|
|
Скачати 68.87 Kb.
|
|
www.hram.kiev.ua/print.php?id=3808 ВИЗНАЧЕННЯ ЧИСЛА, ПОДІЛ ЧИСЕЛ ТА ЇХНІ ОЗНАКИ, ВИЗНАЧЕННЯ ЧИСЛЕННЯ І ПОДІЛ ЙОГО НА ПРОСТЕ, ПОРІВНЯЛЬНЕ ТА ІНШІ ВИДИ Формальним об’єктом арифметики ми вважаємо число як величину, що підлягає численню. Отже, число виступає як матеріал, а числення як форма. Тому необхідно говорити про природу того й іншого, про їхні види та різноманітні властивості і більше про числення, ніж про числа. Бо числення є, як кажуть, об’єкт визначення (ohiectum attributionis), а число — об’єкт визначений (obiectum attributum), і вивчення цього останнього допомагає пізнати, що таке числення. 1. Існують дві дефініції числа: метафізична і математична, яку залишив Евклід2. За метафізичною дефініцією, «число є кількість, за допомогою якої щось обчислюється», а за математичною — «число є множина, що складається з одиниць». Обидві дефініції зрозумілі самі по собі, проте нам слід розглянути останню, тобто евклідову. Зверніть увагу на те, що, згідно з першим визначенням, числом є також і монада3, або одиниця, бо вона входить до поняття кількості, і нею теж обчислюються предмети. За другим визначенням, монада не є числом: адже вона не є сукупністю, що складається з одиниць. /10/ 2. Математики зазначають, що існує багато різновидів чисел, — я ж подаю тут два основні поділи, знання яких є найнеобхіднішим для засвоєння арифметики. Перший поділ такий: числа бувають парними або непарними. Парним називається таке число, яке можна розділити на дві рівні частини, як, наприклад, 2, 4, 6 і т. д. І вони знову-таки поділяються на три види: парно-парні, парнонепарні і непарно-парні. Парно-парним називається таке число, яке може ділитися на дві рівні частини, поки в результаті одержимо одиницю, як, наприклад, 4, 8, 16, 32, 64 і т. д. Бо, якщо розділити 8 на 2, — буде 4, 4 на 2 — 2, 2 на 2 — монада. Парно-непарним є таке число, яке з самого початку або вдруге, або скільки завгодно разів може ділитися на дві рівні частини, але таке рівноділення припиняється раніше, ніж дійде до одиниці. Наприклад, 24, 20, 10 і т. д., бо, якщо 10 ділити на 2, одержимо б, а 5 вже не може бути поділено на дві рівні частини. 17 Непарно-парним є число, яке при діленні його на парне число дає непарне, або, точніше кажучи, — ще число, яке може ділитися тільки один раз на дві рівні частини, як, наприклад, 6, 10, 14 і т. д., бо, якщо 10 поділити на 2, — буде 5. Отже, будь-яке непарно-парне число є одночасно парно-непарним, але не навпаки. Ось що треба знати про парні числа. Непарним числом є число, яке не можна поділити на дві рівні частини, як 3, 5, 7 і т. д. Щоб ти міг легко розпізнати парні та непарні числа, починай з двійки, яка є першим непарним числом, і якщо від неї ти наближатимешся до чимраз більших чисел, то побачиш, що вони йдуть слідом за нею весь час поперемінно, ніби шкутильгаючи, так що парне чергується з непарним, а саме: після першого парного числа, тобто 2, йде непарне 3, а після нього знову парне /10зв./ 4, потім непарне 5 і так весь час. Це правило називають «решетом Ератосфена»4. Другий поділ чисел такий: числа поділяються на цілі, дробові та мішані. Цілим є таке число, яким позначають цілий предмет, як 2, З і т. д. Дробове — це число, яким позначають частини цілого предмета, як половина, чверть і т. д. Мішане число — це поєднання цілого з дробовим, як, наприклад, коли ти кажеш: півтора пальма, 6 годин і 3 чверті. 3. Знаки, якими зображуються числа, є довільними, бо залежать від розсуду людей. Давні латиняни для зображення чисел визначили певні літери. Греки і слідом за ними ми, слов’яни, користуємося майже всіма літерами для позначення тих чи інших чисел. Але найпридатнішими для цього є ті, які мають зараз широкий і повсюдний вжиток, а саме: A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Дехто приписує запровадження цих знаків фінікійцям, дехто — індусам, інші — арабам, народові, який колись надзвичайно старанно розвивав цю галузь науки, як взагалі всю науку. Є й такі, що вважають, ніби ці знаки — не що інше, як грецькі літери, зіпсовані переписувачами, і сталося це або через приєднання, як у 2, або внаслідок зміщення, як у 7. І дійсно, вони, як здається на перший погляд, мають якусь схожість. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α β γ Δ ε σ ξ η θ Щодо цього я не буду сперечатися, а хочу тільки пояснити вживання цих знаків. Від першого до дев’ятого — це знаки зі значенням, бо позначають якесь число. Десятий знак, круглий за формою, який прийнято називати «цифра»5, сам по собі нічого /11/ не означає, але якщо приєднується до будь-якого знаку зі значенням, то збільшує його значення (приєднувати його треба з правого боку), Так, якщо приєднати його до 3, як, наприклад, 30, то це вже буде означати не три, а тридцять. Так і самі знаки зі значенням: завжди, коли вони з’єднуються один з одним, утворюють уже не прості числа, що складаються з самих лише одиниць, а поєднані з простими одиницями десятки, сотні або тисячі і т. д. Все число в цілому складається з місць, або ступенів порядку, в якому розміщені знаки6. Коли ставиться лише один знак, він позначає одну чи багато простих одиниць (простими я називаю ті, найбільше з яких не перевищує число 9), коли ж стоять два або більше знаків, то рахувати їх треба так: перше місце, або ступінь, тобто той, на якому стоїть перший знак, означає прості одиниці, або монади, другий — десятки, третій — сотні, четвертий — тисячі. І якщо ступенів більше, ніж чотири, то четвертий знову будемо вважати першим: адже він означає одиниці тисяч і від нього слід починати як від першого; п’ятий, тобто другий після четвертого, означає десятки тисяч, третій — сотні тисяч, четвертий — тисячі тисяч. І якщо буде ще багато знаків, то знову-таки треба починати з цього другого четвертого і так само просуватися далі. Проте, як само по собі зрозуміло, тільки перший ступінь означає прості одиниці, і тільки другий, що йде після нього, означає десятки простих одиниць, і тільки третій, що йде за цим другим, означає сотні простих одиниць, і знову-таки тільки четвертий означає тисячі простих одиниць. Інші ж перші, другі і т. д., як і цей самий четвертий, або ті, що йдуть після нього, вказують не на прості одиниці та їх поєднання, /11зв./ а на одиниці або десятки, або сотні тисяч, або тисячі тисяч і далі — на одиниці або десятки тисяч тисяч, які прийнято називати мільйонами і так далі. Однак треба запам’ятати, що рухатись їв цьому ряду-знаків треба не від лівої руки до правої (як ми пишемо літери, тобто елементи мови), а від правої до лівої, можливо, тому, що араби звикли писати в зворотному напрямі, а саме — від правої руки до лівої (якщо вважати, що ці знаки запроваджені арабами). Отже, якщо, наприклад, написано 97, то 7 означає, сім простих одиниць, а 9 — дев’ять десятків, або дев’яносто, і т. д. А щоб зручніше тобі було йти вперед і щоб ти зрозумів, що являє собою це число в цілому, постав крапку біля четвертого знака вгорі чи внизу, потім біля другого четвертого, і так само роби з кожним четвертим. Або замість крапок постав числові позначення: перше — біля першого четвертого 19 знака, друге — біля другого четвертого, і далі весь час додавай числові позначення таким чином: 9 14 6 7 53 4 8 42 6 7 31 2 5 8 І тоді ти знатимеш, який четвертий знак означає звичайні тисячі, який — тисячі тисяч, який — тисячі мільйонів і т. д. Якщо ж поміж багатьох знаків є якесь число всередині чи в кінці, яке не можна позначити певним знаком зі значенням, тоді там слід поставити нуль принаймі для того, щоб він займав місце, як, наприклад, у числі, що означає поточний рік — 1707. Для зображення дробів вживаються ті самі знаки, що й для цілих чисел. Цілі числа позначаються ними так, як ми щойно пояснили, а для позначення дробів ці знаки вживаються інакше, про що буде сказано у розділі шостому. Крім того, зверни увагу ось на що: якщо одна проста одиниця або сукупність простих одиниць виражена одним знаком, то це число математики називають перст (digitus); якщо ж до /12/ знака зі значенням додається один чи багато нулів, то таке число називається суглоб (articulus); якщо сполучаються два або більше знаків зі значеннями, до яких можуть входити й нулі, тоді це число називається складнею (compositus). Ось що треба знати про природу, розподіл та ознаки чисел. А тепер скажемо про саме числення. Числення, або рахування, є встановлення значення будь-якого числа, коли ми знаходимо його значення або відносно нього самого, або порівняно з іншими числами. Здебільшого саме такий спосіб знаходження значення чисел і називають численням. А оскільки всяке число можна розглядати або само по собі, або в порівнянні, зіставленні з іншими, то і числення також буває двояке — просте і порівняльне. Просте числення є таке, що розглядає якесь запропоноване число само по собі і дає уяву про його точне значення. І найзручніше це робити, користуючись числовими позначеннями за вказаним вище способом. Порівняльне числення, що інакше називається алгоритмом, показує, як з двох або кількох порівнюваних чисел одне відноситься до якогось іншого або в якому взаємному відношенні перебувають всі ці числа. Існує чотири види такого числення, які найбільш відомі і найчастіше вживаються: додавання, віднімання, множення і ділення. Адже чотирма способами можна порівнювати і співвідносити різні числа: або додаючи одне до одного, або віднімаючи одне від одного, або перемножаючи одне з одним, або ділячи одне на одне, 20 а саме — більше на менше. Цим чотирьом способам співвідношення, зіставлення чисел відповідають зазначені види алгоритму. Однак про кожний з цих видів будемо говорити окремо. |
| План Дія електричного струму на організм людини Поділ величин струму в залежності від його дії ... |
Порівняльне правознавство Порівняльне дослідження правових систем з метою визначення спільного і особливого, тенденцій розвитку права у наднаціональних — глобальному... |
| УРОК 3 Тема: Нумерація натуральних чисел. Десяткова система числення НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ НАД НИМИ ТЕМА НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА. ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ |
УРОК ЦИФРИ. ДЕСЯТКОВИЙ ЗАПИС НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Мета Мета. Повторити, систематизувати і поглибити знання учнів про десяткову систему числення; ввести поняття класу та розряду числа;... |
| УРОК 2 Тема: Число. Натуральні числа. Натуральний ряд чисел і його властивості. Число нуль НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ НАД НИМИ ТЕМА НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА. ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ |
ПРОГРАМА ВСТУПНОГО ІСПИТУ ЗА ФАХОМ (СПІВБЕСІДА) ДЛЯ АБІТУРІЄНТІВ,... Множина натуральних чисел. Ознаки подільності. Надання числа як добутка простих множників. Основна теорема арифметики. НОК и НОД.... |
| ПРОГРАМА ВСТУПНОГО ІСПИТУ ЗА ФАХОМ (СПІВБЕСІДА) ДЛЯ АБІТУРІЄНТІВ,... Множина натуральних чисел. Ознаки подільності. Надання числа як добутка простих множників. Основна теорема арифметики. НОК и НОД.... |
Урок №45 Тема. Пряма пропорційна залежність. Розв'язування задач на пропорційний поділ Мета: продовжити роботу з формування вмінь складати пропорції для розв'язування задач на пряму пропорційну залежність величин; вдосконалювати... |
| Сутність та основні ознаки держави Складність і багатоманітність виявів держави об'єктивно утруднюють з'ясування та визначення її сутності. До того ж, кожна із суспільствознавчих... |
Типологія політичних еліт Виокремлення елементів структури політичної еліти, її поділ на типи й види можуть здійснюватись за різними ознаками. Найбільш загальними... |