3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори
|
|
Скачати 237.89 Kb.
|
| §2. Скалярний добуток двох векторів. 1. Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток векторів  та  позначається одним зі символів  , так що .Якщо  , або  , то  за означенням.2. Властивості скалярного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості скалярного добутку.  . Скалярне множення комутативне: .Властивість випливає з означення скалярного добутку.  .  .Рівність отримується з означень скалярного добутку та проекції вектора на вісь:  . . Постійний множник можна виносити за знак скалярного добутку: .Справді, за властивістю , .Оскільки, на підставі властивості , ,то  .Звідси, використавши рівність (3), дістаємо  . . Скалярне множення дистрибутивне: .Виберемо вектор  за вісь  , запишемо рівність (2) для векторів  ,  і помножимо обидві частини рівності на  : .Звідси, на підставі властивості 20, .50. Два ненульових вектори , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулеві.Властивість випливає з означення скалярного добутку. Зокрема,  .Скалярний добуток  позначають  і називають скалярним квадратом вектора .60.  .Рівність випливає з означення скалярного добутку. Зокрема,  .70. Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів, тобто якщо  ,  , то  .Перемножимо відповідні лінійні комбінації і врахуємо, що , : 80. Якщо  , то .Справді, використовуючи властивості 60, 70, дістанемо  .Нехай вектор утворює кути  ,  ,  з базисними векторами  ,  ,  відповідно. Тоді  ,  ,  називаються напрямними косинусами вектора .90. Якщо , , - напрямні косинуси деякого вектора, то .Нехай , , - напрямні косинуси вектора . На підставі властивості 70   Звідси, за означенням скалярного добутку,   (5) .Піднесемо обидві частини кожної з рівностей (5) до квадрата і результати додамо:  .Звідси, враховуючи властивість 80, .100. Вектор має одиничну довжину тоді і лише тоді, коли його координатами в базисі , , є його напрямні косинуси.Справді, якщо вектор має одиничну довжину,  , то з рівностей (5) маємо  ,  ,  .Навпаки, якщо , , , то за властивістю 90 дістаємо, що .Зазначимо, що вектор одиничної довжини іноді називають ортом. §3. Векторний добуток двох векторів 1. Означення. Впорядкова трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого видно проти годинникової стрілки. У супротивному трійка називається лівою. Нехай , - два ненульових вектори, які утворюють кут  між собою. Векторним добутком векторів та називається вектор , для якого справджуються такі умови:1) вектор перпендикулярний як до вектора , так і до вектора ;2) впорядкова трійка векторів , , є правою трійкою;3)  .Якщо  , або  , то векторний добуток векторів та дорівнює нулеві за означенням.Векторний добуток позначається  , або . Домовимось надалі позначати символом  паралелограм, побудований на векторах , як на сторонах, а площу цього паралелограма будемо позначати символом .Відзначимо, що модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма : .Безпосередньо з означення векторного добутку випливає, що  ,  ,  .2. Властивості векторного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості векторного добутку. 10. Векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулеві тоді і лише тоді, коли вектори колінеарні. Справді, якщо вектори та колінеарні, то  , або  . В обидвох випадках  . Звідси,  .Нехай тепер . За означенням модуля векторного добутку, . Оскільки  ,  , то  , тобто вектори та колінеарні.20. Векторне множення антикомутативне:  .Якщо , або , або  , то рівність справджується очевидним чином.Нехай тепер та – ненульові неколінеарні вектори. Для доведення властивості досить показати, що вектори та  рівні за модулем, колінеарні та протилежно напрямлені.Рівність модулів випливає з означення модуля векторного добутку:   .Покажемо, що вектори та колінеарні. Справді, обидва вектори та перпендикулярні як до вектора , так і до вектора , отже, вони перпендикулярні до площини  , яка проходить через вектори та . Звідси, та паралельні до будь-якої прямої, перпендикулярної до площини , тобто  .Покажемо тепер, що вектори та протилежно напрямлені. Для цього зауважимо, що обидві трійки векторів , , та , , , згідно з означенням векторного добутку, повинні бути правими. З рисунка видно, що це можливо лише тоді, коли вектори та протилежно напрямлені.30. Векторне множення дистрибутивне:  .Для доведення властивості нам буде потрібна допоміжна лема. Лема. Щоб знайти векторний добуток  , необхідно:1) спроектувати перший співмножник  на площину, перпендикулярну до другого співмножника  ;2) отриманий вектор  повернути в цій площині на прямий кут так, щоб цей поворот з кінця другого співмножника було видно за годинниковою стрілкою;3) отриманий вектор  помножити на  ; результат множення – вектор  – збігається з векторним добутком .Доведення. Вектори  і збігаються за довжиною:  .Вектор  перпендикулярний до площини паралелограма  за побудовою, отже, перпендикулярний як до вектора , так і до вектора . Крім того, вектори , , утворюють праву трійку за побудовою. Отже, для вектора справджуються всі три умови для векторного добутку , тому  . Лему доведено.Доведемо тепер властивість. Через початок вектора проведемо площину , перпендикулярну до вектора , і спроектуємо трикутник  , утворений векторами  ,  ,  , на площину . Отриманий трикутник  повернемо в площині на прямий кут за годинниковою стрілкою; при цьому трикутник перейде в трикутник  . В площині здійснимо розтяг у  разів відносно точки  . Тоді трикутник перейде у трикутник  , подібний до трикутника . Згідно з лемою, ,  ,  .Зважаючи на те, що  , дістаємо . Наслідок.  .Справді, застосовуючи до векторного добутку  послідовно властивості 20, 30, 20, дістанемо .40. Постійний множник можна виносити за знак векторного добутку:  .Покажемо спочатку, що вектори в обох частинах рівності мають однакову довжину:  .Тепер покажемо, що їх напрями збігаються. Якщо  , то вектори  та співнапрямлені, тому  і також співнапрямлені, а отже, і вектори та  співнапрямлені. Якщо ж  , то та протилежно напрямлені, тому протилежно напрямлені і вектори та , але вектори і співнапрямлені.50. Якщо  ,  , то векторний добуток можна обчислити як визначник третього порядку: .Справді, використовуючи вже доведені властивості, дістаємо:      . |
Схожі:
|
ПАСПОРТ ЛІНІЙНО-КАБЕЛЬНИХ СПОРУД |
Незалежні кандидати в мери спільно протидіятимуть повторенню ситуації в Ізмаїлі Незалежні потенційні кандидати в мери, які в липні цього року створили Асоціацію регіональних лідерів України задля захисту своїх... |
|
3 суверенні держави, залежні країни, мультинаціональні… З іменем якого укр вченого пов’язане оправ теор засад геогр термінознавства? 2 |
Уроку Фронтальна бесіда з класом за контрольними запитаннями №18— 20 з використанням схеми «Вектори в просторі» (див с. 233) |
|
Тематична контрольна робота №4 по темі: «Вектори на площині» У завданнях 1-6 виберіть одну правильну відповідь і позначте її в бланку відповідей |
Амазонка (ріка) Це сама волога область Землі; середній рівень опадів — 2,54 м у рік. Незалежні дослідження показали, що з 1985 відбувається інтенсивна... |
|
Навчально-виховний комплекс Асканія-Нова Урок- гра за темою «Вектори на площині» Обладнання : ноутбук, проектор, презентація, таблички з емблемами команд, картки із завданнями, кольорова крейда |
Хто може в розрахунках уважати Землю матеріальною точкою? На рисунках зображено вектори миттєвої швидкості та прискорення тіла. У якому з випадків тіло може рівномірно рухатися по колу? |
|
РЕЗОЛЮЦІЯ Україні, адже вони забезпечують зайнятість та доходи значного числа громадян. Вони формують відчутну частину доходів місцевих бюджетів.... |
Уроку Мета уроку: формування знань учнів про вектори в просторі, дії над векторами, заданими координатами, Формування вмінь застосовувати... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua