Тема: «Декартові координати на площині»

R=OA, A(x;y) x²+y²=R

R²=(x-a)²+(y-b)² (a=b=0)




5. Рівняння прямої



ax+by+c=0

6. 
   Умови перетину кола і прямої
   

Основні задачі на координатній площині

1. 
   Відшукання координат середини відрізка за координатами його кінців;
   

2. 
   Визначити відстань між двома точками за їх координатами; d²=(х2-х1)² +(y2-y1)²
   
3. 
   Складання рівняння кола за координатами його центру та радіусом; R²=(x-a)²+(y-b)²
   
4. 
   Перетин прямої з колом (d>R => не перетинаються; d=R => дотикаються; d дві точки перетину).
   

Історичний матеріал
Рене Декарт

Рене Декарт народився у Франції 31 березня 1596 року. Він отримав від батька невеликий спадок, який дозволив йому присвятити своє життя науці та мандрівкам. З 1604 по 1612 роки Декарт навчався в єзуїтському колежі, де отримав добру гуманітарну та математичну освіту. Він проявляв великі здібності до філософії, фізики та психології. Через слабке здоров'я директор коледжу звільнив Декарта від відвідування ранкових богослужінь і дозволив йому залишатися у ліжку до полудня — звичка, яка збереглася у Декарта на все життя. Саме ці тихі ранкові години були для нього особливо живодайними у творчому відношенні.

Після колежу Декарт навчався в університеті Пуатьє, отримавши в 1616 диплом бакалавра і ліцензію правника, виконуючи волю батька, який бажав, щоб син став юристом.

Після закінчення освіти Декарт проводив у Парижі безтурботне життя, повне насолоди. Але врешті решт такий спосіб життя став тягарем для нього, і він усамітнився для того, щоб присвятити себе математичним дослідженням. Коли йому виповнився 21 рік, він кілька років служив добровольцем в арміях Голландії, Баварії та Угорщини. За цей час Декарт набув непогані військові звички, а також деякі авантюрницькі риси характеру. Йому подобались бали та азартні ігри — при цьому гравцем він був дуже вдалим, в чому велику роль зіграв його математичний талант. У 1629 році переїхав до Нідерландів. Ніщо людське не було чужим для нього — правда єдиний його любовний роман тривав всього лише три роки. Його коханою була якась голландська жінка, яка в 1635 році народила йому дівчинку. Декарт обожнював дитину і був сильно вражений раптовою смертю дочки у п'ятирічному віці. Він завжди казав про цю втрату, як про найбільше нещастя у своєму житті.

Декарт надавав великого значення практичному використанню наукових знань. Так, його цікавило, яким чином можна зберегти волосся від посивіння. Він проводив також деякі досліди з кріслом-гойдалкою.

Одного разу під час служби в армії Декарту наснився сон, що мав велике значення для всього його життя. Весь день 10 листопада він провів на самоті у своїй кімнаті, міркуючи над науковими та математичними проблемами. Це було в старовинному баварському будинку, де кімната зігрівалася великою дерев'яною піччю, що, мабуть, сприяло творчому процесу. Непомітно для себе Декарт задрімав, і йому наснилося - як він у майбутньому розповідав,- що перед ним з'явився «дух правди» і почав докоряти йому за лінощі. Цей дух повністю оволодів свідомістю Декарта і переконав його в тому, що йому в житті необхідно довести придатність математичних принципів для пізнання природи та їхню велику користь, оскільки вони надають науковим знанням строгість та певність.

Для продовження занять математикою Декарт повернувся до Парижа, але столичне життя знову швидко набридло йому. Він продав маєток, який отримав від батька і переїхав до самотнього сільського будинку в Голландії. Його любов до самотності була настільки великою, що потягом двадцяти років він змінив 24 будинки в 13 різних містах і при цьому тримав свою адресу в таємниці навіть від найближчих друзів, з якими підтримував постійне листування. Його єдиними і незмінними вимогами до нового місця проживання були невелика відстань до католицької церкви та університету. тою, на нього звернула свою увагу шведська королева Христина. Вона запросила Декарта давати їй уроки філософії. І хоч як Декарт любив волю і самотній спосіб життя, він не міг не проявити поваги до королівського прохання. Королева прислала за ним військового корабля, і наприкінці 1649 року він ступив на землю Швеції. Проте королева Христина виявилась не зразковою ученицею. Вона могла викраяти для зустрічей з філософом лише дуже ранкові години - близько п'ятої години ранку. До того ж заняття проходили в погано прогрітій бібліотеці, а зима видалася дуже холодною. Кволий і хворобливий Декарт стійко переносив ранні підйоми та жорстокі ранкові холоди протягом майже чотирьох місяців. Проте врешті-решт він захворів на запалення легень і помер 11 лютого 1650 року.

Цікавим постскриптумом до смерті цієї великої людини, який віддав багато сил вивченню взаємодії тіла і душі, може послугувати історія його власного тіла після смерті. Через 16 років після його смерті його друзі вирішили, що тіло має знаходитися у Франції. Але труна, яка з цього приводу була надіслана в Швецію, виявилась занадто короткою. А тому шведська влада, не довго думаючи, вирішила відділити голову Декарта від тіла і поховати її окремо — доти, доки не будуть отримані розпорядження з Парижа.

Поки залишки філософа готували до відправки у Францію, французький посол вирішив, що непогано було б мати яку-небудь пам'ятку про великого співвітчизника. А тому він відрізав вказівний палець на правій руці Декарта. Тим часом тіло без голови і пальця, було з великими церемоніями переховано в Парижі. Через декілька років один армійський офіцер викопав череп Декарта, як сувенір, який потім протягом 150 років від одного колекціонера до іншого, поки, нарешті, не був похований у Парижі.

Усі власні папери та рукописні роботи Декарта були зібрані і після його смерті морем відправлені до Парижа. Проте корабель потонув, не діставшись до причалу. Папери протягом трьох днів знаходилися під водою. Сімнадцять років знадобилося для того, щоб в майбутньому відреставрувати їх і зробити придатними для друку.
Координатна площина
Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в початку їх відліку — точці О. Ці прямі називаються осями координат. Горизон­тальну пряму називають віссю абсцис і позначають Ox, вертикальну — віссю ординат і позначають Oy. Точку О називають початком координат. Ці координатні прямі утворюють декартову прямо­кутну систему координат.Пло­щи­на, на якій задана прямокутна система координат, називається координатною площиною. Через будь-яку точку А координатної площини можна провести прямі, перпендикулярні до осей Ox іOy.
Нехай ці прямі перетнуть відповідно вісь абсцис — у точці з координатою а, а вісь ординат — у точці з координатою b.
Пара чисел (а, b) визначає положення точки А на координатній площині й називається її координатами. Позначають А(а, b). Число а називається абсцисою точки А, число b — її ординатою. Зверніть увагу: має значення, в якому порядку записані числа а і b. Точка В(b; а) не збігається з А(а;b).
Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює 0; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю. Початок координат — О(0; 0).

Осі координат розбивають площину на 4 частини, які називаються координатними чвертями. Нумерація чвертей, знаки координат у кожній чверті, а також приклади точок з їх координатами показані на рисунку.

Таким чином, щоб побудувати, наприклад, точку М(k; р), треба поставити олівець в О(0; 0), потім пересунутися по осі абсцис на  одиничних відрізків праворуч(якщо) або ліворуч(якщо ). Від отриманої точки на осі абсцис треба рухатись угору на  одиничних відрізків (якщо ) або униз (якщо ). 

Самостійні роботи

Кожна з самостійних робіт розрахована на 8-12 хвилин.З метою врахування індивідуальних особливостей школярів самостійна робота пропонується в чотирьох варіантах, перший – самий легкий, а четвертий найскладніший. Другий та третій варіанти мають середню складність та являються приблизно рівноцінними.

Самостійна робота №1

Самостійна робота №2

Відстань між точками. Рівняння кола і прямої.

Самостійна робота №3

Декартові координати на площині

Відповіді до самостійних робіт.

Самостійна робота №1

№	Варіант І	Варіант ІІ	Варіант ІІІ	Вараінт ІV
1	-	2	2	-
2	(1/2;-3/2)	(2;-2)	(-1;2)	(2;-4)

Самостійна робота №2

№	Варіант І	Варіант ІІ	Варіант ІІІ	Варіант ІV
1	√26	(х+1)²+(у-4)²=16	(х+3)²+(у-2)²=9	(х-2)²+(у-1)²=5
2	(0;3);(0;-3)	(12/7;27/14)	(13/15;-12/5)	3х+5у+4=0

Самостійна робота №3

№	Варіант І	Варіант ІІ	Варіант ІІІ	Варіант ІV
1	√AD=5	BD=2;y-2=0	B1C1=5,3x+4y=0	A1B1=5,4x-3y=0
2	(x-3)²+(y-4)²=25	(x-12)²+(y-5)²=169	(x+2)+(y±2)=4	(x±3)²+(y-3)²=9

ТЕСТИ
Наведені тестові завдання складені для перевірки теоретичних знань учнів. Пропоновані тести допоможуть учителеві на певному етапі уроку перевірити теоретичні знання однієї групи учнів і практичні навички у другої групи.

Тестування проводиться після вивчення теми, під час підготовки до самостійної чи контрольної роботи. Його результати враховуються на рівні з результатами іншого виду контролю.

Тест 1.
Установіть істинніть або хибність тверджень.
Варіант І

1. 
   Якщо точки А(6;-4) і В(-2;8) є кінцями відрізка, а С – його середина, то точка С має координати (4;4).
   
2. 
   Рівняння кола з центром у точці А(9;-4) і радіусом 3 має вигляд (х+9)²+(у+4)²=3.
   
3. 
   Якщо С має координати (-1;3), а координати точки D(-5;6), то довжина відрізка СD дорівнює 5.
   
4. 
   Якщо відрізок ОМ є діаметром кола і О(-6;4), а М(-4;-2), то радіус цього кола має довжину √10.
   
5. 
   Якщо пряма проходить через точки А(-1;4) і В(3;-8), то вона задається рівнянням 3х+у-1=0.
   
6. 
   Кола (х+2)²+(у+3)²=1 та (х-2)²+(у+3)²=9 мають одну спільну точку.
   

Варіант ІІ.

1. 
   Якщо точки А(10;-4) і В(-2;12) є кінцями відрізка, а С – його середина, то точка С має координати (4;4).
   
2. 
   Рівняння кола з центром у точці А(-9;4) і радіусом 3 має вигляд (х+9)²+(у+4)²=9.
   
3. 
   Якщо С має координати (1;-3), а координати точки D(-5;6), то довжина відрізка CD дорівнює 5.
   
4. 
   Якщо відрізок МК є радіусом кола і М(5;-3), а К(4;-6), то довжина діаметра цього кола дорівнює 2.
   
5. 
   Якщо пряма проходить через точки В(7;4) і К(6;-3), то вона задається рівнянням 7х-13у+3=0.
   
6. 
   Кола (х+2)²+(у-1)²=1 та (х-1)²+(у-3)²=4 не мають спільних точок.
   

Тест 2.
Варіант І.

1. 
   Середина відрізка з кінцями К(-6;8) і М(2;-2) має координати: А)(-2;3); Б)(-4;6); В(-8;10); Г(-4;5).
   
2. 
   Відстань між точками Р(5;3) і С(2;-1) дорівнює... А)53; Б) √53; В)5; Г) √13.
   
3. 
   Рівняння кола з центром у точці В(2;-1) і радіусом 3 має вигляд...
   

А)(х+2)²+(у-1)²=9

Б)(х-2)²+(у+1)²=3

В)(х+2)²+(у-1)²=3

Г)(х-2)²+(у+1)²=9

4. Основа перпендикуляра, опущеного з точки А(-5;4) та вісь Ох, має координати... А)(0;-5); Б)(0;4); В)(-5;0); Г)(4;0)

5. Довжина медіани ВМ трикутника АВС з вершинами А(-3;3), В(4;1) і С(3;5) дорівнює... А)5; Б) √65; В)65; Г)25.

6. Точка К, яка належить осі абсцис і рівновіддалена від точок А(-1;4) і В(5;2) має координати...

А) (-5;2); Б) (-10;4); В) (-4;10); Г) (-2;5).

Варіант ІІ.

1. Середина відрізка з кінцями N(-8;6) i F(-2;2) має координати... А) (-10;8); Б)(-3;2); В)(-5;4); Г)(-4;5).

2.Відстань між точками К(11;-1) і В(10;1) дорівнює... А) 1; Б) √21; В) 21; Г) √5.

3.Рівняння кола з центром у точці В(-3;1) і радіусом 4 має вигляд... А)(х+3)²+(у-1)²=16; Б)(х-3)²+(у-1)²=4; В)(х-3)²+(у+1)²=16; Г) (х+3)²+(у-1)²=4.

4.Основа перпендикуляра, опущеного з точки А(4;-5) на вісь Оу, має координати... А)(0;-5); Б)(0;4); В)(-5;0); Г(4;0).

5.Довжина медіани АF трикутника АВС з вершинами А(0;-1), В(2;1) і С(-2;3) дорівнює... А) 9; Б)5; В)25; Г)3.

6.Точка А, яка належить осі ординат і рівновіддалена від точок М(-1;2) і N(5;4), має координати... А)(9;0); Б)(2;3); В)(0;9); Г)(4;2)
Тест 3.
Варіант І

1. 
   Координати середини відрізка знаходять за формулами...
   
2. 
   Рівняння кола має вигляд....
   
3. 
   З точок А(0;-3), В(1;1), С(-2;6), D(2;0) на прямій 3х+2у-6=0 лежать...
   
4. 
   Відстань між точками А(х;3) і В(1;-5) дорівнює 10, тому х дорівнює...
   
5. 
   Якщо відрізок МN є радіусом кола і М(-3;1), N(1;6), то рівняння кола має вигляд...або...
   
6. 
   Якщо точка А лежить на осі ординат і рівновіддалена від точок (1;2) і (4;7), вона має координати...
   

Варіант ІІ

1. 
   Довжину відрізка АВ можна знайти за формулою...
   
2. 
   Центр кола з рівнянням (х+9)²+(у+4)²=3 знаходиться в точці з координатами...
   
3. 
   3 прямих х-2у+1=0; 3х+у+1=0; у-2=0, х+1=0 через точку Е(-1;2) проходять...
   
4. 
   М – середина відрізка КN. Якщо N(-4;5) і М(1;2), то точка К має координати...
   
5. 
   Пряма у=х+1 і коло (х-2)+у=4 мають спільних точок.
   
6. 
   Якщо точка А лежить на осі абсцис і рівновіддалена від точок (1;2) і (4;7), то вона має координати...
   

№	Тест 1 Варіант І	Тест 1 Варіант ІІ	Тест 2 Варіант І	Тест 2 Варіант ІІ
1	Х	І	А	В
2	Х	Х	В	Г
3	І	Х	Г	А
4	І	Х	В	А
5	І	І	А	Г
6	І	І	А	В

Контрольна робота

Варіант І

І - рівень

1. 
   Яка з точок, зображених на рисунку, має координати (1;2)?
   

а) А; б)В; в)С.

2. Враховуючи, що рівняння кола з центром у точці А(а;b) і радіуса R має вигляд (x-a)²+(y-b)²=R², виберіть точку, що є центром кола, заданого рівнянням (х-3)²+(у+4)²=25

a)A(-3;-4); б)A(3;4); в)А(3;-4).
3.Кутовий коефіцієнт прямої у=3х-2 дорівнює:

а) -2; б) 3; в) 1,5.
ІІ - рівень

4. Позначте на рисунку координати середини відрізка АВ.

5. 
   Знайдіть відстань АВ, якщо А(2;8), В(-6;2).
   
6. 
   Запишіть рівняння кола, центр якого знаходиться в точці (5;4), а радіус дорівнює 3.
   

ІІІ - рівень

7. 
   Знайдіть довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо А(0;1), В(1;-4), С(5;2).
   
8. 
   Дано координати трьох вершин паралелограма АВСD: C(-3;0), D(3;-1), A(-1;-4). Знайдіть координати четвертої вершини.
   

ІV – рівень. (Розв’яжіть одну з наведених задач).

9. 
   Знайдіть точки перетину кола, заданого рівнянням х²+у²=1, із прямою у=х-1.
   
10. 
    Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням х²+у²+2х-4у-4=0
    

Варіант ІІ.

І – рівень.

1. Яка з точок, зображених на рисунку, має координати (2;1)?

а)А; б) В; в) С.
2. Враховуючи, що рівняння кола з центром у точці А(а;b) і радіуса R має вигляд (x-a)²+(y-b)²=R², виберіть значення , що є радіусом кола, заданого рівнянням (х-3)²+(у-4)²=25

а)-5; б) 5; в)25.

3. Кутовий коефіцієнт прямої у=2х-3 дорівнює:

а)2; б)-3; в) -1,5.
ІІ – рівень

4. Позначте на рисунку координати середини відрізка АВ.

5. 
   Знайдіть відстань АВ, якщо А(4;5), В(1;1).
   
6. 
   Запишіть рівняння кола, центр якого знаходиться в точці А(3;2), а радіус дорівнює 4.
   

ІІІ – рівень

7. 
   Знайдіть довжину медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(0;4), В(-2;-1), С(4;0).
   
8. 
   Дано координати трьох вершин паралелограма АВСD А(1;3), В(2;0), С(-1;-3). Знайдіть координати четвертої вершини.
   

ІV – рівень.(Розв’яжіть одну з наведених задач).

9. 
   Знайдіть точки перетину кола, заданого рівнянням х²+у²=1, із прямою у=х+1.
   
10. 
    Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням х²+у²-4х+2у-4=0
    

Відповіді до контрольної роботи

№	Варіант ІІ	Варіант І
1	б) В	б)В
2	б)5	в) А
3	а)2	б)3
4	С(1;-3)	С(1/2;0)
5	АВ=5	АВ=10
6	(х-3)²+(у-2)²=16	(х-5)²+(у-4)²=9
7	ВМ=5	√13
8	D(-2;0)	(-7;-3)
9	(0;1) та (-1;0)	(0;-1) (1;0)
10	О’(2;-1); R=3	О’(-1;2), R=3

Список використаної та рекомендованої літератури

1. 
   Гусев В.А Задачі з геометрії для 8-го класу. Москва ”Просвещение”,1989
   
2. 
   Іржавцева В.П. Систематизація та узагальнення знань учнів у процесі вивчення математики.
   
3. 
   Математика в школі №14(278) травень 2010р.
   
4. 
   Раухман А.С.,Сень Я.Г.Геометрія для 7-9 класів
   
5. 
   Стадник Л.Г.Заліковий зошит для тематичного оцінювання навчальних досягнень."Ранок",2004