язання:

Виконаємо заміну змінної аналогічно попередньому прикладу

Приклад 3. .

Розв'язання:

,то в наслідок неперервності степеневої функції

.

Приклад 4. .

Розв'язання:

Використовуючи результат попереднього прикладу, отримуємо

.

Приклад 5. .

Розв'язання:

Так як , покладемо , тоді

Завдання для контролю

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6 а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)
Перелік рекомендованої літератури:

1. , гл.9, §23

Методичні вказівки за даною темою.

5.2 Використання властивості = е або наслідку для розкриття невизначеностей при обчисленні границі
Приклад 1. .

Розв'язання:

.
Приклад 2. .

Розв'язання:

.
Приклад 3. .
Розв'язання:

Перехід границею в показник можна було зробити, так як показникова функція неперервна.
Приклад 4. .

Розв'язання:

Приклад 5. .

Розв'язання:

Завдання для контролю

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

Перелік рекомендованої літератури:
1. , гл.6, §2

Методичні вказівки за даною темою.

Тема 6. Використання деяких наслідків з важливих границь для розкриття невизначеностей при обчисленні границь.
Приклад 1. .
Розв'язання:

.
Приклад 2. .

Розв'язання:

, то

.

Приклад 3. .

Розв'язання:

Для обчислення границі використаємо

=5.

Приклад 4. .

Розв'язання:

Для розкриття невизначеності використаємо :
.

Приклад 5. .

Розв'язання:

Для обчислення границі використаємо .Маємо:

.
Приклад 6. .

Розв'язання:

Використаємо те, що коли , то та теорему про границю складної функції:

.
Приклад 7. .

Розв'язання: Приклад 8. .

Розв'язання:

Для розкриття невизначеності доповнимо знаменник дробу до різниці квадратів

Завдання для контролю

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

Перелік рекомендованої літератури:

1. , гл.9, §23

2. Методичні вказівки за даною темою.

Схожі:

Практичне обчислення границі функції Мета: закріпити навички та вміння учнів знаходити границю функції; створюючи проблемну ситуацію, спонукати учнів, як суб’єктів навчання,...	УРОК 3 Тема уроку Мета уроку: Познайомити учнів з основними теоремами про границі. формування умінь учнів у знаходженні границь деяких функцій
Обчислення за хімічними формулами Задачі на обчислення відносної молекулярної маси і визначення масової частки елементів у речовині	Чисельні методи обчислення визначених інтегралів ...
ПЛАН-КОНСПЕКТ уроку до Т Ур. 17 ТЕМА ПРОГРАМИ: Технології комп’ютерної... ТЕМАУРОКУ: Створення формул. Майстер функцій. Категорії функцій. Виконання обчислень з даними з різних аркушів	ТЕМА: Текстовий процесор MS Word. Створення таблиць. Обчислення в... МЕТА: навчитись створювати в текстовому документі таблиці, виконувати необхідні обчислення, будувати діаграми на основі табличних...
УРОКУ: Майстер функцій. Математичні функції Навчальна: Сформувати знання про класи стандартних функцій та ознайомити з математичними функціями	УРОКУ: Майстер функцій. Математичні функції Навчальна: Сформувати знання про класи стандартних функцій та ознайомити з математичними функціями
УРОК №22 Тема уроку Повторити загальні властивості функцій, а також схеми виконання основних видів геометричних перетворень графіків функцій	Тема: Майстер функцій. Категорії функцій Функція це створена формула, яка виконує операції над заданими значеннями і повертає нове значення

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання