|
Скачати 237.89 Kb.
|
§2. Скалярний добуток двох векторів. 1. Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток векторів та позначається одним зі символів , так що . Якщо , або , то за означенням. 2. Властивості скалярного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості скалярного добутку. . Скалярне множення комутативне: . Властивість випливає з означення скалярного добутку. . . Рівність отримується з означень скалярного добутку та проекції вектора на вісь: . . Постійний множник можна виносити за знак скалярного добутку: . Справді, за властивістю , . Оскільки, на підставі властивості , , то . Звідси, використавши рівність (3), дістаємо . . Скалярне множення дистрибутивне: . Виберемо вектор за вісь , запишемо рівність (2) для векторів , і помножимо обидві частини рівності на : . Звідси, на підставі властивості 20, . 50. Два ненульових вектори , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулеві. Властивість випливає з означення скалярного добутку. Зокрема, . Скалярний добуток позначають і називають скалярним квадратом вектора . 60. . Рівність випливає з означення скалярного добутку. Зокрема, . 70. Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів, тобто якщо , , то . Перемножимо відповідні лінійні комбінації і врахуємо, що , : 80. Якщо , то . Справді, використовуючи властивості 60, 70, дістанемо . Нехай вектор утворює кути , , з базисними векторами , , відповідно. Тоді , , називаються напрямними косинусами вектора . 90. Якщо , , - напрямні косинуси деякого вектора, то . Нехай , , - напрямні косинуси вектора . На підставі властивості 70 Звідси, за означенням скалярного добутку, (5) . Піднесемо обидві частини кожної з рівностей (5) до квадрата і результати додамо: . Звідси, враховуючи властивість 80, . 100. Вектор має одиничну довжину тоді і лише тоді, коли його координатами в базисі , , є його напрямні косинуси. Справді, якщо вектор має одиничну довжину, , то з рівностей (5) маємо , , . Навпаки, якщо , , , то за властивістю 90 дістаємо, що . Зазначимо, що вектор одиничної довжини іноді називають ортом. §3. Векторний добуток двох векторів 1. Означення. Впорядкова трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого видно проти годинникової стрілки. У супротивному трійка називається лівою. Нехай , - два ненульових вектори, які утворюють кут між собою. Векторним добутком векторів та називається вектор , для якого справджуються такі умови: 1) вектор перпендикулярний як до вектора , так і до вектора ; 2) впорядкова трійка векторів , , є правою трійкою; 3) . Якщо , або , то векторний добуток векторів та дорівнює нулеві за означенням. Векторний добуток позначається , або. Домовимось надалі позначати символом паралелограм, побудований на векторах , як на сторонах, а площу цього паралелограма будемо позначати символом. Відзначимо, що модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма : . Безпосередньо з означення векторного добутку випливає, що , , . 2. Властивості векторного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості векторного добутку. 10. Векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулеві тоді і лише тоді, коли вектори колінеарні. Справді, якщо вектори та колінеарні, то , або . В обидвох випадках . Звідси, . Нехай тепер . За означенням модуля векторного добутку, . Оскільки , , то , тобто вектори та колінеарні. 20. Векторне множення антикомутативне: . Якщо , або , або , то рівність справджується очевидним чином. Нехай тепер та – ненульові неколінеарні вектори. Для доведення властивості досить показати, що вектори та рівні за модулем, колінеарні та протилежно напрямлені. Рівність модулів випливає з означення модуля векторного добутку: . Покажемо, що вектори та колінеарні. Справді, обидва вектори та перпендикулярні як до вектора , так і до вектора , отже, вони перпендикулярні до площини , яка проходить через вектори та . Звідси, та паралельні до будь-якої прямої, перпендикулярної до площини , тобто . Покажемо тепер, що вектори та протилежно напрямлені. Для цього зауважимо, що обидві трійки векторів , , та , , , згідно з означенням векторного добутку, повинні бути правими. З рисунка видно, що це можливо лише тоді, коли вектори та протилежно напрямлені. 30. Векторне множення дистрибутивне: . Для доведення властивості нам буде потрібна допоміжна лема. Лема. Щоб знайти векторний добуток , необхідно: 1) спроектувати перший співмножник на площину, перпендикулярну до другого співмножника ; 2) отриманий вектор повернути в цій площині на прямий кут так, щоб цей поворот з кінця другого співмножника було видно за годинниковою стрілкою; 3) отриманий вектор помножити на ; результат множення – вектор – збігається з векторним добутком . Доведення. Вектори і збігаються за довжиною: . Вектор перпендикулярний до площини паралелограма за побудовою, отже, перпендикулярний як до вектора , так і до вектора . Крім того, вектори , , утворюють праву трійку за побудовою. Отже, для вектора справджуються всі три умови для векторного добутку , тому . Лему доведено. Доведемо тепер властивість. Через початок вектора проведемо площину , перпендикулярну до вектора , і спроектуємо трикутник , утворений векторами , , , на площину . Отриманий трикутник повернемо в площині на прямий кут за годинниковою стрілкою; при цьому трикутник перейде в трикутник . В площині здійснимо розтяг у разів відносно точки . Тоді трикутник перейде у трикутник , подібний до трикутника . Згідно з лемою, , , . Зважаючи на те, що , дістаємо . Наслідок. . Справді, застосовуючи до векторного добутку послідовно властивості 20, 30, 20, дістанемо . 40. Постійний множник можна виносити за знак векторного добутку: . Покажемо спочатку, що вектори в обох частинах рівності мають однакову довжину: . Тепер покажемо, що їх напрями збігаються. Якщо , то вектори та співнапрямлені, тому і також співнапрямлені, а отже, і вектори та співнапрямлені. Якщо ж , то та протилежно напрямлені, тому протилежно напрямлені і вектори та , але вектори і співнапрямлені. 50. Якщо , , то векторний добуток можна обчислити як визначник третього порядку: . Справді, використовуючи вже доведені властивості, дістаємо: . |
ПАСПОРТ ЛІНІЙНО-КАБЕЛЬНИХ СПОРУД |
Незалежні кандидати в мери спільно протидіятимуть повторенню ситуації в Ізмаїлі Незалежні потенційні кандидати в мери, які в липні цього року створили Асоціацію регіональних лідерів України задля захисту своїх... |
3 суверенні держави, залежні країни, мультинаціональні… З іменем якого укр вченого пов’язане оправ теор засад геогр термінознавства? 2 |
Уроку Фронтальна бесіда з класом за контрольними запитаннями №18— 20 з використанням схеми «Вектори в просторі» (див с. 233) |
Тематична контрольна робота №4 по темі: «Вектори на площині» У завданнях 1-6 виберіть одну правильну відповідь і позначте її в бланку відповідей |
Амазонка (ріка) Це сама волога область Землі; середній рівень опадів — 2,54 м у рік. Незалежні дослідження показали, що з 1985 відбувається інтенсивна... |
Навчально-виховний комплекс Асканія-Нова Урок- гра за темою «Вектори на площині» Обладнання : ноутбук, проектор, презентація, таблички з емблемами команд, картки із завданнями, кольорова крейда |
Хто може в розрахунках уважати Землю матеріальною точкою? На рисунках зображено вектори миттєвої швидкості та прискорення тіла. У якому з випадків тіло може рівномірно рухатися по колу? |
РЕЗОЛЮЦІЯ Україні, адже вони забезпечують зайнятість та доходи значного числа громадян. Вони формують відчутну частину доходів місцевих бюджетів.... |
Уроку Мета уроку: формування знань учнів про вектори в просторі, дії над векторами, заданими координатами, Формування вмінь застосовувати... |