3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори


Скачати 237.89 Kb.
Назва 3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори
Сторінка 3/4
Дата 08.04.2013
Розмір 237.89 Kb.
Тип Документи
bibl.com.ua > Астрономія > Документи
1   2   3   4
§2. Скалярний добуток двох векторів.

1. Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів та позначається одним зі символів , так що

.

Якщо , або , то за означенням.
2. Властивості скалярного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості скалярного добутку.

. Скалярне множення комутативне:

.

Властивість випливає з означення скалярного добутку.

. .

Рівність отримується з означень скалярного добутку та проекції вектора на вісь:

.

. Постійний множник можна виносити за знак скалярного добутку:

.

Справді, за властивістю ,

.

Оскільки, на підставі властивості ,

,

то

.

Звідси, використавши рівність (3), дістаємо

.
. Скалярне множення дистрибутивне:

.

Виберемо вектор за вісь , запишемо рівність (2) для векторів , і помножимо обидві частини рівності на :

.

Звідси, на підставі властивості 20,

.

50. Два ненульових вектори , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулеві.

Властивість випливає з означення скалярного добутку. Зокрема, .

Скалярний добуток позначають і називають скалярним квадратом вектора .

60. .

Рівність випливає з означення скалярного добутку. Зокрема, .

70. Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів, тобто якщо , , то .

Перемножимо відповідні лінійні комбінації і врахуємо, що , :



80. Якщо , то

.

Справді, використовуючи властивості 60, 70, дістанемо

.

Нехай вектор утворює кути , , з базисними векторами , , відповідно. Тоді , , називаються напрямними косинусами вектора .

90. Якщо , , - напрямні косинуси деякого вектора, то

.

Нехай , , - напрямні косинуси вектора . На підставі властивості 70







Звідси, за означенням скалярного добутку,



(5)

.

Піднесемо обидві частини кожної з рівностей (5) до квадрата і результати додамо:

.

Звідси, враховуючи властивість 80,

.

100. Вектор має одиничну довжину тоді і лише тоді, коли його координатами в базисі , , є його напрямні косинуси.

Справді, якщо вектор має одиничну довжину, , то з рівностей (5) маємо , , .

Навпаки, якщо , , , то за властивістю 90 дістаємо, що .

Зазначимо, що вектор одиничної довжини іноді називають ортом.

§3. Векторний добуток двох векторів
1. Означення. Впорядкова трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого видно проти годинникової стрілки. У супротивному трійка називається лівою.

Нехай , - два ненульових вектори, які утворюють кут між собою. Векторним добутком векторів та називається вектор , для якого справджуються такі умови:

1) вектор перпендикулярний як до вектора , так і до вектора ;

2) впорядкова трійка векторів , , є правою трійкою;

3) .

Якщо , або , то векторний добуток векторів та дорівнює нулеві за означенням.

Векторний добуток позначається , або.

Домовимось надалі позначати символом паралелограм, побудований на векторах , як на сторонах, а площу цього паралелограма будемо позначати символом.

Відзначимо, що модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма :

.

Безпосередньо з означення векторного добутку випливає, що , , .

2. Властивості векторного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості векторного добутку.

10. Векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулеві тоді і лише тоді, коли вектори колінеарні.

Справді, якщо вектори та колінеарні, то , або . В обидвох випадках . Звідси, .

Нехай тепер . За означенням модуля векторного добутку, . Оскільки , , то , тобто вектори та колінеарні.

20. Векторне множення антикомутативне:

.

Якщо , або , або , то рівність справджується очевидним чином.

Нехай тепер та – ненульові неколінеарні вектори. Для доведення властивості досить показати, що вектори та рівні за модулем, колінеарні та протилежно напрямлені.

Рівність модулів випливає з означення модуля векторного добутку:

.

Покажемо, що вектори та колінеарні. Справді, обидва вектори та перпендикулярні як до вектора , так і до вектора , отже, вони перпендикулярні до площини , яка проходить через вектори та . Звідси, та паралельні до будь-якої прямої, перпендикулярної до площини , тобто .

Покажемо тепер, що вектори та протилежно напрямлені. Для цього зауважимо, що обидві трійки векторів , , та , , , згідно з означенням векторного добутку, повинні бути правими. З рисунка видно, що це можливо лише тоді, коли вектори та протилежно напрямлені.

30. Векторне множення дистрибутивне:

.

Для доведення властивості нам буде потрібна допоміжна лема.

Лема. Щоб знайти векторний добуток , необхідно:

1) спроектувати перший співмножник на площину, перпендикулярну до другого співмножника ;

2) отриманий вектор повернути в цій площині на прямий кут так, щоб цей поворот з кінця другого співмножника було видно за годинниковою стрілкою;

3) отриманий вектор помножити на ; результат множення – вектор – збігається з векторним добутком .

Доведення. Вектори і збігаються за довжиною:

.

Вектор перпендикулярний до площини паралелограма за побудовою, отже, перпендикулярний як до вектора , так і до вектора . Крім того, вектори , , утворюють праву трійку за побудовою. Отже, для вектора справджуються всі три умови для векторного добутку , тому . Лему доведено.

Доведемо тепер властивість. Через початок вектора проведемо площину , перпендикулярну до вектора , і спроектуємо трикутник , утворений векторами , , , на площину . Отриманий трикутник повернемо в площині на прямий кут за годинниковою стрілкою; при цьому трикутник перейде в трикутник . В площині здійснимо розтяг у разів відносно точки . Тоді трикутник перейде у трикутник , подібний до трикутника . Згідно з лемою,

, , .

Зважаючи на те, що , дістаємо

.



Наслідок. .

Справді, застосовуючи до векторного добутку послідовно властивості 20, 30, 20, дістанемо

.

40. Постійний множник можна виносити за знак векторного добутку:

.

Покажемо спочатку, що вектори в обох частинах рівності мають однакову довжину:

.

Тепер покажемо, що їх напрями збігаються. Якщо , то вектори та співнапрямлені, тому і також співнапрямлені, а отже, і вектори та співнапрямлені. Якщо ж , то та протилежно напрямлені, тому протилежно напрямлені і вектори та , але вектори і співнапрямлені.

50. Якщо , , то векторний добуток можна обчислити як визначник третього порядку:

.

Справді, використовуючи вже доведені властивості, дістаємо:









.

1   2   3   4

Схожі:

ПАСПОРТ ЛІНІЙНО-КАБЕЛЬНИХ СПОРУД

Незалежні кандидати в мери спільно протидіятимуть повторенню ситуації в Ізмаїлі
Незалежні потенційні кандидати в мери, які в липні цього року створили Асоціацію регіональних лідерів України задля захисту своїх...
3 суверенні держави, залежні країни, мультинаціональні…
З іменем якого укр вченого пов’язане оправ теор засад геогр термінознавства? 2
Уроку
Фронтальна бесіда з класом за контрольними запитаннями №18— 20 з використанням схеми «Вектори в просторі» (див с. 233)
Тематична контрольна робота №4 по темі: «Вектори на площині»
У завданнях 1-6 виберіть одну правильну відповідь і позначте її в бланку відповідей
Амазонка (ріка)
Це сама волога область Землі; середній рівень опадів — 2,54 м у рік. Незалежні дослідження показали, що з 1985 відбувається інтенсивна...
Навчально-виховний комплекс Асканія-Нова Урок- гра за темою «Вектори на площині»
Обладнання : ноутбук, проектор, презентація, таблички з емблемами команд, картки із завданнями, кольорова крейда
Хто може в розрахунках уважати Землю матеріальною точкою?
На рисунках зображено вектори миттєвої швидкості та прискорення тіла. У якому з випадків тіло може рівномірно рухатися по колу?
РЕЗОЛЮЦІЯ
Україні, адже вони забезпечують зайнятість та доходи значного числа громадян. Вони формують відчутну частину доходів місцевих бюджетів....
Уроку
Мета уроку: формування знань учнів про вектори в просторі, дії над векторами, заданими координатами, Формування вмінь застосовувати...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка