ЛЕКЦІЯ 3 «Метод екстраполяції тенденції по одному часовому ряду»
Анотація
Поняття тенденції, способи встановлення наявності тенденції. Прості методи екстраполяції тенденції: екстраполяція на основі аналітичних показників рядів динаміки, на основі плинної середньої та екстраполяція на основі індексу сезонності.
3.1 Поняття тенденції, способи встановлення наявності тенденції
Під тенденцією розуміють деякі загальні напрямки розвитку процесу (явища), довгострокову закономірність.
При прогнозуванні методами екстраполяції виходять з інерційності явищ (процесів), що досліджуються і прогнозуються.
Ступінь інерційності залежить від розміру і масштабу процесу, що вивчається. На мікрорівні вплив окремого фактора може миттєво змінити ситуацію, в той час, коли на макрорівні, через дії багатьох факторів, які здійснюють часом протилежний один одному вплив, інерційність зберігається у більшій мірі.
При значній інерційності економічних процесів (явищ), що досліджуються, можна з достатнім ступенем імовірності сподіватися, що закономірності, які виникли в «передісторії», будуть з незначними змінами діяти і в прогнозованому періоді.
Основу екстраполяційних методів прогнозування складають динамічні ряди. Є ряд способів перевірки гіпотези про існування тенденції у динамічному ряду.
Один з найпростіших методів базується на порівнянні середніх рівнів ряду. Для цього динамічний ряд розбивається на дві, приблизно рівні частини за кількістю елементів. Кожна частина розглядається умовно як самостійна сукупність. Якщо динамічний ряд має певну тенденцію, то середні, які обчислені для кожної сукупності, повинні суттєво розрізнятися між собою. Якщо ж розходження будуть незначними, тобто випадковими, то динамічний ряд тенденції не має.
Для оцінки істотності відмінності між середніми значеннями двох динамічних рядів використовується t-критерій Стьюдента.
Розходження буде істотним, якщо розрахункове значення t-критеріяСтьюдента(tp) буде не менше його табличного значення (tT).
Розрахункове значення t-критерія обчислюється таким чином:
 (3.1)
де  середнє значення рівня відповідно до першої і другої частин ряду, розрахованих для інтервальних динамічних рядів як середнє арифметичне:
 (3.2)
де n1,n2 - кількість елементів відповідно першої і другої частин ряду.
 - стандартне відхилення.
 - дисперсія відповідно першій і другій частин ряду.
 (3.3)
3.2 Прості методи екстраполяції тенденції
Прості методи прогнозування на основі екстраполяції тенденції використовуються в управлінні виробництвом, оскільки мають ряд переваг.
До переваг простих методів слід віднести:
- достатньо простий апарат дослідження, що привертає до нього широке коло спеціалістів;
- можливість використання для виконання розрахунків портативних і нескладних обчислювальних засобів;
- швидкість виконання розрахунків в оперативному режимі;
- наявність відносно невеликого масиву інформації.
Нижче наведені прості методи екстраполяції тенденції на основі застосування аналітичних показників динамічних рядів, плинної середньої та індексу сезонності.
3.2.1. Екстраполяція на основі аналітичних показників рядів динаміки
Динамічним рядом (рядом динаміки) називається послідовність показників, які характеризують зміну явища (процесу, об'єкта) у часі. Окремі спостереження динамічного ряду називаються рівнями.
За часом, відображеним у динамічних рядах, вони поділяються на моментні й інтервальні.
В моментних рядах динаміки рівні виражають величину явища на відповідну дату, наприклад, залишки готової продукції на перше число кожного місяця, вартість основних фондів на початок, чи кінець року та ін.
В інтервальних рядах рівні виражають розміри явищ за проміжок часу, наприклад, випуск продукції за місяць, квартал, рік.
При побудові динамічних рядів слід в першу чергу приділити увагу на порівнянність рівнів ряду. Це значить, що усі рівні повинні виражатися в однакових одиницях виміру, розраховуватися по єдиній методології, включати єдине коло об'єктів.
Позначимо:
уl — початкове значення рівня динамічного ряду;
уп — кінцеве значення рівня динамічного ряду;
уi — умовно прийнятий (i-й) рівень динамічного ряду;
п — кількість елементів динамічного ряду.
Наведемо основні аналітичні показники динамічного ряду, які використовуються у прогнозуванні:
а) абсолютний приріст:
1) ланцюговий
 (3.4)
2) базисний
 (3.5)
б) середній абсолютний приріст
 (3.6)
в) коефіцієнт росту:
1) ланцюговий
 (3.7)
2) базисний
 (3.8)
3) за весь період
 (3.9)
г) коефіцієнт приросту
Knp= kp- 1; (3.10)
д) середній коефіцієнт росту
 (3.11)
е) середній коефіцієнт приросту
  (3.12)
ж) абсолютний розмір 1% приросту:
1) ланцюговий
 (3.13)
2) за весь період
 (3.14)
з) коефіцієнт випередження (відставання)
 (3.15)
Добуток ланцюгових коефіцієнтів росту дорівнює базисному коефіцієнту росту за весь період, тобто
 (3.16)
що може бути доведено таким чином.
Нехай маємо динамічний ряд за 5 років та рівень показника за базисний рік, що передує рокам п'ятирічки (у0). Добуток ланцюгових коефіцієнтів росту складе
тобто підтверджується залежність (3.16)
На основі наведених аналітичних показників, які широко застосовуються для оцінки динамічних рядів, можна вивести залежності, що можуть бути використані для побудови прогнозів:
 (3.17)
 (3.18)
 (3.19)
 (3.20)
де  — тут і далі таким чином позначаються прогнозні значення показника.
Т — величина горизонту прогнозу (Т = 1; 2; 3 ...)
Практичне застосування зазначених залежностей покажемо на прикладах.
Приклад 1.
В таблиці 3.1 наведені дані про середнє споживання кондитерських виробів на одну людину по області за рік. Використовуючи рівняння (3.18; 3.20), побудуємо прогноз споживання кондитерських виробів на наступну п'ятирічку.
Таблиця 3.1 – Середньорічне споживання кондитерських виробів по області
Номер року,
t
|
Споживання кондитерських виробів на одну людину в рік, кг.
|
Номер року,
t.
|
Споживання кондитерських виробів на одну людину в рік, кг.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
10,7
|
7
|
15,9
|
2
|
11,5
|
8
|
17,2
|
3
|
12,2
|
9
|
18,1
|
4
|
13,4
|
10
|
19,8
|
5
|
15,0
|
11
|
21,2
|
6
|
15,0
|
|
|
У табл. 3.1 наведені дані по двох п'ятирічках та базисному року.
Остаточно про якість прогнозу можна судити лише після того, як подія відбулася. Щоб оцінити надійність застосованого методу, використовуються так званий метод «прогноз екс-пост». Такий підхід застосовується і для інших кількісних методів прогнозування.
Використовуючи дані перших шести років — базисний рік та роки першої п'ятирічки, розрахуємо відповідно:
Середній абсолютний приріст
Середньорічний коефіцієнт росту
На основі залежності (3.18) складемо прогноз споживання кондитерських виробів на період .
 
 
Результати розрахунків зведені в таблицю та порівняні з фактичними даними.
Складемо прогноз споживання кондитерських виробів на основі формули (3.20)
 
 
Результати прогнозу порівняні із фактичними даними та оцінена якість прогнозу (таблиця 3.3)
Таблиця 3.2 – Оцінка якості прогнозу, складеного на основі середнього абсолютного приросту
№
|
Фактичне значення, кг
|
Прогнозоване значення, кг
|
Відхилення
|
Абсолютне (гр2-гр3), кг
|
Відносне (гр4:гр2)100%
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
1
|
15,9
|
15,9
|
0
|
0
|
2
|
17,2
|
16,8
|
0,4
|
2,3
|
3
|
18,1
|
17,7
|
0,4
|
2,2
|
4
|
19,8
|
18,6
|
1,2
|
6,1
|
5
|
21,2
|
19,5
|
1,7
|
8
|
|
Середнє значення
|
—
|
0,7
|
3,7
|
Таблиця 3.3 – Оцінка якості прогнозу, складеного на основі середньорічного коефіцієнта росту
№
|
Фактичне значення, кг
|
Прогнозоване значення, кг
|
Відхилення
|
Абсолютне
(гр2-гр3), кг
|
Відносне (гр4:гр2)100%
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
1
|
15,9
|
16
|
-0,1
|
-0,6
|
2
|
17,2
|
17,2
|
0
|
0
|
3
|
18,2
|
18,4
|
-0,3
|
-1,7
|
4
|
19,8
|
19,7
|
0,1
|
0,5
|
5
|
21,2
|
21
|
0,2
|
0,9
|
|
Середнє значення
|
—
|
0,1
|
0,7
|
Порівнюючи результати прогнозів, поданих в таблиці 3.2 та таблиці 3.3, можна зробити висновок про те, що використання середньорічного коефіцієнта росту забезпечує більш високу точність прогнозу, про що свідчать відхилення за всі роки і в цілому за п'ятиріччя.
Для складання прогнозу за межі наявних даних, тобто на перспективу, розрахуємо середньорічний коефіцієнт росту на основі другої п'ятирічки з використанням базисного періоду
Прогноз споживання кондитерських виробів на наступне п'ятиріччя складе:
 
 
Прогноз споживання кондитерських виробів складено з урахуванням зберігання тенденцій, які склалися в «передісторії».
Суттєвим недоліком показників середнього абсолютного приросту та середнього коефіцієнта росту є те, що значення їх цілком залежить тільки від крайніх рівнів динамічного ряду. Проміжні значення, які багато в чому, а іноді і в вирішальній мірі визначають тенденцію змін показників, по суті в розрахунках не беруть участі. Зазначений недолік багато в чому усувається шляхом аналітичного вирівнювання рядів динаміки, що буде розглянуто у наступному параграфі.
Приклад 2.
В управлінні бурякоцукровим виробництвом дуже важлива об'єктивна оцінка очікуваних урожайності та цукристості буряка, на основі яких визначається валовий збір буряка та обсяг виготовленого цукру. Першочергове значення мають короткострокові прогнози показників, що орієнтовані на поточний виробничий рік, який охоплює приблизно період вересень-січень.
В основу розрахунків середньої урожайності буряка та середньої цукристості заготовленого буряка покладені значення вказаних показників за станом на перше жовтня.
Для одержання названих показників у агропромисловому комплексі щодекадно робляться оцінки маси кореня (з 1 липня по 1 жовтня) та цукристості буряка (з 20 липня по 1 жовтня). Задача полягає у тому, щоб на основі одержаних даних, оцінити значення Цих показників за станом на 1 жовтня.
З множини методів, які рекомендовані для оцінки значення вказаних показників на 1 жовтня, найбільш простий та доступний — це використання значень приросту буряка за декади. Для розрахунку приросту використовуються середні значення маси кореня на кожну декаду, яка визначається за формулою:
 (3.21)
де  — середнє значення маси кореня на і-у декаду;
Pij— маса кореня в i-у декаду j-го року;
sj — площа посіву j-го року;
mj— густота насадження коренеплодів по стану на 20 серпня j-го року.
Прирости розраховуються за формулою (3.4), тобто:
В таблиці 3.4 наведені дані про абсолютні прирости маси кореня, які розраховані на основі середніх значень маси кореня за 10 років.
Таблиця 3.4 – Абсолютні прирости маси кореня (г) по Волинському облбурякоцукропромі
|
|
|
39
|
46
|
54
|
|
|
|
55
|
50
|
42
|
|
|
|
33
|
24
|
14
|
Отримавши дані про масу кореня станом на 1.07, можна, використовуючи показники таблиці 3.4, визначити очікуване значення названого показника станом на 1.10
 (3.22)
Якщо поступає інформація за наступні декади, то розрахунки виконуються таким чином:
і т.д.
Припустимо, за станом на 1.07 поточного року маса кореня становила 25г. Тоді очікувана маса кореня за станом на 1.10 становить
В таблиці 3.5 наведені результати послідовних прогнозів на основі застосування абсолютних приростів.
Таблиця 3.5 – Результати прогнозу маси кореня по Волинському облбурякоцукропромі
За станом на :
|
Маса кореня, г.
|
1.07
|
10.07
|
20.07
|
1.08
|
10.08
|
20.08
|
1.09
|
10.09
|
20.09
|
1. 10
|
1.07
|
25
|
64
|
110
|
164
|
219
|
269
|
311
|
344
|
368
|
382
|
10.07
|
25
|
64
|
110
|
164
|
219
|
269
|
311
|
344
|
368
|
382
|
20.07
|
25
|
64
|
111
|
165
|
220
|
269
|
312
|
345
|
369
|
382
|
1.08
|
25
|
64
|
111
|
161
|
216
|
266
|
308
|
341
|
365
|
379
|
10.08
|
25
|
64
|
111
|
161
|
212
|
262
|
305
|
337
|
361
|
375
|
20.08
|
25
|
64
|
111
|
161
|
212
|
257
|
300
|
332
|
356
|
370
|
1.09
|
25
|
64
|
111
|
161
|
212
|
257
|
297
|
330
|
354
|
367
|
10.09
|
25
|
64
|
111
|
161
|
212
|
257
|
297
|
336
|
360
|
373
|
20.09
|
25
|
64
|
111
|
161
|
212
|
257
|
297
|
336
|
363
|
376
|
1.10
|
25
|
64
|
111
|
161
|
212
|
257
|
297
|
336
|
363
|
376
|
Примітка: Над рискою таблиці 3.5 подані прогнозовані значення, під рискою — фактичні.
Результати прогнозу достатньо точні. Враховуючи, що фактичне значення маси кореня за станом на 1.10 дорівнює 376 г, то розходження по той, чи інший бік становило від 376 - 382 = -6 г, або 1,6%, до 376 - 367 = 9 г, або 2,4%.
За таким ж самим методом прогнозується цукристість буряка.
Слід відмітити, що прогнозування найважливіших показників буряко-цукрового виробництва було реалізовано на ЕОМ і функціонувало у реальному режимі часу для Волинського облбурякоцукропрому і Укрбурякоцукропрому протягом тривалого часу.
3.2.2. Екстраполяція на основі плинної середньої
Метод плинної середньої базується на використанні залежності:
 (3.23)
де п — кількість років «передісторії».
Коефіцієнт i розраховується за формулою:
 (3.24)
де і — число, яке означає послідовний натуральний ряд «передісторії», починаючи з останнього;
— визначається за таблицею, поданій нижче:
N
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
0,500
|
0,400
|
0,333
|
0,286
|
0,250
|
0,222
|
Визначимо значення для п'ятирічки.
Згідно з даними наведеної вище таблиці при п=5, =0,333.
Звідси:
 
 
Якщо підставити розраховані значення у формулу (3.23), отримаємо:
Особливістю методу плинної середньої є те, що рівень показників, який знаходиться ближче до прогнозованого періоду, чинить більший вплив на значення прогнозованих показників, порівняно з віддаленими періодами. Досягається це завдяки коефіцієнту.
Прогнозні значення показників розраховуються наступним чином:
На основі даних другої п'ятирічки, включаючи також базисний період (таблиця 3.1) складемо прогноз споживання кондитерських виробів на основі методу плинної середньої. Розрахуємо абсолютні прирости:
  
 
Виходячи з наведених вище залежностей
Порівняємо розрахунки прогнозу споживання кондитерських виробів на одну людину по області, що розраховані на основі середньорічного коефіцієнту росту і плинної середньої (таблиця 3.6).
Таблиця 3.6 — Прогноз споживання кондитерських виробів на наступну п'ятирічку, розрахований двома методами, кг.
Роки
|
Результати прогнозу, що розраховані на основі:
|
середнього коефіцієнту росту, кг
|
плинної середньої, кг
|
1
|
22,7
|
22,5
|
2
|
24,3
|
23,8
|
3
|
26,0
|
24,9
|
4
|
28,0
|
25,8
|
5
|
29,9
|
26,3
|
Дані таблиці 3.6 свідчать про те, що прогноз, складений на основі середньорічних коефіцієнтів росту, за результатами дещо випереджає прогноз, складений за методом плинної середньої.
Який прогноз виявиться точнішим, зробити висновки заздалегідь важко.
Разом з тим перевага методу плинної середньої в тому, що на значення прогнозованих показників впливають в тій чи іншій мірі усі дані «передісторії», в той час, коли значення середньорічного коефіцієнта росту визначається тільки крайніми величинами динамічного ряду.
Наявність альтернативних варіантів прогнозу дозволяє спеціалістам на основі досвіду, знання, інтуїції відібрати найбільш прийнятний.
3.2.3. Екстраполяція на основі індексу сезонності
В процесі господарської діяльності окремі галузі промисловості, торгівля, побут стикаються з циклічними коливаннями, які викликані сезонним характером виробництва та споживання товарів і послуг.
Сезонні коливання — це більш чи менш сталі внутрішньорічні коливання в ряді динаміки, що обумовлені специфічними умовами виробництва і споживання даного товару чи послуг. Для організації виробництва і реалізації продукції сезонних виробництв надзвичайно важливо вивчити тенденцію сезонних коливань, що склалися, і розробити прогноз на найближчу перспективу, головним чином, на наступний рік.
Для вивчення сезонних коливань використовуються спеціальні показники, які називаються індексами сезонності, а сукупність їх утворює сезонну хвилю.
За даними, які характеризують обсяг реалізації продукції хлібозаводами об'єднання (таблиця 3.7), розрахуємо індекси сезонності, побудуємо сезонну хвилю і прогноз обсягу реалізації продукції на окремі місяці наступного року.
Індекс сезонності визначається за формулою:
   (3.25)
Таблиця 3.7 – Обсяг реалізації хлібобулочних виробів (тис.т)
Рік
місяць
|
1-й
рік
|
2-й
рік
|
3-й
рік
|
4-й
рік
|
Разом за 4 роки (2+3 + 4+5)
|
В середньому за 4 роки гр6/4, 
|
Індекс сезонності
|
Прогноз обсягу реалізації продукції на наступний рік
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
01
|
5,3
|
5,4
|
5,5
|
6,4
|
22,6
|
5,65
|
74,6
|
6,1
|
02
|
5,4
|
5,6
|
5,7
|
6,7
|
23,4
|
5,85
|
77,2
|
6,3
|
03
|
6,2
|
6
|
5,9
|
6,9
|
25,0
|
6,25
|
82,5
|
6,7
|
04
|
6,4
|
6,6
|
6,7
|
7,3
|
27,0
|
6,75
|
89,1
|
7,3
|
05
|
7,0
|
7,2
|
7,5
|
7,7
|
29,4
|
7,35
|
97,0
|
7,9
|
06
|
7,5
|
7,7
|
8,0
|
8,2
|
31,4
|
7,85
|
103,6
|
8,5
|
07
|
8,0
|
8,1
|
8,5
|
8,7
|
33,3
|
8,33
|
110,0
|
9,0
|
08
|
8,5
|
8,6
|
8,8
|
9,1
|
35,0
|
8,75
|
115,5
|
9,4
|
09
|
8,9
|
9,0
|
9,2
|
9,5
|
36,6
|
9,15
|
180,8
|
9,9
|
10
|
8,3
|
8,5
|
9,0
|
9,1
|
34,9
|
8,72
|
115,1
|
9,4
|
11
|
8,0
|
8,3
|
8,6
|
8,4
|
33,3
|
8,33
|
110,0
|
9,0
|
12
|
7,5
|
7,9
|
8,3
|
8
|
31,7
|
7,93
|
104,7
|
8,5
|
Разом
|
87,0
|
88,9
|
91,7
|
96,0
|
363,6
|
-
|
1200,0
|
98,0
|
В середньому
|
|
|
|
|
|
7,575
|
100,0
|
|
де  —середнє значення показника за прийнятий проміжок часу (у нашому прикладі середня величина за кожний місяць, гр.7);
 —середнє значення показника за весь період;
к —кількість років (к = 1, 2, 3, 4);
n — кількість місяців (п = 1, 2, 3, ..., 12)
Розраховані для даних таблиці 3.7 індекси сезонності подані у графі 8, а їх ряд створює сезонну хвилю.
Індекс сезонності для складання прогнозу використовується таким чином.
Припустимо, що на наступний рік об'єднання передбачає реалізувати 98 тис. т. хлібобулочних виробів. Для того, щоб сформувати помісячний план реалізації продукції можна використати наступну залежність:
 (3.26)
де  — очікуваний місячний об'єм реалізації продукції (i = 1, 2, 12);
 — очікуваний річний обсяг реалізації продукції;
іс— індекс сезонності;
п — кількість періодів (п = 12).
Результати розрахунків наведені в графі 9 таблиці 3.7. Застосування індексу не обмежується тільки дослідженням сезонного характеру виробництва і споживання продукції. В декількох галузях промисловості коливання виробництва продукції пов'язані з особливостями технології, характером сировини та іншими факторами. Так, у цукровій промисловості встановлена добова норма переробки цукрового буряка на початку виробничого сезону і в кінці його, як правило, не виконується, а в середині виробництва є умови для перевиконання. Це пов'язано, головним чином, з технологічними властивостями сировини — цукрового буряка.
Звідси важлива задача визначення таких добових норм переробки цукрового буряка по декадах на наступний сезон, щоб в середньому була забезпечена норма переробки не менше 100%. Норма переробки в цілому на сезон визначається як добуток добової потужності на встановлений коефіцієнт використання потужності. В таблиці 3.8 наведені дані про процент виконання добової норми переробки буряка (відношення фактичної добової переробки буряка до встановленої норми на сезон) і порядок розрахунку прогнозованого (планового) завантаження цукрового заводу.
Позначимо:
N — добова потужність заводу;
Рт — добова продуктивність заводу, яка встановлена на друге півріччя.
 — розрахункове значення виконання плану добової переробки буряка в середньому за друге півріччя, яке визначається за формулою:
 (3.26)
де  — обсяг переробленого буряка в i-ї декаді j-го року.
Таблиця 3.8 – Прогноз добової переробки цукрового буряка по декадах на наступний сезон
Декади
|
Виконання плану добової переробки цукрового буряка, %
|
Добова продуктивність, т
|
Фактично в середньому за п’ятиріччя, 
|
Вирівняне по рівнянню тренда*,
|
Індекс сезонності
|
При нормі переробки буряка, що склалася
|
При прогнозованому завантаженні (гр4-p0):100
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
10,09
|
76,02
|
79,76
|
87,5
|
836,3
|
962,5
|
20,09
|
96,2
|
91,95
|
100,88
|
1058,2
|
1109,7
|
01,1
|
99,34
|
96,8
|
106,2
|
1092,2
|
1168,2
|
10,1
|
102,96
|
98,17
|
107,7
|
1132,6
|
1184,8
|
20,1
|
96,61
|
97,55
|
107,24
|
1062,7
|
1177,8
|
01,11
|
99,46
|
95,69
|
106,8
|
1094,0
|
1154,8
|
10,11
|
90,33
|
93,03
|
102,06
|
993,0
|
1122,6
|
20,11
|
82,67
|
89,85
|
98,57
|
909,3
|
1084,3
|
01,12
|
89,83
|
86,35
|
94,73
|
988,2
|
1042,1
|
10,12
|
78,38
|
82,66
|
90,69
|
862,2
|
997,5
|
20,12
|
64,42
|
78,88
|
85,54
|
686,6
|
951,9
|
01,01
|
97,43
|
75,07
|
82,36
|
1071,7
|
905,9
|
2-півріччя
|
91,63
|
91,15
|
100,0
|
1007,9
|
1100,0
|
В таблиці 3.8 подана в підсумковому рядку графи 3. Початкові дані для розрахунку граф 5 і 6 є: добова потужність — N = 1220т.;
Установлений коефіцієнт використання потужності на друге півріччя — К = 0,92.
Отже, планова добова продуктивність на друге півріччя складає Р0= KN = 0,92 - 1220 = 1100 т.
Дані таблиці 3.8 свідчать про те, що норма переробки буряка заводом не виконувалась. В графі 6 наведені розрахункові, з використанням індексу сезонності, значення добової переробки цукрового буряка по декадах, які дозволяють забезпечити ритмічну роботу заводу і виконання норми загрузки заводу в цілому на друге півріччя.
|