ЛЕКЦІЯ 4 «Метод згладжування і сезонне прогнозування»
Анотація
Наївна модель. Способи усунення тренда. Моделі згладжування для часових рядів, що не мають тренда: модель ковзного середнього, модель експоненційно зваженого ковзного середнього, комбінована модель. Визначення початкових значень моделі. Моделі згладжування з трендом: модель Холта, модель Брауна. Сезонні моделі.
4.1 Наївна модель
Зараз ми розглянемо найпростішу модель, яка коли-небудь використовувалася при прогнозуванні, – так звану «наївну модель». Значення моделі задаються наступною формулою:
 (4.1)
Ідея наївної моделі (4.1) полягає в припущенні, що дане значення у момент часу t приблизно рівне попередньому значенню.
Стовпець значень Yt виходить з початкових даних просто зрушенням на один рядок вниз. На рис. 4.1 представлений графік цієї наївної моделі, який виходить відповідно з початкового графіка шляхом зрушення на одиницю управо. Прогноз для всіх кварталів, починаючи з 18-го, один і той же і рівний останньому значенню ряду даних: 248.
Рисунок 4.1 – Графік наївної моделі
Наївна модель застосовується в тих випадках, коли потрібно зробити короткостроковий прогноз, за умови, що не очікується великих змін в характері процесу. Важливість цієї моделі для прогнозування в першу чергу полягає у тому, що разом з лінійною моделлю і моделлю постійного зростання наївна модель служить мірилом для визначення ефективності будь-якої іншої моделі. На практиці це означає, що, перш ніж придбати яку-небудь нову модель, треба порівняти її характеристики з їх аналогами.
4.2 Способи усунення тренда
Якщо уважно подивитися на графік наївної моделі (рис. 4.1), то помітите, що крім зрушення на одиницю управо він в більшій своїй частині (у 5 випадках з 16) розташований нижче за початкову криву. Це пов'язано з тим, що наївна модель (див. формулу 4.1) не припускає існування у процесу лінійного тренда. Тобто наївна модель виявиться неефективною, якщо значення коефіцієнта b2 в лінійному рівнянні регресії значно відрізнятиметься від нуля. Існує досить багато інших моделей, набагато складніших, ніж наївна, які також припускають, що процес не має тренда. Як показник відсутності тренда у ряду Yiіноді береться коефіцієнт k:
 (4.2)
Залишки лінійного рівняння регресії звичайно служать прикладом процесу, що не має лінійного тренда. Як правило, в бізнесі ми маємо справу з процесами, що мають тренд. Для того, щоб в цьому випадку можна було застосувати модель, призначену для процесів, що не мають тренда, можна поступити одним з наступних двох способів.
Спосіб 1. Розглянемо різниці або частки початкових даних. Таким чином, якщо є ряд даних Y1, Y2, ..., Yn, то розглядається ряд: Δ2, ...,Δn, де Δt = Yt – Yt-1, або ряд р2, ..., рn,де
 (4.3)
Насправді прогнозисти звичайно поступають трохи інакше. До результатного ряду даних застосовується оператор ln. Toбто розглядається ряд: lnY1, …, lnYn, після чого до нього застосовується оператор приросту Δ. При значеннях рi, близьких до одиниці, можна нехтувати другим членом в розкладанні Тейлора і вважати, що ln(pt) ≈ pt - 1.
Так як ln(pt) = ln(1) + (ln(pt))(pt-1) + (ln(pt))/2!*(pt-1)2≈ 0 + 1/pt*(pt-1) = 0 + 1*(pt-1) =pt -1
Оператори Δi і рi називають операторами початкового ряду. При цьому абсолютно не гарантовано, що ряди даних, одержані шляхом застосування операторів Δi або рi, не матимуть тренда (У такому разі іноді застосовують повторно оператор Δ).
На рис. 4.2 представлене графічне зображення ряду р2,..., рn.
Рисунок 4.2 – Темпи зростання об'єму продажів
Якщо менеджер вважає, що можна нехтувати зміною в змодельованих квартальних темпах зростання, то він може розглядати р2, ..., рn як ряд, що не має тренда, і застосувати до нього наївну або будь-яку іншу модель, призначену для рядів, що не мають тренда.
Спосіб 2 полягає в розгляді залишків лінійної регресії і є одним з найчастіше використовуваних методів усунення тренда. Його називають методом детрендалізації.
Якщо коефіцієнт b2 лінійного рівняння регресії для ряду еiмає нулі в перших чотирьох десяткових розрядах, то він може вважатися рівним нулю. Тепер можна побудувати модель для ряду без тренда для залишків еі, потім знайти відповідне змодельоване значення ek при k > 17, і додати його до відповідного значення тренда. Оскільки наївна модель припускає, що et-1 ≈ et, то її слід застосовувати у тому випадку, коли коефіцієнт кореляції r(et-1, et ) при t = 2, ..., n, позитивний і значно відрізняється від нуля. У такому разі говорять, що в моделі лінійної регресії є позитивна автокореляція першого порядку. Існує спеціальний тест (тестДарбіна-Уотсона) на наявність автокореляції першого порядку.
Прогноз визначається шляхом додавання змодельованої помилки е19 до відповідного значення тренда.
4.3 Моделі згладжування для часових рядів, що не мають тренда:модель ковзного середнього, модель експоненційно зваженого ковзного середнього, комбінована модель
Основна задача прогнозиста – знайти модель або групу моделей, які адекватно описували б процес. Прогнози, у свою чергу, будуються вже виходячи з цих моделей. Моделі згладжування застосовуються, коли потрібно визначити загальний хід процесу, проігнорувавши при цьому зміни, викликані випадковими чинниками. У цьому вони схожі з моделями підгонки, з тією лише різницею, що у них більше значення надається останнім даним. Ця властивість моделі називається адаптивною. Інша важлива відмінність моделей згладжування від кривих підгонки полягає у тому, що вони задаються алгоритмами, а не аналітично, тобто функцією від часу. З рекурсивності моделей згладжування виходить одна їх дуже важлива властивість: значення моделі співпадають з відповідними expost прогнозами. Для цього достатньо пригадати, що expost прогнози також визначаються виключно виходячи з попередніх даних.
Значення моделі ковзного середнього (movingaveragemodel) визначаються наступною формулою:
 (4.4)
Іншими словами, Yt дорівнює середньому k попередніх значень. Число k називається порядком ковзного середнього. Середнє значення завжди знаходиться між мінімальним і максимальним значеннями ( тому модель можна ефективно застосовувати тільки до ряду даних, що не має лінійного тренда. На рис. 4.3 показана модель для ряду рt, при k = 5.
Рисунок 4.3 – Модель ковзного середнього при k = 5
Ми бачимо, що графік моделі більш гладкий, ніж початковий. При усереднюванні частково зникли флуктуації початкових даних, викликані випадковими чинниками. На графіку моделі відсутні перші п'ять значень. Це викликано тим, що для моментів часу t = 2, 3, 4, 5, 6 у формулі (4.4) значення рt не визначені.
Прогноз не враховує можливих коливань, або, як то кажуть, обурень, що мають місце в процесі. Отже цей прогноз слід розуміти як деяке усереднене значення можливих майбутніх значень.
Щоб одержати прогноз, який враховував би такі обурення, потрібно навчитися визначати їх яким-небудь іншим способом. Прикладом такого підходу є знаходження сезонних компонент.
Для того, щоб знайти прогнози на більш видалені в майбутнє квартали, відсутні члени у формулі (4.4) замінюють на відповідні одержані раніше прогнози.
Модель експоненційно зваженого ковзного середнього (exponentiallyweightedmovingaverage (EWMA) model) є природним узагальненням моделі ковзного середнього. Вона будується на наступних двох припущеннях.
Кожне нове значення визначається сукупністю всіх попередніх значень.
Вплив попередніх даних слабшає в геометричній прогресії, у міру того як вони відстають далі за часом.
Якщо виходити з вищесказаного, то модель EWMA повинна визначатися формулою:
 (4.5)
Проте при визначенні коефіцієнтів при Yt-1 потрібно також, щоб їх сума дорівнювала одиниці. В цьому випадку вони називаються вагами. Оскільки сума коефіцієнтів при Yt-1 в правій частині формули приблизно дорівнює ( ):  , при достатньо великих n, то модель EWMA визначається наступною формулою:
 (4.6)
Тепер сума коефіцієнтів:  . З формули (4.6) можна зробити дуже важливий висновок про пам'ять моделі EWMA, тобто про вплив попередніх даних на значення моделі. Чим ближче α до нуля, тим швидше модель «забуває» минулі дані і тим більшу вагу має сама остання інформація. З другого боку, коли α наближається до одиниці, то вага при Yi розподілені більш рівномірно і, отже, графік моделі виглядатиме більш згладженим.
Неважко бачити, що формула (4.6) еквівалентна наступній формулі:
 (4.7)
Формула (4.7) більш зручна для обчислень, в порівнянні з формулою (4.6), тому для визначення значень моделі краще використовувати саме її. Число (1- α) називається константою згладжування. Коли а = 0, формула (4.7) співпадає з формулою (4.1) для наївної моделі. В правій частині формули (4.7) присутній член аYt-1. Це означає, що обчислення значень моделі носить рекурсивний характер. З (4.7) також витікає, що модель EWMA слід застосовувати тільки для рядів, що не мають тренда.
Розглянемо модель EWMA на прикладі залишків лінійної регресії. Її можна записати в наступному вигляді:
 (4.8)
Для того, щоб модель можна було застосувати, потрібно задати значення а і перше значення моделі.
Потрібно відзначити один дуже істотний недолік моделей згладжування. На зміни в ході процесу вони реагують із запізненням. Пояснимо це з допомогою діаграми 4.4.
Рисунок 4.4 – Модель EWMA
Спадання даних відбувалося аж до 3-го кварталу. Починаючи з 4-го кварталу картина починає поступово мінятися у бік зростання. Невеликий відступ вниз відбувся в 5-у кварталі, а потім аж до 8-го кварталу графік йшов вгору. Подивимося, як на це реагувала наша модель. Вона продовжувала йти вниз аж до 6-го кварталу. Але після того, як її графік почав нарешті зростати, це зростання продовжувалося аж до 13-го кварталу, тобто до того моменту, коли графік початкових даних різко пішов вниз. Пояснити цей факт можна характером формули (4.6), в якій значення моделі визначаються в основному декількома попередніми даними.
Як вже говорилося раніше, вид графіка моделі залежить від величини а. При порівнянні двох діаграм, зображених на рис. 4.5, неважко помітити, що графік моделі при більшому значенні (а = 0,8) має велику згладжену, тоді як графік знизу (при а = 0,2) слідує за початковими даними набагато щільніше. Також значно відрізняються і прогнозовані значення.
Рисунок 4.5 – Модель EWMA ( 1 = 0)
Модель експоненціального згладжування (exponentialsmoothingmodel) задається формулою:
 (4.9)
Вираз (4.9) відрізняється від формули (4.7) моделі EWMA лише заміною Yt-1 на Yt в правій частині. Насправді модель експоненціального згладжування виходить з моделі EWMA шляхом зсуву початкових даних на одиницю часу. Модель експоненціального згладжування дає прогнози, мало відмінні від тих, що одержані за допомогою моделі EWMA.
Модель подвійного експоненційного згладжування (doubleexponentialsmoothingmodel) виходить за допомогою подвійного застосування моделі експоненційного згладжування. Тобто спочатку модель експоненційного згладжування застосовується до початкових даних, а потім – до змодельованих значень, одержаних на першому етапі. При цьому при повторному застосуванні моделі можна узяти інше значення а.
Для вибору відповідного значення а прогнозист звичайно керується або інтуїцією, або попереднім досвідом. Більш строгий підхід полягає в наступному. Оскільки кожна експоненціальна модель визначається своїм значенням а, то можна розглядати всю сукупність експоненціальних моделей для даного ряду даних. Таким чином, а вважається параметром моделі. Тепер можна знайти оптимальне значення а, що мінімізує суму квадратів залишків, тобто поступимо точно так, як ми робили в першому розділі для знаходження параметрів кривої підгонки.
Тут важливо пам'ятати, що оскільки оптимальне а визначається на основі всього ряду даних, то відповідні expost значення а не зобов'язані співпадати і їх потрібно знаходити окремо на кожному кроці. Хорошого прогнозу слід чекати при стабільних значеннях а, тобто коли expost значення аутворюють невеликі коливання навколо деякого середнього значення.
Комбінована модель. Для даних знаходиться лінійне рівняння регресії. Потім моделюються залишки моделі лінійної регресії за допомогою моделі EWMA. Знаходиться оптимальне значення а. Потім об'єднуються ці дві моделі.
Значення комбінованої моделі  . Прогнози будуються шляхом складання майбутніх значень тренда і прогнозів залишків, одержаних за допомогою моделі EWMA. Діаграма комбінованої моделі представлена на рис. 4.6.
Вона краща моделює початкові значення, ніж лінія тренда. Залишки комбінованої моделі для Y рівні відповідним залишкам моделі EWMA для е.
Рисунок 4.6 – Комбінована модель (лінійна регресія + модель EWMA)
Тому MSE (середньо квадратична похибка) моделі  буде така ж, як у моделі EWMA для залишків еi. При expost прогнозуванні комбінованої моделі слід враховувати, що, оскільки лінійне рівняння регресії змінюватиметься на кожному кроці, змінюватимуться і помилки моделі, а отже – і оптимальне значення а.
4.4 Визначення початкових значень моделі
Оскільки формула (4.7) є рекурсивною, тобто для обчислення значення моделі у момент t ми повинні знати її значення в попередній момент t - 1, то перед нами встає задача визначенняпочаткових значень моделі (в даному випадку у момент часу t= 1). Дійсно, формулу (4.7) можна застосувати тільки тоді, коли t > 1. Але якщо ми не знаємо  ,ми не зможемо знайти  і т.д. Задача визначення початкових значень часто зустрічається в прогнозуванні. У частині моделей згладжування вплив початкового значення моделі залежить від величини а і від довжини n ряду початкових даних. Чим ближче а до одиниці, тим більше помітною буде дія початкової умови як на значення моделі, так і на прогноз. В той же час зважаючи на здатність моделі «забувати» попередні дані вплив початкового значення моделі слабшає із збільшенням довжини ряду даних.
Найпростіший спосіб – узяти як початкове значення  або  .
У сучасному прогнозуванні досить поширений метод прогнозування назад (backcasting). Наприклад, можна розглянути модель, подібну моделі (4.7), з тією лише різницею, що рекурсивність здійснюється у зворотному напрямі:
 (4.10)
Значення t беруться в зворотному порядку. Як початкове значення для моделі (4.10) береться саме останнє за часом значення Yn. Після того як значення , моделі (4.10) визначено, ми знову повертаємося до початкової моделі (4.7). Значення моделі (4.10) полягає в тому, щоб як початкове значення узяти згладжене, визначуване загальним ходом процесу, число. Наприклад, якщо на початку процесу відмічалися значні коливання, то тепер для визначення остаточного прогнозу вони не виконуватимуть істотної ролі. Можна було б подумати, що в результаті ми повернемося до того ж значенню Yn. Але це не так. Рівняння (4.10) можна записати в наступному вигляді:
 (4.11)
Процес прогнозування здійснюється таким чином. Знаходиться значення згідно формули (4.10), рухаючись вгору, починаючи з останнього значення. Таким чином, знаходиться згладжене значення  , відповідне 1-му кварталу. Потім переходимо до моделі (4.8) з набутим початковим значенням. Приклад прогнозування назад представлений на рис. 4.7.
Рисунок 4.7 – Модель прогнозування назад
Початкове значення моделі можна визначити за допомогою кривої підгонки. Оскільки еi є залишками моделі лінійної регресії, то їх коефіцієнт b2 буде рівний нулю і лінійне рівняння регресії зведеться до тотожності  .
Коли є достатня кількість інформації, її можна розбити на дві групи. Потім значення прогнозу моделі для першої групи можна використовувати як початкове значення моделі для другої групи. Як початкове значення для першої групи можна узяти  або  . У обох групах беруться оптимальні значення а.
Початкове значення можна взяти відповідно до досвіду і розуміння прогнозистом процесу.
Найкращий спосіб визначення початкових значень, особливо для прогнозистів, що починають, полягає у виборі опції, «автоматично» присутньої у всіх статистичних пакетах.
4.5. Моделі згладжування з трендом: модель Холта, модель Брауна.
Модель Холта
В лінійній моделі різниця  дорівнювала b2, тобто служила характеристикою наявного тренда. Звичайно, було б невірним припускати, що в рівнянні (4.9) відповідна різниця буде константою. Проте вираз може розглядатися як величина тренда для нашого процесу в даний момент часу.
Застосуємо модель експоненціального згладжування до різниць  , з константою згладжування, рівною 1 – β, де 0 ≤ β< 1. При цьому значення моделі позначимо як Тtі назвемо їх значеннями тренда. Таким чином, одержуємоперше рівняння Холта:
 (4.12)
Основна ідея Холта полягала в тому, щоб при визначенні  формулі (4.9) додати до попереднього значення моделі  відповідне значення тренда Tt-1. Отже, одержуємо друге рівняння Холта:
 (4.13)
Побудова моделі зводиться до трьох основних етапів.
Ухвалюють рішення щодо величин параметрів моделі α і β. Якщо немає особливих переваг, то оптимальні значення α і βвизначають як завжди, виходячи з мінімізації MSE.
Визначають початкові значення і Tt. Що ж до Tt., то можна узяти
Т1 = (Δ2 + Δ4 )/2.
Поперемінно знаходять і Tt. При цьому спочатку обчислюють і лише потім – Tt.
Для прогнозу на mкроків вперед, який позначимо Рп+m, використовується третє рівняння Холта:
 (4.14)
Іншими словами, передбачається, що останнє значення тренда залишається незмінним для всіх майбутніх прогнозів.
Діаграма моделі Холта представлена на рис. 4.8.
Рисунок 4.8 – Модель Холта, включаючи прогнози на три квартали вперед
Як ми бачимо, ця модель досить добре апроксимує початкові дані.
Модель подвійного експоненціального згладжування з трендом (модель Брауна – Brown'sdoubleexponentialsmoothingmodelwithtrend).
Модель Брауна користується популярністю у менеджерів, завдяки своїй простоті і непоганим короткостроковим прогнозам. Ідея полягає в наступному. При згладжуванні графік моделі знаходиться, як правило, нижче графіка даних при їх зростанні. При спаданні даних ми маємо зворотну картину. При повторному згладжуванні ця різниця стає ще відчутнішою.
Для отримання точнішої моделі для початкових даних Браун запропонував до значення моделі простого експоненціального згладжування додавати різницю в значеннях між простим і подвійним згладжуванням, помножену на коефіцієнт, обернено пропорційний а. Таким чином, модель Брауна визначається наступною формулою:
 (4.15)
Прогноз на h кроків вперед визначається формулою:
 (4.16)
При h = 1 ми одержуємо  . Оскільки у формулі (4.15) значення  визначаються на основі попередніх значень даних, то значення моделі також є ex post прогнозами.
Значення а можна визначити шляхом мінімізації MSE. Змодельовані значення моделі Брауна приведені на рис. 4.9.
Рисунок 4.9 – Модель Брауна, включаючи прогноз
Помітних поліпшень в порівнянні з моделлю Холта не спостерігається.
4.6 Сезонні моделі
Процес, що має кількісні характеристики, визначається наступними трьома основними чинниками: тренд (Т), сезонність (S) і випадкова помилка (е). Трендовий чинник іноді називають також трендоциклічним. Тоді як трендовий чинник відповідальний за загальну тенденцію процесу, сезонний чинник пов'язаний з впливом певних часових інтервалів на бізнес-процес. Тут важливо пам'ятати, що «сезон» в прогнозуванні є технічним терміном і не обов'язково означає квартал. Ось декілька найхарактерніших прикладів показників, відповідних різним сезонам:
об'єм продажів одягу по кварталах;
кількість заявок в туристичній фірмі по місяцях;
завантаженість наземного транспорту в місті по днях тижня;
кількість покупців в супермаркеті по годиннику.
Третій випадковий чинник, званий також помилкою, з'являється як результат непередбачених обставин. У нашому першому прикладі це могла бути надзвичайно холодна зима або зміна менеджменту компанії. Часто буває, що випадкові чинники проявляють себе в абсолютно несподіваній і непередбаченій манері. Наприклад, це може бути падіння або, навпаки, зліт цін на нафту на світових ринках. А на туристичний бізнес можуть робити вплив політичні події або стихійні лиха в іншій частині миру. Навіть подальший аналіз не завжди здатний виявити всі ті чинники, які могли вплинути на процес.
Величина:
 (4.17)
називається десезоналізованим значенням. Тут S– сезонний чинник (його називають також сезонним коефіцієнтом), відповідний моменту часу t . Кажучи менш формальною мовою, десезоналізовані дані – це ті гіпотетичні значення, які могли б прийняти наші дані, якби не було сезонних впливів.
З формули (4.17) виходить:
 (4.18)
Іншими словами, початкові дані є добутком своїх десезоналізованих значень і сезонних чинників. З формули (4.17) також слідує формула:
 (4.19)
Задача полягає в тому, щоб знайти сезонні чинники Sі. Але для цього необхідно спочатку визначити dt.
З формули (4.19) виходить очевидний, але важливий результат: всі коефіцієнти сезонності не можуть одночасно бути більше або, навпаки, менше одиниці. Інакше їх сума не буде рівна чотирьом.
Для знаходження десезоналізованих значень ми поступимо так само, як поступали при побудові моделі ковзного середнього. Щоб нейтралізувати сезонні впливи, порядок ковзного середнього k береться рівним 4. Щоб нейтралізувати вплив тренда, ми розміщатимемо кожне ковзне середнє у середині відповідної групи. Числа, що є десезоналізованими значеннями в першому наближенні, ми позначимо d'.
На даний момент ми ще не можемо скористатися формулою (4.10) для знаходження сезонних компонент, оскільки немає точної відповідності між початковими і десезоналізірованними даними. Ця проблема легко розв'язується шляхом утворення центрованих ковзних середніх другого порядку. Ці дані ми позначили d", які виходять шляхом додаткового згладжування десезоналізованих значень і, природно, так само будуть десезоналізованими значеннями для початкових даних. Тепер можемо застосувати формулу (4.19), щоб одержати коефіцієнти сезонності.
Для того, щоб набути однакові значення сезонних чинників за одні і ті ж квартали різних років, сезонні значення сортуються по кожному кварталу по роках, а потім знаходяться їх середні.
Числа і приймаються за остаточні значення для сезонних чинників. Тепер ми знайдемо остаточні десезоналізовані значення.
На рис. 4.10 можна побачити початкові значення до і після десезоналізації.
Рисунок 4.10 – Початкові значення до і після десезоналізації
Як бачите, піки і западини, викликані сезонними впливами, після десезоналізації зробилися менш помітними. Тепер підсумовуємо все вищесказане у вигляді алгоритму.
Алгоритм для знаходження сезонних чинників і десезоналізованих значень:
знаходимо ковзні середні d'1-го порядку для початкового ряду Yt;
знаходимо (центровані) ковзні середні d" 2-го порядку для ряду d't;
знаходимо неусереднені коефіцієнти сезонності ;
усереднюємо значення S', щоб одержати коефіцієнти сезонності S1, S2,S3 і S4;
знаходимо остаточні десезоналізовані значення dt.
Тепер ми можемо побудувати сезонну модель S. Робиться це таким чином. Спочатку визначається яка-небудь модель для десезоналізованих значень. Наприклад, як таку модель ми можемо узяти одну з кривих підгонки. Потім значення моделі множаться на відповідні коефіцієнти сезонності. Набуті значення дадуть нам сезонну модель.
Тепер, щоб одержати сезонну модель S, ми помножимо значення моделі на відповідні коефіцієнти сезонності. На рис. 4.11 представлені початкові дані і змодельовані значення St.
Рисунок 4.11 – Графік сезонної моделі
Прогноз визначається: спочатку ми повинні визначити прогноз для відповідного значення тренда, який помножимо на коефіцієнт сезонності, відповідний певному кварталу.
|