У футбольній команді (11 гравців) треба вибрати капітана та його помічника. Скількома способами це можна зробити?

КОМБІНАТОРИКА У футбольній команді (11 гравців) треба вибрати капітана та його помічника. Скількома способами це можна зробити? Розв'язання Є 11 способів вибрати капітана. Якщо капітана вже вибрали, то мати­мемо ще 10 способів вибрати помічника. Тоді кількість способів вибрати пару дорівнює 1110 = 110. Скількома способами можна виставити в ряд червону, чорну, синю, зелену кульки? Розв'язання На перше місце можна поставити будь-яку з чотирьох кульок, на дру­ге — будь-яку з трьох, на третє – будь-яку з двох, на четверте – останню кульку. Тому число способів дорівнює 4∙3∙2∙1= 4! = 24. Алфавіт племені мумба-юмба складається із трьох букв — А, Б і В. Словом є будь-яка послідовність, що складається не більше ніж із 4 букв. Скільки слів у мові племені мумба-юмба? Розв'язання Кількість однобуквених слів дорівнює 3, двобуквених — 32, трибуквених — 33, чотирибуквених — 34. Отже, кількість усіх слів дорівнює 3 + 32 + 33 + 34 = 120. Важливі теоретичні відомості Спосіб розміщення елементів п-елементної множини у впорядкований ряд називають перестановкою із п елементів. Кількість таких перестановок позначають Рп. Рп = п! Спосіб розміщення у впорядкований ряд k елементів п-елементної множини називають розміщенням з п елементів по к. Кількість розміщень з п елементів по k позначаються . . Спосіб вибору к елементів з множини, що містить п різних елементів без врахування порядку цих k елементів називають комбінацією з п елементів по k. Кількість комбінацій з п елементів по k позначають . , , . Шаховий гурток відвідують 2 дівчинки і 7 хлопчиків. Для участі в змаганнях необхідно виставити команду з чотирьох осіб, в яку обов'язково має увійти хоча б одна дівчинка. Скількома способами це можна зро­бити? Розв'язання У команду входить або одна дівчинка, або дві. Якщо в команду входять дві дівчинки, то двох хлопчиків до них можна додати способами. Якщо в команду входить тільки одна дівчинка (її ножна вибрати двома способа­ми), то команду можна доповнити трьома хлопчиками способами. Та­ким чином, загальне число способів виставити команду дорівнює . В одного учня є 5 книг з математики, а в другого — 6 книг з фізики. Скількома способами ці учні можуть обміняти один в одного по 3 книги? Розв'язання Перший учень може способами вибрати для обміну три з п'яти своїх книжок, а другий — способами три з шести своїх. Отже, для цьо­го обміну існує способів. Скільки діагоналей в опуклому п -кутнику? Розв'язання З кожної вершини опуклого п -кутника можна провести n-3 діагоналі. Але при цьому кожна діагональ буде врахована двічі. Тому матимемо діагоналей. Скільки різних слів можна одержати перестановкою букв слова «математика»? Розв'язання Усіх перестановок букв цього слова є 10!. Оскільки буква «а» зустріча­ється тричі, а букви «м» і «т» двічі, то остаточно матимемо різних слів. Скільки існує 6-значних чисел, у запису яких є хоча б одна парна цифра? Розв'язання Знайдемо спочатку кількість 6-значних чисел, що не мають потрібної властивості. Це ті числа, в запису яких зустрічаються тільки непарні циф­ри. Тому їх кількість дорівнює 56 = 15625. Усього 6-значних чисел, у запису яких є хоча б одна парна цифра, 900000 – 15625 = 884375. На прямій визначено 10 точок, а на паралельній їй прямій — 11 то­чок. Скільки існує: а) трикутників; б) чотирикутників з вершинами в цих точках? Відповідь, а) ; б) . Скількома способами можна вибрати з нової колоди (52 карти) 10 карт так, щоб: а) серед них був рівно один туз; б) серед них був хоча б один туз? Розв'язання а) Одного туза можна вибрати чотирма способами. Якщо вилучити всіх тузів з колоди, там залишиться 48 карт. Вибрати з них 9 карт існує способів, тому шукана кількість дорівнює . Загальна кількість спо­собів вибрати 10 карт з повної колоди дорівнює . Отже, шукана кількість дорівнює . Шість ящиків занумеровані числами від 1 до 6. Скількома способа­ми можна розкласти по ящиках 20 однакових куль так, щоб жодний ящик не був порожнім? Розв'язання Розкладемо кулі в ряд. Розділимо цей ряд за допомогою п'яти перего­родок на шість груп. Тоді число варіантів розкладки куль по ящиках дорівнює числу способів розташування п'яти перегородок. Перегородки можуть стати на будь-якому з 19 місць. Тому число можливих розташу­вань дорівнює . Шість ящиків занумеровані числами від 1 до 6. Скількома способа­ми можна розкласти по цих ящиках 20 однакових куль (деякі ящики можуть залишатися порожніми)? Розв'язання Розглянемо ряд із 25 предметів: 20 однакових куль і 5 однакових перегородок, розташованих у довільному порядку. Кожний такий ряд однозначно відповідає певному способу розкладки куль по ящиках. Тому число способів розкладки куль по ящиках дорівнює числу різних рядів із 20 куль і 5 перегородок, тобто . У певному місті мережа доріг складається з прямих, паралельних координатним осям. Із початку системи координат О виходить 2х пішохо­ди. Половина з них іде за напрямком осі ОХ, а друга половина — за на­прямком осі OY. На кожному перехресті кожна група ділиться на дві час­тини: одна половина йде за напрямком осі ОХ, друга половина — за напрямком осі OY. Відомо, що в точці перетину k-ї і l-ї доріг прийшло п пішоходів. Скільки їх вийшло з точки 01 Розв'язання Позначимо пункт, який розташований на перетині k-ї і l-ї доріг через В. Для того, щоб пішохід потрапив з пункту О в пункт В, він повинен про­йти шлях, що складається із k+l відрізків (а значить, із k+l перехресть, включаючи перехрестя пункту В), причому серед цих відрізків l — горизон­тальних. Отже, з пункту О в пункт В люди будуть приходити різними шля­хами. Виберемо один з них і підрахуємо, скільки пішоходів пройде тільки вибраним шляхом. До першого перехрестя дійде 2х:2 осіб, з них до друго­го перехрестя дійде (2x:2):2 осіб і т. д. До пункту В, тобто до k+l перехре­стя, дійдуть лише 2x:2k+l осіб. Очевидно, що стільки ж пішоходів будуть приходити в пункт В й іншими l можливими шляхами. Оскільки таких шляхів ; то в пункт В прийде осіб. За умовою задачі, це число дорівнює п. Складемо рівняння , звідки знаходимо: . Задача має розв'язок, якщо число є степенем числа 2 з цілим показником. Оргкомітет з проведення олімпіади складається з 9 осіб. Матеріали олімпіади зберігаються в сейфі. Скільки замків повинен мати сейф, скільки ключів до них треба виготовити і як їх роздати членам комітету, щоб доступ до сейфа був можливим тоді й тільки тоді, коли збереться не менш ніж членів комітету? Розв'язання За умовою, будь-які 5 членів оргкомітету не мають доступу до сейфу. Отже, для кожних 5 членів комітету знайдеться замок, який вони не змо­жуть відімкнути. При цьому різним таким п'ятіркам відповідають різні замки (інакше відповідний замок не відімкнули б не менш ніж 6 осіб, що входять до 2-х різних п'ятірок). Отже, сейф повинен мати не менше замків. Далі, в кожного з 4 осіб, які не входять у дану п'ятірку членів оргкомітету, повинен бути ключ до замка, який не може відімкнути ця п'ятірка. Отже, потрібно не менше ніж ключі. Виготовивши 126 замків і 504 ключі до них, роздамо ключі від кожного замка 4 членам оргкомітету так, щоб різним замкам відповідали різні четвірки (їх маємо ). Тоді умови задачі будуть виконані. Під час повороту аркуша паперу в його площині на 180° запис цифр 0, 1, 8 не змінюється, запис цифр 6 і 9 переходить один у другий, а запис усіх інших втрачає зміст. Скільки існує семизначних чисел, запис яких не змі­нюється під час повороту аркуша паперу на 180°? Чому дорівнює сума всіх таких чисел? Скільки серед них таких, що діляться на 4? Розв'язання Для вибору першої цифри числа, що задовольняє умову задачі, маємо 4 можливості: 1, 8, 6, 9 (ця цифра не може бути нулем), для вибору другої і третьої — по 5 можливостей, четвертої (середньої) — 3 можливості (циф­ри 6 і 9 виключаються). Ті три цифри, що залишились, визначаються од­нозначно, оскільки число має бути центрально-симетричним. Загальна кількість чисел має бути 4∙5∙5∙3 = 300. Зрозуміло, що кожна з цифр 1, 8, 6, 9 однаково часто зустрічається в якості першої цифри наступних розрядів. Отже, сума всіх цих чисел дорівнює: Серед інших центрально-симетричних семизначних чисел на 4 будуть ділитися тільки ті, що закінчуються однією з комбінацій цифр 08, 68, 88, 16, 96. Тому їх буде всього 5 ∙ 5 ∙ 3 = 75. Задачі для самостійного розв'язування Скільки існує семицифрових чисел, в яких кожні дві сусідні цифри різної парності? На полиці стоїть 8 книг. Скількома способами можна вибрати 3 книги, кожні дві з яких не стоять поряд? , де р1, р2, ..., рn — прості, α1, α2 , αn, — нату­ральні числа. Доведіть, що загальна кількість натуральних дільників числа А дорівнює (α1 + 1)(α2 + 1)...(αn + 1). Скількома способами можна вибрати 4 карти з колоди із 36 карт так, щоб дістати: а) одну; б) дві; в) три; д) чотири різні масті? На колі вибрали n ≥ 3 точок. Однією з них є точка А. Яких опуклих многокутників з вершинами в цих точках більше — тих, які мають вершиною точку А, чи тих, у яких А не є вершиною, і на скільки? У поштовому відділенні продаються листівки 10 видів. Скількома способами можна купити в ньому: а) 12 листівок; б) 8 листівок; в) 8 різних листівок? Скількома способами можна розташувати в дев'яти лузах 7 білих і 2 чорні кулі? Частина луз може бути порожньою, а лузи вважаються різними. Обґрунтувати за допомогою комбінацій біном Ньютона: . Доведіть формулу . Тура стоїть на лівому полі клітчастої смужки 1x30 і за один хід може посунутися на довільну кількість клітинок вправо. а) Скількома способами вона може потрапити до крайнього лівого поля? б) Скількома способами вона може потрапити до крайнього правого поля рівно за 7 ходів? Скількома способами можна розрізати намисто, що складається з 30 намистин, на 8 частин (розрізати можна лише між намистинами)? Скількома способами можна розфарбувати круг, розбитий на р рів­ них секторів, за допомогою п фарб, якщо р — просте число і кожний сек­тор фарбуємо однією фарбою? Два розфарбування, що співпадають підчас повороту круга, вважаємо однаковими. На кожному борту човна мають сидіти по 4 гребці. Скількома спо­собами можна вибрати їх із 31-го претендента, якщо 10 з них хотіли б сидіти ліворуч, 12 — праворуч, а 9 — байдуже де сидіти? Є 2т однакових білих кульок і 3n однакових чорних кульок. Скількома способами з них можна вибрати т+п кульок? Скількома способами можна подати 1 000 000 у вигляді добутку трьох множників, якщо добутки, що відрізняються порядком множників, вважати різними?

Схожі: