Шкільна математична олімпіада – 2011

Скачати 142.69 Kb.

Назва	Шкільна математична олімпіада – 2011
Дата	07.02.2014
Розмір	142.69 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

Шкільна математична олімпіада – 2011

Кожного року ми проводимо шкільні олімпіади з математики. Кожен вчитель повинен підібрати завдання для шкільного туру. Пропоную вашій увазі добірку задач, яка допоможе вчителю виявити обдаровану дитину, яку після підготовки, можна запрошувати до ІІ туру олімпіад з математики.

Завдання математичної олімпіади

5 клас

1.Дев’ять автобусних зупинок розташовані на прямій вулиці так, що відстані між будь – якими двома сусідніми зупинками однакова. Між першою і третьою зупинками відстань 600 м. Яка відстань між першою і останньою?

2. Запишіть число 2010 за допомогою 11 трійок і арифметичних дій.

3. У Сергія однокласників на 7 більше, ніж однокласниць. У його класі хлопців вдвічі більше, ніж дівчат. Скільки однокласниць у Сергійкової однокласниці Катрусі?

4. Двоє гравців по черзі дістають з скриньки кульки. Програє той, хто забирає останню кульку. Хто може забезпечити собі перемогу, перший, чи другий, якщо спочатку в скриньці було 2002 кульки і за один хід можна виймати не менше однієї і не більше п'яти кульок?

5. Лікар повинен оглянути трьох хворих з різними інфекційними хворобами. Чи можливо це зробити і як саме, якщо він має лише дві пари гумових рукавичок?

6 клас

1.Андрійкові було 16 років 19 місяців тому, а Миколці 19 років через 16 місяців. Хто з них старший за віком? Відповідь обґрунтуйте.

2. Маємо два пісочні годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин, яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти час за допомогою годинників?

3. Катруся та її друзі стали в коло. Виявилося, що обидва сусіди в кожної дитини однієї статі. Хлопчиків серед Катрусиних друзів п’ять. А скільки дівчаток?

4. Назвемо числа «дзеркальними», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад, число 98889 – «дзеркальне». Знайдіть усі «дзеркальні» п’ятизначні натуральні числа, в записі яких використовується тільки цифри 2 та 0. Відповідь обґрунтуйте.

5. У класі навчаються 37 учнів. Довести, що хоча б четверо з них відмічають день народження протягом місяця.

7 клас

1. Летить зграя сороко ніжок і триголових драконів. У всіх разом 26 голів і 298 ніг. Я кожної сороко ніжки одна голова. Скільки ніг у триголового дракона?

2. Знайдіть найменше 4 – значне число, яке при ділені на 2,3,5,7 і 11 дає в остачі 1.

3. У футбольній команді (11 гравців) треба вибрати капітана та його помічника. Скількома способами це можна зробити?

4. В таксі їдуть 5 пасажирів. Доведіть, що серед них знайдуться два пасажири, що мають однакову кількість знайомих серед цих п’яти пасажирів.

5. Є шість монет, серед яких дві – фальшиві, вони легші від справжніх. За три зважування на шалькових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети.

6. Знайдіть х з рівняння 5 – (1 – (2х - 5)) = 2009

8 клас

1.Є 101 монета. Серед них 50 фальшивих. Кожна фальшива монета відрізняється від справжньої на 1 грам. За допомогою одного зважування на терезах зі стрілкою (показує різницю мас на чашах) визначити, чи є монета фальшивою.

2. У ряд виписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки «+» та «-» так, щоб значення здобутого виразу дорівнювало нулю?

3. Визначити дві останні цифри числа 2 ²⁰⁰⁴.

4. У коробці 60 сірників. За один хід можна взяти від 1 до 5 сірників. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?

5. Доведіть, що дошку 6х6 не можна покрити дев’ятьма плитками 4х1.

6. При яких значеннях m рівняння mх – 2008 = 2009 і 2009х = m - 2008х

9 клас

1.Є 25 коробок цукерок трьох сортів. Доведіть, що серед них знайдуться 9 коробок цукерок того самого сорту.

2. Знайдіть суму внутрішніх кутів при вершинах зірчастого семикутника.

3. 10 школярів на олімпіаді розв’язали 35 задач, причому відомо, що серед них є школярі, які розв’язали рівно одну задачу, які розв’язали рівно дві задачі, і школярі, які розв’язали рівно три задачі. Доведіть, що є школяр, який розв’язав не менше ніж п’ять задач.

4. Знайдіть суму коренів рівняння (х - 1)³ = 4(х - 1).

5. Є три купки камінців: у першій – 10, у другій – 15, у третій – 20. За один хід дозволяється розбити будь – яку купку на дві менші. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?

6.Запишіть наступний член послідовності 111, 213, 141, 516, 171…..

Відповіді, розв’язання та вказівки до оцінювання

5 клас

Відповідь: 2400 метрів. З умови задачі випливає, що відстань між першою і третьою зупинками 600 м, отже між першою і другою – 300 м. Зупинок у нас дев’ять, а відстаней між ними вісім, отже 300 помножити на вісім дорівнює 2400 метрів.

Відповідь: 2010 = 3 •333 + 3 •333 + 3 • 3 + 3.

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення розв’язання;

±, якщо частина міркування є правильною;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: Якщо дівчат у класі х, то хлопців – 2х. Тоді 2х – х = 8, х = 8. Отже, дівчаток у класі 8, а однокласниць у Катрусі – 7.

Відповідь: Виграє перший, якщо першим ходом забере 3 кульки, а за кожен наступний хід він повинен брати стільки кульок, щоб у сумі з кульками, які взяв другий гравець, було 6 кульок, в кінці гри залишилася одна кулька, яка дістанеться другому.

Відповідь: Можливо. Використавши дві пари рукавичок, лікар може оглянути двох хворих. Після чого одну з пар треба вивернути і вставити в ці рукавички із другої пари. Отримаємо подвійну пару рукавичок, у якої внутрішня і зовнішня поверхня дезінфіковані.

клас

Відповідь: Старший Миколка. З умови задачі випливає, що зараз Андрійкові 17 років і 7 місяців, а Миколці – 17 років і 8 місяців. Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення розв’язання;

±, якщо вказано правильну відповідь;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: Поставити два годинники одночасно. Через 7 хв. починати варити яйце. У другому годиннику пісок ще буде сипатися 4 хв. Потім перевернути другий годинник і виміряти ще 11 хв.

Відповідь: Четверо. Якщо у когось з Катрусиних друзів сусіди – однієї статі, то очевидно, що всі хто стоять у колі, тобто хлопчики і дівчатка чергуються. Отже, дівчаток у колі скільки стільки й хлопчиків: по 5. Тобто, без Катрусі дівчаток у колі четверо.

Відповідь: 20002, 22022, 22222, 20202. Оскільки першою цифрою натурального числа не може бути нуль, то першою цифрою усіх чисел буде 2, а так як числа є «дзеркальними», то і останньою цифрою теж буде Оцінювання:

+, якщо відповідь вказано правильно і наведено повне обґрунтування;

±, якщо вказано три з чотирьох правильних відповідей;

, якщо вказано дві з чотирьох правильних відповідей;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: У році 12 місяців, отже 37 : 12 = 3 (ост. 1). Тобто, протягом року у класі відмічають три день народження, а так як один учень залишився в остачі, то протягом одного з місяців день народження відмічають четверо учнів. Що й треба було довести.

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення доведення;

±, якщо є правильний початок міркування;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

клас

Відповідь: 14 ніг. Нехай х – кількість сороко ніжок, у – кількість драконів. Тоді х + 3у = 26, 40х 298. Звідси х 7. Оскільки 26 – х ділиться на 3, то х = 2 або х = 5. Перевірка показує, що х = 5, у = 7. Тоді кількість ніг дракона (298 – 40 • 5) : 7 = 14.

Відповідь: 2311. Оскільки 2311 : 2 = 1155 (ост. 1), 2311: 3 = 770 (ост. 1), 2311: 5 = 462 (ост. 1), 2311: 7 = 330 (ост. 1), 2311 : 11 = 21 (ост. 1). Оцінювання:

Відповідь: 110 способів. Є 11 способів вибрати капітана. Якщо капітана вже вибрали, то матимемо ще 10 способів вибрати помічника. То кількість способів вибрати пару 10 • 11 = 110.

Відповідь: Можливі два випадки: коли в компанії пасажирів є хтось, хто знає чотирьох осіб і коли в компанії такого немає. В першому випадку в цій компанії немає нікого, хто знав би 0 осіб. Отже, тоді маємо чотири варіанти знайомих: 1,2,3,4. У другому випадку теж маємо чотири варіанти кількості знайомих: 0,1,2,3. Оскільки 5 4, то, за принципом Діріхле, серед п’яти осіб є принаймні двоє, які мають однакову кількість знайомих пасажирів.

Відповідь: Поділимо наші монети на дві купки по три монети в кожній. Порівняємо тепер вагу першої та другої купок. За першого зважування отримаємо два результати: або ваги зрівняються, або якась купка виявиться легшою. Розглянемо перший випадок: отже, серед обох купок є по одній фальшивій монеті. Будемо важити по одній монеті з кожної купки. Якщо якась легша від іншої, то вона і є фальшива, а якщо монети мають однакову вагу, то вони справжні, а третя - фальшивими. Розглянемо другий випадок: очевидно, що фальшиві монети знаходяться в легшій купці. Щоб відшукати їх, покладемо дві монети з легшої купки на ваги. І якщо їх вага однакова, то монети – фальшиві, якщо різна, то та що важча є справжня, а легша і та, що залишилася – фальшиві. Оцінювання:

+, якщо міркування правильне і наведено повне обґрунтування;

±, якщо пояснено один з двох випадків;

, якщо початок міркування є правильним, але жоден з випадків не розглянуто;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: х = 1005.

5 – (1 – (2х - 5)) = 2009,

5 – (1 – 2х + 5) = 2009,

5 – 1 + 2х – 5 = 2009,

2х = 2009 + 1,

2х = 2010,

х= 1005.

Відповідь: х = 1005.

Оцінювання:

+, якщо міркування правильне і наведено повне розв’язання;

±, допущена помилка у відповіді, а хід розв’язання є правильним;

, якщо початок міркування є правильним, але допущена помилка під час розкриття дужок;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

8клас

Відповідь: Для визначення справжності монети покладемо на кожну чашу терезів по 50 монет і знайдемо різницю їх мас. Якщо вибрана справжня монета, то серед 100 монет, які залишилися, 50 фальшиві, 50 справжні. Якщо вибрана фальшива монета, то в першій чаші х фальшивих монет, а вказана різниці 49 – 2х, тобто виражається непарним числом. Отже, непарне показання стрілки вказує на фальшивість вибраної монети, а парність 50 – 2х – на справжність.

Оцінювання:

+, якщо міркування правильне і наведено повне обґрунтування;

±, якщо пояснено один з двох випадків;

, якщо початок міркування є правильним, але жоден з випадків не розглянуто;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: Не можна. Оскільки в цьому ряду непарна кількість непарних чисел, то як би ми не розставляли знаки, значення виразу буде числом непарним, а 0 – число парне. Отже, не можна.

Відповідь: 1 і 6. Оскільки 2004 при діленні на 20 дає остачу 4, то дві останні цифри числа 2 ²⁰⁰⁴ такі ж, як дві останні цифри числа 2 ⁴, тобто 1 і 6.

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення міркування;

±, якщо вказано правильну відповідь;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: Другий гравець, так як початкова позиція виграшна саме для нього. Тобто, якщо він своєю виграшною стратегією буде доповнювати ходи першого гравця до 6 сірників.

Відповідь: Побудуємо дошку 6 х 6 і покриємо плитками від 1 до 4 як – небуть, кожного кольору повинно бути по 9. Отже, згідно перевірці, цього немає.

1	2	3	4	1	2
2	3	4	1	2	3
3	4	1	2	3	4
4	1	2	3	4	1
1	2	3	4	1	2
2	3	4	1	2	3

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення міркування і додається малюнок;

±, якщо вказано правильне міркування;

-, якщо міркування неправильне;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: m = 4017. Легко перевірити, що коли m = 0 умова задачі не виконується. Коли m 0, то корені першого рівняння буде х = , а коренем другого рівняння буде х = . Отже, для виконання умови задачі необхідно і достатньо, щоб = . Звідси m ² = 4017 ² . Звідси m = 4017.

Оцінювання:

+, якщо міркування правильне і наведено повне розв’язання;

±, допущена помилка у відповіді (не пояснено чому m 0 ), а хід розв’язання є правильним;

, якщо початок міркування є правильним, але допущена помилка при визначенні коренів, тобто втрачено m = - 4017;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

клас

Відповідь: 25 = 24:3+1. Нехай таких коробок 8, то 25 = 24:3+1. Отже, серед них є 9 коробок цукерок того самого сорту.

Відповідь: 540˚. Сума кутів трикутника дорівнює 180˚, а сума кутів чотирикутника дорівнює 360˚. Отже, 108˚ + 360˚ = 540˚.

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення міркування;

±, якщо вказано правильну відповідь, але відсутнє пояснення;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: Знайдеться 7 учнів, які разом розв’язали 35 – (1 + 2 + 3) = 29 задач. Оскільки 29 7 • 4, то знайдеться учень, який розв’язав не менше 5 задач.

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення міркування;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: 3, так як х₁ + х₂+х₃ = -1+1+3 = 3.

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення міркування і правильним є розв’язок рівняння ;

±, якщо вказано правильну відповідь, але відсутнє пояснення;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: Другий гравець виграє без будь – якої стратегії. Після кожного ходу кількість купок збільшиться на 1. У кінці гри їх має стати 45, буде зроблено 42 ходи. Отже, останній хід зробить другий гравець. Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення міркування;

±, якщо вказано правильну відповідь, але відсутнє пояснення;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Відповідь: 819. Це послідовність двозначних чисел, які починаються з 11. Тобто, 11,12,13,14,15,16,17,18…., а далі просто коми розставлені іншими способами.

Оцінювання:

+, якщо наведено правильне пояснення розв’язання;

±, якщо вказано правильну відповідь;

-, якщо відповідь неправильна;

0, якщо учень не приступав до виконання завдань.

Критерії перевірки роботи

Кожна задача перевіряється за такою схемою:

«+» - 4 бали; «±» - 3 бали; «» - 2 бали; «-» - 1 бал; «0» - 0 балів.

Використана література

Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2007 – 2008 та 2008 – 2009: За ред.. Б.В. Рубльова. – Львів: Каменяр, 2010. 549 с.
Готуємось до олімпіади з математики / Упорядн. А. Б. Веліховська, О. В. Гримайло. – Х: Вид. група «Основа», 2007. – 160 с.
Готуємось до олімпіади з математики. – Х.: Вид. група «Основа», 2008. – 255 с.
Морозевич Я. Ю. Комбінаторика. – Х.: Вид. група «Основа», 2009. – 144 с.
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики . За матеріалами В. Ясінського, газета «Математика», № 8 (548), лютий 2010. Ст. 12 – 21.

Схожі:

Наказом Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України № 1324... Олімпіада проводитиметься на базі Республіканського вищого навчального закладу „Кримський гуманітарний університет” (м. Ялта) кафедрою...	ЗАТВЕРДЖУЮ Всеукраїнська студентська олімпіада (далі – Олімпіада) – система масових очних змагань у творчому застосуванні здобутих знань, умінь...
Шкільна біологічна олімпіада є однією з форм активізації навчання... Підготовка до олімпіад, бажання бути в ній переможцем, спонукає учнів глибше вивчати явища і процеси, що відбуваються у природі,...	Багато міст є на нашій землі Ведуча: Тож вітай, шкільна родина, гучними оплесками цей чудовий, ні з чим незрівнянний день — день Першого дзвоника — в країні сонячних...
Дипломної педагогіческої освіти. Математична логіка Матеріал розбито на теми. Важливими темами є: «Подільність чисел», «Комбінаторні задачі», «Задачі – забави», «Задачі – казки», «Принцип...	До районної цільової програми Завдання і заходи з виконання районної цільової програми „Шкільна парта” на 2011-2015 роки
Навчальна програма для учнів 6-9 класів загальноосвітніх навчальних... Державного стандарту, затвердженого постановою Кабінету міністрів України від 23 листопада 2011 р. «Про затвердження державного стандарту...	Математична регата №1
Декан факультету В.І. Грачов Математика для економістів (розділ: теорія імовірностей та математична статистика)	7-й клас. АЛГЕБРА Розв'язування задач за допомогою лінійних рівнянь. Рівняння як математична модель задачі

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання