РОЗРАХУНКОВА РОБОТА: «Електричне поле зарядів у вакуумі»

Скачати 197.73 Kb.

Назва	РОЗРАХУНКОВА РОБОТА: «Електричне поле зарядів у вакуумі»
Сторінка	1/2
Дата	08.05.2013
Розмір	197.73 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Фізика > Документи

1 2

РОЗРАХУНКОВА РОБОТА:

«Електричне поле зарядів у вакуумі»

Умова
Електричне поле створюється у вакуумі (діелектрична проникність ) зарядом, який розподілений:

а)	із густиною (r) по об'єму кулі, r – відстань від центра;
б)	із густиною (r) по об'єму кульового шару, r – відстань від центра;
в)	із густиною (r) по об'єму кулі та з густиною  по поверхні сфери, r – відстань від центра;
г)	із густиною (r) по об'єму кульового шару, в центрі якого знаходиться точковий заряд q, r – відстань від центра;
д)	із густиною по об'єму нескінченного циліндра, r – відстань від осі;
е)	із густиною по об'єму нескінченного циліндричного шару, r – відстань від осі;
є)	із густиною (r) по об'єму нескінченного циліндра та з густиною по нескінченній циліндричній поверхні, r – відстань від осі;
ж)	із густиною (r) по об'єму нескінченного циліндричного шару та з густиною по нескінченній нитці, що проходить по осі системи, r – відстань від осі.

Завдання
У відповідності до таблиці варіантів (варіант завдання призначається викладачем):

За допомогою теореми Гаусса аналітично визначити (отримати вирази) напруженість електричного поля системи в усьому просторі;
За напруженістю аналітично визначити потенціал (r) електричного поля системи в усьому просторі;
Записати числові формули, розрахувати й навести таблиці значень і побудувати графіки залежностей .

Порядок виконання та оформлення завдання

Завдання оформлюється на папері А-4 з одного боку, графіки  на одному аркуші міліметрового паперу А-4. На титульному аркуші обов’язково вказується варіант завдання та рівень складності;
За погодженням із викладачем обрати рівень складності завдання:

– рівень І (max 13 бал.) – виконуються завдання, що стосуються тільки напруженості поля;

– рівень ІІ (max 20 бал.) – виконуються всі завдання.

Записати умову завдання та зробити рисунок для свого варіанту; записати параметри задачі (згідно з таблицею варіантів).
На рисунку показати форму замкненої поверхні, що буде використана для розрахунку, та елементарну площадку ds, вектори нормалі і напруженості .
Отримати аналітичні вирази E(r) для кожної з областей.
Отримати аналітичні вирази для , вибравши нульовий рівень (початок відліку) залежно від типу системи: для (а,б,в,г) – на нескінченності (); для (д,е,є,ж) – на поверхні r = R₂ ().
Записати числові вирази для E(r) і ; для цього підставити числові дані (в основних одиницях СІ) в аналітичні вирази, отримані в пп. 5 і 6, та виконати необхідні арифметичні дії.
Розрахувати із кроком 1,0 см числові значення у діапазонах r = см за відсутності зарядів у центрі або на осі системи, та см при наявності таких зарядів (u,ж);. Зауваження: 1) для лінійних залежностей можна обмежитися розрахунком лише двох крайніх точок; 2) якщо ≠ 0, то в точках такої поверхні треба обчислювати два значення напруженості за формулами для суміжних областей. Результати розрахунків звести у таблицю й подати її в тексті роботи.
За даними таблиці побудувати графіки . Графіки розташувати на одному аркуші міліметрового паперу формату А-4 один над одним, розмістивши осі ординат на одній вертикалі та вибравши однакові масштаби по осях абсцис r. Масштаби по осях ординат підібрати так, аби було зручно відкладати точки, і щоби кожен із графіків займав приблизно однакову площу на полі креслення. Позначити на осях одиниці вимірювання величин. Штриховими лініями показати на графіках межи областей.

Вказівки з виконання розрахунків
Розрахунок напруженості поля за теоремою Гаусса
Перед початком розрахунку напруженості поля необхідно обов’язково вивчити теоретичний матеріал і розібрати приклади розрахунку полів за підручником:

Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы, М, 2002 (або 1983), §§ 1.2, 1.3 (примеры 4, 5, 6);
Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики, т. 2, Електрика і магнетизм, К, 2001, § 1.7, (приклад 4).
Савельев И.В. Курс физики, т.2, М, 1989, § 5 (ст.15-23), §§ 6,7,8.

Згідно з теоремою Гаусса, у вакуумі потік напруженості електричного поля крізь замкнену поверхню будь-якої форми та розмірів визначається як

(1)

де Е_n – проекція вектора

на зовнішню нормаль до елементарної ділянки поверхні ds, і q – сумарний заряд, який зосереджений всередині замкненої поверхні.

Оскільки вектор

в кожній точці поля напрямлений по нормалі до еквіпотенціальної поверхні (поверхні сталого значення потенціалу φ = const), що проходить через цю точку, то |Е_n| =

. Для зручності надалі позначатимемо Е_n=Е (знак Е залежить від напряму

відносно нормалі до еквіпотенціальної поверхні), відтак для потоку поля крізь будь-яку еквіпотенціальну поверхню можна записати

. При цьому для полів високої симетрії в усіх точках еквіпотенціальної поверхні Е = const, тому потік через площу S еквіпотенціальної поверхні дорівнює:

Якщо замкнена поверхня є замкненою еквіпотенціальною поверхнею з площею S, або складається з еквіпотенціальної поверхні площі S, та інших поверхонь, крізь які потік дорівнює нулю, то

(2)

Величина S у випадку симетричних поверхонь визначається за відомими простими формулами, тому задача зводиться до визначення сумарного заряду q всередині заданої замкненої поверхні. Це також не становить принципових труднощів, оскільки високо симетричне поле створюється відповідним симетричним розподілом заряду в просторі.

Придатними для розрахунку за теоремою Гаусса полями, зокрема, є:

– центральне (сферично симетричне) поле, яке скрізь напрямлене радіально і в якому Е та потенціал φ залежать тільки від відстані до центра симетрії. Відповідно, еквіпотенціальними поверхнями цього поля є концентричні сфери. У даній розрахунковій роботі такі поля створюють системи а, б, в, г.

– таке аксіально симетричне поле, яке скрізь напрямлене перпендикулярно до заданої осі й має Е та φ, залежні тільки від відстані до неї. Еквіпотенціальними поверхнями такого поля є співвісні із віссю симетрії нескінченні циліндричні поверхні. У даній роботі подібні поля створюють системи д, е, є, ж..
Визначення потенціалу за відомою напруженістю поля
Перед початком розрахунку потенціалу поля необхідно обов’язково вивчити теоретичний матеріал за підручником:

Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы, М, 2002 (1983), §§ 1.5, 1.6;
Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики, т. 2, Електрика і магнетизм, К, 2001, § 1.10, 1.11.
Савельев И.В. Курс физики, т.2, М, 1989, §§ 8,9.

При переміщенні заряду q в неоднорідному електричному полі

на нього діє змінна сила

, тому робота поля на шляху між якимось точками 1 і 2 визначається криволінійним інтегралом уздовж траєкторії переміщення:

Оскільки поле зарядів є потенціальним, ця робота не залежить від траєкторії і може бути виражена через різницю потенціалів у точках 1 і 2:

Прирівнюючи праві частини цих виразів отримуємо:

Якщо поле

відоме, то цей вираз дозволяє знайти різницю потенціалів між будь-якими двома точками поля. Для визначення функції потенціалу

інтегрування треба вести від довільної точки

до нульової точки

^¹, тоді

Наведені інтеграли не залежать від форми траєкторії, тому в даній розрахунковій роботі найзручніше інтегрувати вздовж силових ліній поля, тобто вздовж радіальних прямих, які виходять із центра (або осі) симетрії поля. В такому разі вирази для φ₁ φ₂ та φ спрощуються:

	(3)
,	(4)

де r, r₀ – відстань від центра (осі) симетрії до нульової точки.
Приклади розрахунку поля
Приклад 1. Поле створюється кулею, що заряджена з об’ємною густиною

(розподіл а)

1.1 Визначення напруженості. Дане поле є центрально симетричним, отже для розрахунку за теоремою Гаусса використовуємо вираз (2) й обираємо сферичні замкнені поверхні, для яких

, де r – відстань від центра кулі до точки, в якій ми хочемо знайти напруженість поля. Отже,

(1.1)

де q – сумарний заряд всередині сфери радіуса r, який визначається як інтеграл від елементарних зарядів dq усіх нескінченно малих областей dV всередині даної замкненої поверхні:

(1.2)

Примітка. При однорідному розподілі заряду (ρ = const) в інтегруванні немає потреби, бо q = ρ₀V.

Перед обчисленням заряду q треба зауважити таке. Всередині кулі, де

, результат буде залежати від r, а назовні – ні, оскільки при будь-якому

всередині сфери знаходиться увесь заряд кулі Q. Тому подальший розрахунок q і Е треба вести окремо для кожної області.

Область 1 (

). Для максимального спрощення викладок при обчисленні інтеграла (1.2) за dV завжди приймають не гранично малий кубик dxdydz, а елементарну область, яка відповідає симетрії розподілу заряду. У даному прикладі – це нескінченно тонкий кульовий шар радіуса r і товщини dr, об’єм якого

. Відтак, згідно з (1.2) і умовою завдання,

Підставивши цей результат у (1.1), отримаємо вираз напруженості поля всередині шару як функцію відстані від центра:

(1.3)

Область 2. (r > R). При будь-якому значенні радіуса сфери r > R всередині неї знаходиться весь заряд кулі Q , котрий зосереджений в області простору

. Тому при визначення Q в інтегралі (1.2) верхня границя дорівнює R, і

Відповідно, напруженість поля у зовнішній області простору

(1.4)

Корисно відмітити, що на поверхні зарядженої кулі (r = R) вирази (1.3) і (1.4) дають однаковий результат

(1.5)

Це справедливо, якщо на межі немає зарядженої поверхні (

, інакше

.Крім того важливо, що за умовою заряди розміщені у вакуумі. Якби заряди були розподілені по об’єму кулі із діелектрика, результат був би іншим, оскільки у формуванні поля всередині кулі брали б участь і заряди, що входять до складу молекул діелектрика.

Визначення потенціалу. Після визначення напруженості поля як функції відстані від центра кулі, за допомогою співвідношень (3) і (4) можна знайти функцію потенціалу даного поля, урахувавши умову завдання про те, що нульова точка розташована на нескінченності.

Область 2. (r > R). Оскільки напруженість в кожній області виражається різними функціями (1.3) і (1.4), розрахунок φ зручніше почати з області 2, в якій знаходиться нульова точка. Підставивши в (4) вираз (1.4) і r₀ = ∞, отримаємо:

Підставивши границі, отримаємо остаточний результат:

(1.6)

На поверхні зарядженої кулі

(1.7)

Область 1 (

). Потенціал усередині зарядженої кулі теж легко знайти, якщо врахувати, що функція

завжди неперервна^². Завдяки цьому

і визначається виразом (1.7). Відтак, згідно з (3) маємо

Підставивши сюди вирази (1.3) і (1.7), знайдемо шукане:

Звідси після елементарних викладок отримаємо:

(1.8)

Підставляючи в цей вираз r = R, отримуємо величину (1.7), що вказує на відсутність помилок у викладках. Остаточно правильність отриманих результатів (1.6) і (1.8) перевіряємо за допомогою співвідношення між напруженістю та потенціалом, яке для розрахованого поля має вигляд:

(1.9)

Підставивши під знак похідної вирази (1.6) і (1.8) і виконавши диференціювання, отримаємо вирази (1.3) і (1.4), відповідно, що засвідчує правильність розрахунку потенціалу.

1.3. Числові формули. Для розрахунку таблиць значень і подальшої побудови графіків необхідно записати числові формули напруженостей та потенціалів, згідно з отриманими аналітичними виразами (1.3), (1.4), (1.6), (1.8) та умовами завдання. Для цього в аналітичні вирази треба підставити задані значення параметрів та констант (обов’язково в основних одиницях СІ) і виконати обчислення. В даному прикладі, згідно з умовою, ρ₀ = 50 нКл/м³ = 510^⁸ Кл/м³, R = 5 см = 510^² м, ε₀ = 8,8510^¹² Ф/м, отже

Приклад 2. Поле створюється нескінченним циліндричним шаром із радіусами R₁ і R₂, зарядженим із заданою залежністю об'ємної густини заряду від відстані до осі

, (розподіл е).

Особливість систем циліндричного типу полягає в тому, що в них еквіпотенціальними є нескінченні циліндричні поверхні з віссю на осі симетрії системи. Тому при розрахунку залежності Е = Е(r) за теоремою Гаусса замкнену поверхню доводиться брати у вигляді скінченного прямого циліндра радіуса r і певної висоти h. При цьому основи циліндра не є еквіпотенціальними. Але оскільки вектор

має радіальний напрям і складає кут 90° з нормаллю до основи, на основах нормальна проекція напруженості Е_n = 0. Тому потік створюється тільки крізь бічну поверхню циліндра

і, згідно з (2),

(2.1)

При цьому в розподілах такого типу заряд усередині замкненої циліндричної поверхні q ~ h, тому результат розрахунку E не залежить від h. Відміною даної задачі від розглянутої вище (Приклад 1) є й те, що розподіл заряду по циліндричному шару створює додаткову область r < R₁ (порожнина), яка потребує окремого розгляду, тобто потрібно застосувати теорему Гаусса для трьох циліндрів, з бічними поверхнями в кожній з областей. Це ж стосується й розподілу б, в якому заряд зосереджений у кульовому шарі.

В іншому подальший порядок розрахунку є аналогічним до розглянутого раніше (Приклад 1). Зокрема, заряд усередині замкненої поверхні визначається за такою схемою:

Область 1 (

). Очевидно, що q₁ = 0. Оскільки поле має радіальний характер, на всій бічній поверхні циліндра Е₁S = 0, отже в порожнині поле Е₁ = 0.

Область 2 (R₁ ≤r ≤ R₂). Вибираючи в якості елементарного об’єму нескінченно тонкий циліндричний шар радіуса r і товщини dr, для якого

, маємо:

(2.2)

Тут F(r) і F(R₁) – значення первісної від підінтегральної функції на межах області інтегрування.

У відповідності до (2.1),

(2.3)

Область 3 (r > R₂). У цій області q₃ = Q – повному заряду шару всередині замкненого циліндра:

(2.4)

Відповідно, напруженість

(2.5)

Після отримання залежності Е(r) для кожної з областей, за допомогою (3) або (4) визначають функцію потенціалу

у кожній області. У завданнях для розподілів заряду даного типу симетрії (д, е, є, ж) передбачений вибір нульового рівня потенціалу на циліндричній поверхні радіуса R₂, отже, в (4) r₀ = R₂. Спочатку визначаємо

в областях 2 і 3, які прилягають до еквіпотенціальної поверхні.

Область 3 (r > R₂). Згідно з (4),

(2.6)

Область 2 (R₁ ≤ r ≤ R₂):

(2.7)

Отримавши

, можна знайти потенціал

на поверхні r = R₁. Через неперервність функції потенціалу

, що дозволяє визначити потенціал в наступній області.

Область 1 (

). Згідно з (3),

(2.8)

У даному прикладі Е₁ = 0, отже, у порожнині потенціал скрізь сталий:

Для отримання конкретних виразів заряду q результатів треба підставити в (2.2) і (2.4) задані вирази

, і результати підставити в (2.3) і (2.5). Після цього отримані вирази Е(r) слід підставити в (2.6) і (2.7) і отримати вирази потенціалу для кожної області.

1 2

Схожі:

Уроку п/п № розділу § пункту ТЕМА Зміст навчального матеріалу Силові лінії електричного поля. Накладання електричних полів. Електричне поле точкових зарядів	Уроку п/п № розділу § пункту ТЕМА Зміст навчального матеріалу Силові лінії електричного поля. Накладання електричних полів. Електричне поле точкових зарядів
Закон Кулона Електричне поле — одна зі складових електромагнітного поля, що існує навколо тіл або частинок, що мають електричний заряд, а також...	Струм у вакуумі У електронно-променевих трубках, електронних лампах радіоприймачів і багатьох інших приладах електрони рухаються у вакуумі
Урок №2 Тема. Взаємодія заряджених тіл. Електричне поле Обладнання: скляна та ебонітова палички, клаптики хутра й шовку, електроскопи, провідники та діелектрики, комп'ютер та мультимедійні...	Електричне поле. Напруженість електричного поля. Речовина в електричному... Електроємність. Конденсатори та їх використання в техніці. Енергія електричного поля
Закон Кулона. Увести поняття точкового заряду, роз’яснити учням фізичний... Домашнє завдання сплановано згідно підручника «Фізика. 9 клас: Підручник/ Ф. Я. Божинова, М. М. Кірюхін, О. О. Кірюхіна. – Х.: Видавництво...	Урок №5 Тема. Закон Кулона Кулона; формувати вміння та навички розв’язування типових задач; закріплювати вміння застосовувати одержані на попередніх уроках...
КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ З ФІЗИКИ Електричний струм. Електричне коло. Джерела та споживачі електричного струму. Робота та потужність електричного струму. Безпека під...	Уроку по фізиці з учнями 9-А класу ТЕМА : «МАГНІТНЕ ПОЛЕ» МЕТА: Узагальнити та систематизувати знання учнів з теми «Магнітне поле»; розвити логічне мислення, інтерес до вивчення фізики; виховати...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання