Зміст навчального матеріалу
|
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки вступників
|
Тема 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА. ГЕОМЕТРИЧНІ ФIГУРИ І ВЕЛИЧИНИ
Натуральні числа. Число нуль. Відрізок. Вимірювання і побудова відрізка. Промінь, пряма. Координатний промінь.
Порівняння натуральних чисел. Додавання і віднiмання натуральних чисел. Властивості додавання.
Кут. Вимірювання і побудова кутів. Види кутів. Бісектриса кута.
Множення натуральних чисел. Властивості множення. Квадрат і куб числа.
Ділення натуральних чисел. Ділення з остачею.
Числові вирази. Буквені вирази та їх значення. Формули.
Рівняння. Розв’язування рівнянь.
Розв’язування текстових задач.
Прямокутник, квадрат та їх периметри.
Трикутник, його периметр. Види трикутників.
Рівність фігур. Величина.
Площа прямокутника. Площа квадрата.
Прямокутний паралелепіпед, його виміри. Куб. Формули об’ємів прямокутного паралелепіпеда і куба.
|
Розпізнає: натуральні числа; вказані у змісті фігури; шкали; числові та буквені вирази, формули.
Наводить приклади: натуральних чисел; шкал; числових і буквених виразів; рівнянь, рівних фігур.
Дотримується правил: читання і запису натуральних чисел; додавання, віднімання, множення і ділення натуральних чисел, порівняння натуральних чисел.
Називає: класи і розряди натурального числа; вказані в змісті геометричні фігури та їх основні елементи; одиниці виміру довжини, площі й об’єму.
Зображує: вказані в змісті геометричні фігури за допомогою лінійки, косинця, транспортира; координатний промінь та натуральні числа на координатному промені.
Описує:
поняття: промінь, координатний промінь; відрізок, кут, бісектриса кута; рівняння, розв’язок рівняння.
Формулює властивості арифметичних дій з натуральними числами.
Пояснює, що означає “розв’язати рівняння”.
Записує і пояснює формули площі прямокутника, квадрата, об’єму прямокутного паралелепіпеда та куба.
Аналізує залежності між величинами (швидкість, час і відстань; ціна, кількість і вартість тощо).
Розв’язує вправи, що передбачають:
порівняння натуральних чисел;
вимірювання і порівняння відрізків, кутів;
побудову відрізка даної довжини та кута даної градусної міри;
побудову бісектриси кута за допомогою транспортира;
виконання чотирьох арифметичних дій з натуральними числами;
знаходження розв’язків лінійних рівнянь на основі залежностей між компонентами арифметичних дій;
обчислення значень числових і буквених виразів;
обчислення за формулами площі прямокутника, квадрата і об’єму прямокутного паралелепіпеда та куба.
Розв’язує вправи на ділення з остачею; нескладні текстові задачі, що вимагають використання залежностей між величинами.
|
Тема 2. ДРОБОВІ ЧИСЛА
Дробові числа. Звичайні дроби. Правильні та неправильні дроби. Мішані числа.
Порівняння звичайних дробів з однаковими знаменниками.
Додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками.
Десятковий дріб. Запис і читання десяткових дробів. Порівняння і округлення десяткових дробів.
Додавання, віднімання, множення і ділення десяткових дробів.
Відсотки. Знаходження відсотків від даного числа. Знаходження числа за його відсотками.
Масштаб.
Середнє арифметичне, його використання для розв’язування задач практичного змісту. Середнє значення величини.
Розв’язування текстових задач.
|
Розпізнає звичайний дріб, дробове число; десятковий дріб.
Дотримується правил: порівняння, додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками; порівняння, округлення, додавання, множення і ділення десяткових дробів.
Формулює:
означення правильного і неправильного дробів.
Називає розряди десяткових знаків у записі десяткових дробів.
Читає і записує звичайні та десяткові дроби.
Описує:
поняття: масштаб, відсоток;
правило порівняння десяткових дробів.
Розв’язує вправи, що передбачають:
знаходження дробу від числа і числа за його дробом;
перетворення мішаного числа у неправильний дріб;
перетворення неправильного дробу в мішане число або натуральне число;
порівняння, додавання, віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками;
порівняння десяткових дробів, додавання, віднімання, множення і ділення десяткових дробів;
округлення десяткових дробів до заданого розряду;
використання масштабу;
знаходження відсотків від числа та числа за його відсотками;
знаходження середнього арифметичного кількох чисел, середнього значення величини.
Розв’язує текстові задачі на основі аналізу залежностей між величинами, про які йдеться в умові, та прості задачі комбінаторного характеру.
|
Тема 3. ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ
Дільники натурального числа. Ознаки подільності на 2, 3, 9, 5 і 10.
Прості та складені числа.
Розкладання чисел на прості множники.
Спільний дільник кількох чисел. Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа.
Спільне кратне кількох чисел. Найменше спільне кратне.
|
Наводить приклади: простих і складених чисел; парних і непарних чисел; чисел, що діляться націло на 3, 5, 9, 10.
Формулює:
означення понять: дільник; кратне; просте число; складене число; спільний дільник; спільне кратне;
ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10.
Описує правила знаходження найбільшого спільного дільника (НСД) і найменшого спільного кратного (НСК) кількох чисел.
Розв’язує вправи, що передбачають:
використання ознак подільності чисел на 2, 3, 5, 9, 10;
розкладання натуральних чисел на прості множники;
знаходження спільних дільників та спільних кратних двох— трьох чисел; найбільшого спільного дільника (НСД) і найменшого спільного кратного (НСК) двох—трьох чисел.
|
Тема 4. ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ
Основна властивість дробу. Скорочення дробу. Найменший спільний знаменник. Зведення дробів до спільного знаменника.
Порівняння дробів.
Додавання, віднімання, множення і ділення звичайних дробів.
Знаходження дробу від числа і числа за його дробом.
Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби. Десяткове наближення звичайного дробу.
Розв’язування вправ на всі дії зі звичайними дробами.
Розв’язування текстових задач.
|
Наводить приклади: звичайних дробів; десяткових дробів, зокрема нескінченних періодичних десяткових дробів.
Формулює основну властивість дробу.
Описує правила: порівняння, додавання, віднімання, множення і ділення звичайних дробів; перетворення звичайного дробу в десятковий; знаходження дробу від числа та числа за його дробом.
Розв’язує вправи, що передбачають:
скорочення дробу і зведення дробів до спільного знаменника;
порівняння дробів;
додавання, віднімання, множення і ділення звичайних дробів;
знаходження дробу від числа та числа за його дробом;
запис звичайного дробу у вигляді десяткового дробу.
Розв’язує текстові задачі.
|
Тема 5. ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ
Відношення. Основна властивість відношення.
Пропорція. Основна властивість пропорції. Розв’язування рівнянь на основі властивості пропорції.
Відсоткове відношення двох чисел. Відсоткові розрахунки. Задачі економічного змісту.
Пряма пропорційна залежність. Задачі на пропорційний поділ.
Коло. Довжина кола. Круг. Площа круга. Круговий сектор. Стовпчасті та кругові діаграми.
|
Наводить приклади пропорційних величин; випадкових подій.
Описує поняття: відношення; ймовірність випадкової події; пряма пропорційна залежність; коло; круг; круговий сектор.
Формулює:
означення пропорції;
основну властивість пропорції.
Записує і пояснює формули довжини кола і площі круга.
Називає наближене значення числа .
Розв’язує вправи, що передбачають:
знаходження відношення чисел і величин;
знаходження невідомого члена пропорції;
запис відсотків у вигляді звичайного і десяткового дробів;
знаходження довжини кола і площі круга;
побудову та аналіз стовпчастих діаграм, аналіз кругових діаграм.
Розв’язує:
три основні задачі на відсотки;
задачі на пропорційні величини і пропорційний поділ.
|
Тема 6. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ
Додатні та від’ємні числа. Число 0.
Координатна пряма.
Протилежні числа. Модуль числа.
Цілі числа. Раціональні числа.
Порівняння раціональних чисел.
Додавання, віднімання, множення і ділення раціональних чисел.
Властивості додавання і множення раціональних чисел.
Розкриття дужок. Подібні доданки та їх зведення.
Рівняння. Основні властивості рівняння.
Перпендикулярні й паралельні прямі, їх побудова.
Координатна площина. Приклади графіків залежностей між величинами.
|
Наводить приклади додатних та від’ємних чисел.
Називає: модуль заданого числа; число, протилежне даному; коефіцієнт буквеного виразу.
Розпізнає і зображує:
перпендикулярні й паралельні прямі;
координатну пряму; прямокутну систему координат на площині.
Розпізнає подібні доданки.
Описує поняття: модуль числа; раціональне число; координатна пряма; координатна площина; подібні доданки; перпендикулярні прямі; паралельні прямі.
Формулює:
правила виконання чотирьох арифметичних дій з додатними і від’ємними числами; розкриття дужок; зведення подібних доданків;
основні властивості рівняння стовпчастих діаграм та аналіз кругових.
Розв’язує вправи, що передбачають:
знаходження модуля числа;
порівняння раціональних чисел;
додавання, віднімання, множення і ділення раціональних чисел;
обчислення значень числових виразів, що містять додатні й від’ємні числа;
розкриття дужок, зведення подібних доданків;
знаходження координати точки на координатній прямій та побудову точки за її координатою;
знаходження координат точки на координатній площині та побудову точки за її координатами;
побудову перпендикулярних і паралельних прямих за допомогою лінійки і косинця;
побудову окремих графіків залежностей між величинами по точках;
аналізує графіки залежностей між величинами (відстань, час; температура, час тощо).
Розв’язує: рівняння з використанням правил, що ґрунтуються на основних властивостях рівняння; задачі за допомогою рівнянь.
|
Тема 7. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
Лінійні рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь.
Розв’язування задач за допомогою лінійних рівнянь. Рівняння як математична модель задачі.
|
Розпізнає лінійне рівняння серед даних рівнянь.
Наводить приклади лінійних рівнянь.
Характеризує етапи розв’язування задачі за допомогою рівняння.
Розв’язує: лінійні рівняння з однією змінною і рівняння, що зводяться до них; текстові задачі за допомогою лінійних рівнянь з однією змінною.
|
Тема 8. ЦІЛІ ВИРАЗИ
Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу.
Тотожні вирази. Тотожність. Тотожні перетворення виразу. Доведення тотожностей.
Степінь з натуральним показником. Властивості степеня з натуральним показником.
Одночлен. Стандартний вигляд одночлена. Піднесення одночленів до степеня. Множення одночленів.
Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення.
Додавання і віднімання многочленів.
Множення одночлена і многочлена; множення двох многочленів.
Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки та способом групування.
Формули скороченого множення: квадрат двочлена, різниця квадратів, сума і різниця кубів.
Використання формул скороченого множення для розкладання многочленів на множники.
|
Розпізнає: числові вирази і вирази зі змінними; цілі вирази; тотожні вирази; одночлени; многочлени.
Наводить приклади зазначених виразів.
Формулює:
означення: одночлена, степеня з натуральним показником, многочлена, подібних членів многочлена;
властивості степеня з натуральним показником;
правила: множення одночлена і многочлена, множення двох многочленів.
Записує і обґрунтовує:
властивості степеня з натуральним показником;
формули скороченого множення.
Розв’язує вправи, що передбачають:
обчислення значень виразів зі змінними; зведення одночлена до стандартного вигляду; перетворення добутку одночлена і многочлена, суми, різниці, добутку двох многочленів у многочлен; розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки, способом групування, за формулами скороченого множення та із застосуванням декількох способів; використання зазначених перетворень у процесі розв’язування рівнянь, доведення тверджень.
|
Тема 9. ФУНКЦІЇ
Функція. Область визначення і область значень функції. Способи задання функції. Графік функції.
Функція як математична модель реальних процесів.
Лінійна функція, її графік та властивості.
|
Наводить приклади: функціональних залежностей; лінійних функцій.
Пояснює поняття:
область визначення функції; область значень функції; графік функції.
Формулює означення понять: функція; лінійна функція.
Називає і характеризує способи задання функції.
Описує побудову графіка функції, заданої таблично або аналітично.
Розв’язує вправи, що передбачають:
знаходження області визначення функції; знаходження значення функції за даним значенням аргументу; побудову графіка лінійної функції; з’ясування окремих характеристик функції за її графіком (додатні значення, від’ємні значення, нулі).
|
Тема 10. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ
Рівняння з двома змінними. Розв’язок рівняння з двома змінними.
Лінійне рівняння з двома змінними та його графік.
Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок.
Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними: графічним способом; способом підстановки; способом додавання.
Розв’язування задач за допомогою систем лiнійних рівнянь.
|
Наводить приклади: рівняння з двома змінними; лінійного рівняння з двома змінними; системи двох лінійних рівнянь з двома змінними.
Формулює означення: лінійного рівняння з двома змінними; розв’язку рівняння з двома змінними; розв’язку системи двох лінійних рівнянь з двома змінними.
Описує способи розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними.
Розрізняє системи двох лінійних рівнянь з двома змінними, що мають: один розв’язок; безліч розв’язків; не мають розв’язків.
Розв’язує: системи двох лінійних рівнянь з двома змінними вказаними у змісті способами; задачі за допомогою систем двох лінійних рівнянь з двома змінними.
|
Тема 11. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ
Рівняння з двома змінними. Розв’язок рівняння з двома змінними.
Лінійне рівняння з двома змінними та його графік.
Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок.
Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними: графічним способом; способом підстановки; способом додавання.
Розв’язування задач за допомогою систем лiнійних рівнянь.
|
Наводить приклади: рівняння з двома змінними; лінійного рівняння з двома змінними; системи двох лінійних рівнянь з двома змінними.
Формулює означення: лінійного рівняння з двома змінними; розв’язку рівняння з двома змінними; розв’язку системи двох лінійних рівнянь з двома змінними.
Описує способи розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними.
Розрізняє системи двох лінійних рівнянь з двома змінними, що мають: один розв’язок; безліч розв’язків; не мають розв’язків.
Розв’язує: системи двох лінійних рівнянь з двома змінними вказаними у змісті способами; задачі за допомогою систем двох лінійних рівнянь з двома змінними.
|
Тема 12. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ
Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних.
Основна властивість дробу.
Дії над дробами.
Тотожні перетворення раціональних виразів.
Раціональні рівняння. Рівносильні рівняння. Розв’язування раціональних рівнянь.
Степінь з цілим показником і його властивості. Стандартний вигляд числа.
Функція  , її графік і властивості.
|
Розпізнає цілі раціональні вирази, дробові раціональні вирази, наводить приклади таких виразів.
Описує алгоритм скорочення дробу.
Формулює:
основну властивість дробу; властивості степеня з цілим показником;
правила: додавання, віднімання, множення, ділення дробів, піднесення дробу до степеня;
умову рівності дробу нулю;
означення: степеня з нульовим показником; степеня з цілим від’ємним показником; стандартного вигляду числа.
Обґрунтовує властивості степеня з цілим показником.
Розв’язує вправи, що передбачають:
скорочення дробів; зведення дробів до нового (спільного) знаменника; знаходження суми, різниці, добутку, частки дробів; тотожні перетворення раціональних виразів; розв’язування рівнянь зі змінною в знаменнику дробу; виконання дій над степенями з цілим показником; запис числа в стандартному вигляді; побудову і читання графіка функції .
|
Тема 13. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА
Функція  та її графік.
Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь.
Рівняння  .
Раціональні числа. Ірраціональні числа. Дійсні числа. Числові множини. Етапи розвитку числа.
Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу і степеня. Добуток і частка квадратних коренів.
Тотожність  .
Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені.
Функція y= , її графік і властивості.
|
Описує поняття: раціональне число; ірраціональне число; дійсне число.
Наводить приклади: раціональних чисел; ірраціональних чисел.
Класифікує дійсні числа.
Використовує тотожності  ,  ; .
Формулює:
означення: квадратного кореня з числа; арифметичного квадратного кореня з числа;
властивості арифметичного квадратного кореня.
Обґрунтовує властивості арифметичного квадратного кореня.
Розв’язує вправи, що передбачають:
застосування поняття арифметичного квадратного кореня для обчислення значень виразів, спрощення виразів, розв’язування рівнянь, порівняння значень виразів; перетворення виразів із застосуванням винесення множника з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня, звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу; аналіз співвідношень між числовими множинами та їх елементами.
|
Тема 14. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування.
Формула коренів квадратного рівняння.
Теорема Вієта.
Квадратний тричлен, його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.
Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних.
Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь та рівнянь, які зводяться до квадратних.
|
Наводить приклади квадратних рівнянь різних видів (повних, неповних, зведених), квадратних тричленів.
Записує і пояснює: формулу коренів квадратного рівняння; способи розв’язування неповних квадратних рівнянь; формулу розкладання квадратного тричлена на множники.
Формулює:
означення: квадратного рівняння; кореня квадратного тричлена;
теорему Вієта і обернену до неї теорему.
Обґрунтовує теорему Вієта.
Розв’язує вправи, що передбачають:
знаходження коренів квадратних рівнянь різних видів; застосування теореми Вієта і оберненої до неї теореми; розкладання квадратного тричлена на множники; знаходження коренів рівнянь, що зводяться до квадратних; складання і розв’язування квадратних рівнянь і рівнянь, що зводяться до них, як математичних моделей текстових задач.
|
Тема 15. НЕРІВНОСТІ
Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей.
Почленне додавання і множення нерівностей.
Застосування властивостей числових нерівностей для оцінювання значення виразу.
Нерівності зі змінними. Лінійні нерівності з однією змінною. Розв’язок нерівності.
Числові проміжки. Об’єднання та переріз числових проміжків.
Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Рівносильні нерівності.
Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування.
|
Наводить приклади:
числових нерівностей; нерівностей зі змінними; лінійних нерівностей з однією змінною, подвійних нерівностей.
Формулює:
означення: розв’язку лінійної нерівності з однією змінною; рівносильних нерівностей;
властивості числових нерівностей.
Обґрунтовує властивості числових нерівностей.
Зображує на числовій прямій:
задані нерівностями числові проміжки, виконує обернене завдання;
переріз, об’єднання числових множин.
Записує розв’язки нерівностей та їх систем у вигляді об’єднання, перерізу числових проміжків або у вигляді відповідних нерівностей.
Розв’язує:
лінійні нерівності з однією змінною; системи двох лінійних нерівностей з однією змінною.
|
Тема 16. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ
Функції. Властивості функції: нулі функції, проміжки знакосталості, зростання і спадання функції.
Найпростіші перетворення графіків функцій.
Функція  , а ¹ 0, її графік і властивості.
Квадратна нерівність. Розв’язування квадратних нерівностей.
Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними.
Розв’язування текстових задач за допомогою систем рівнянь.
|
Обчислює значення функції в точці.
Описує:
перетворення графіків функцій: f(x)→f(x)+а;
f (x) →f (x+а); f (x) → kf (x), f (x) → – f(x);
алгоритм побудови графіка квадратичної функції.
Характеризує функцію за її графіком.
Розв’язує вправи, що передбачають:
побудову графіка квадратичної функції; побудову графіків функцій з використанням зазначених перетворень графіків; використання графіка квадратичної функції для розв’язування квадратних нерівностей; знаходження розв’язків систем двох рівнянь другого степеня з двома змінними; складання і розв’язування систем рівнянь з двома змінними як математичних моделей текстових задач.
|
Тема 17. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
Числові послідовності. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії. Сума перших n членів арифметичної прогресії.
Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії. Сума перших n членів геометричної прогресії.
Нескінченна геометрична прогресія  та її сума.
Розв’язування вправ і задач на прогресії, в тому числі прикладного змісту.
|
Розпізнає арифметичну, геометричну прогресії серед даних послідовностей.
Наводить приклади арифметичної, геометричної прогресій.
Формулює означення і властивості арифметичної й геометричної прогресій.
Записує і пояснює формули: загального члена арифметичної та геометричної прогресій; суми перших n членів цих прогресій, суми нескінченної геометричної прогресії .
Розв’язує вправи, що передбачають:
обчислення членів прогресії; задання прогресій за даними їх членами або співвідношеннями між ними; обчислення сум перших n членів арифметичної й геометричної прогресій; запис періодичного десяткового дробу у вигляді звичайного; використання формул загальних членів і сум прогресій для знаходження невідомих елементів прогресій.
|