Нехай узагальнена координата го осцилятора в момент часу
|
|
Скачати 104.65 Kb.
|
Нехай  – узагальнена координата  – го осцилятора в момент часу  . Припускається, що кожний осцилятор лiнiйно взаємодіє з чотирма своїми найближчими сусідами (Рис. 2.1). Рівняння руху системи, що розглядається, мають вигляд:  .Рівняння (2.1) представляє собою нескінченну систему звичайних диференціальних рівнянь. Цю систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння  ,де  – двохвимiрний дискретний оператор Лапласа, а нелінійний оператор  – ,в просторі дійсних послідовностей  зі скалярним добутком .Позначимо цей простір  .Рівняння (2.1) у просторі можна подати у гамільтоновому вигляді з гамільтоніаном  де  .Справді,  і  звідки  Гамільтоніан  задає повну енергію системи, тобто суму кінетичної і потенціальної енергії, причому  визначає кінетичну енергію, а  – потенціальну.Розглянемо систему осциляторiв з потенціалом:  Тоді рiвняння набуде вигляду   Біжуча хвиля має вигляд  і для її профілю  де  отримаємо рівняння    Рис. 2.1 Вiдмiтимо, що функція неперервного аргументу  називається профілем хвилi. Константа  представляє собою швидкість хвилi. Цікавими є нетривiальнi хвилi з профілем тотожно вiдмiнним від нуля.У випадку періодичних біжучих хвиль для знаходження профілю хвилi достатньо знайти розв’язок рiвняння (2.3) з умовою перiодичностi   Профіль відокремленої хвилi є розв’язком рiвняння (2.3) з крайовою умовою на нескiнченностi   Всюди далi під розв’язком рiвняння (2.3) розуміється функція  класу  яка задовольняє рiвняння (2.3) для всіх  При певних значеннях кута  дану задачу можна привести до одновимірного випадку, тобто до ланцюга осциляторів.Для  (Рис. 2.2) маємо  Тоді   Для  (Рис. 2.2) маємо  Тоді   Рис. 2.2 Для  (Рис. 2.3) маємо  Тоді   Для  (Рис.2. 3) маємо  Тоді   Введемо заміну  . Тоді оскільки  і  то переходячи до заміни, матимемо рівняння    Рис. 2.3 Таким чином, для кутів  і  ми отримали рівняння, яке було вивчено у статтях [7],[51], тобто випадок ланцюга осциляторів.Всюди далi припускається, що потенціал  задовольняє умову: функція неперервно диференційовна,  і  , при  та існує таке  що Зазначимо, що в рiвняння (2.3) швидкість  входить тільки в квадраті. Звідси випливає, що якщо функція задовольняє рівнянню (2.3), то існує дві бiжучi хвилi з даним профілем та швидкостями  З рівняння (2.3)та умовою (2.4)пов’язується функціонал    який визначений на просторі  з нормою  Тобто  – соболєвський простір  –періодичних функцій.З крайовою умовою (2.5) пов’язаний функціонал   який визначений на просторі  зi стандартною соболєвською нормою: Лема 2.1. За зроблених вище припущень,  та  – функціонали класу  на та  вiдповiдно. Їх похiднi виражаються формулами     Доведення. Функціонал подамо у вигляді де      Легко бачити, що  При цьому для похідних маємо    Далі,   Враховуючи – перiодичнiсть та роблячи заміну  маємо   Аналогічно  Знайдемо тепер похідну Гато функціоналу  Нехай  Згідно формули Лагранжа для будь-якого  існує таке  що  Покажемо, що тут останній інтеграл прямує до нуля при  Згідно теореми вкладення,  причому існує таке  що при  маємо і  Оскільки функція  неперервна i, отже, рiвномiрно неперервна на  а  рiвномiрно на  то рiвномiрно на  Звідси випливає, що при Таким чином, Доведемо тепер, що  неперервно залежить від  Нехай  в  Достатньо показати, що Маємо,     Отже,   За теоремою вкладення, в  Крім того, для деякого  і  при всіх  Оскільки рiвномiрнонеперервна на то рiвномiрно на Звідси випливає, що інтеграл в правій частині (2.10) прямує до нуля i, отже,  Iз попереднього негайно слідує твердження леми для функціоналу  Розглянемо тепер функціонал  Його квадратичні члени вивчаються аналогічно до попререднього. Залишається дослідити функціонал Нехай  Як i вище, формула Лагранжа дає (з деяким  )  i потрібно довести, що останній інтеграл в правій частині прямує до нуля при  Запишемо його у вигляді  Оскільки  і  то снує така константа щоi  для всіх Згідно умови  існує таке  що при  Тому   де  Отже,  Аналогічно   Нехай тепер  Оскільки  то існує таке  що  Крім того, оскільки i то  в  (але, взагалі кажучи,  не належить ). Тому множина функцій  відносно компактна в  Звідси слідує, що існує таке що виконується як нерiвнiсть (2.13), так i нерiвнiсть  для всіх  Зафіксувавши таке можна, як i в першій частині доведення, показати, що для всіх достатньо великих Таким чином, похiднi Гато  iснує i задається формулою для будь-якого  Залишається перевiрити неперервнiсть  Нехай в  Потрiбно показати, що Маємо, як i у випадку     i достатньо довести, що  Iнтеграл  представляється у виглядi  Далi, згiдно нерiвностi трикутника,   Як i при доведеннi iснування  для будь-якого  можна вибрати таке що  i  Тодi  Далi, зафiксувавши таке  отримуємо, що  для всiх достатньо великих Таким чином, для всiх достатньо великих  маємо i, отже,  при  Лему доведено.  Лема 2.2. Критичнi точки функцiоналiв i  – розв’язками рiвняння (2.3), що задовольняють умови (2.4) i (2.5) вiдповiдно.Доведення. Розглянемо випадок функцiоналу (iнший випадок аналогiчний). Оскiльки будь-який елемент  задовольняє умови (2.5), то достатньо тiльки перевiрити, що критичнi точки – розв’язками (2.3).Нехай – критична точка функцiоналу Тодi  для будь-якого Виберемо тут  довiльно i використаємо формулу (2.9). Маємо  Це означає, що  задовольняє рiвняння (2.3) в смислi узагальнених функцiй. Але тодi, також в смислi узагальнених функцiй   Згiдно теореми вкладення,  Отже, права частина (2.15) – неперервна функцiя. Звiдси робимо висновок, що – неперервна функцiя i, отже,  – розв’язок рiвняння (2.3) в звичайному смислi. □Лема 2.3. Правильнi наступнi нерiвностi         Доведення. Згiдно представлення  та нерiвностi Шварца отримуємо   Iнтегрування приводить до нерiвностi   де  Змiнюючи порядок iнтегрування, неважко бачити, що подвiйний iнтеграл в правiй частинi спiвпадає з iнтегралом  де  Переходячи в останньому iнтегралi до повторного i використовуючи перiодичнiсть  отримуємо  i нерiвнiсть (2.16) доведено. Нерiвнiсть (2.17) доводиться аналогiчно i, навiть, дещо простiше. □ Лема 2.4. Нехай виконується умова  і  Тодi iснують такi  i  якi не залежать вiд  що для нетривiальних критичних точок функцiоналiв та правильнi нерiвностi    Доведення. Нехай  – критична точка функцiоналу Тодi  i    Використаємо лему 2.3 отримуємо, що  де  Тоді  де  Звiдси випливає друга нерiвнiсть (2.20).Доведемо першу iз нерiвностей (2.20). Для критичної точки маємо  тобто  Звiдси, як i вище, маємо   Iз умови випливає, що де  – монотонно зростаюча неперервна функцiя вiд  i  Тодi iз (2.22) випливає, що За теоремою вкладення  з константою  що не залежить вiд  Отже, Оскiльки  то звiдки випливає перша нерiвнiсть (2.20) з  Нерiвнiсть (2.21) доводиться аналогiчно, з тими ж константами  та  |
Схожі:
|
Існування біжучих хвиль в ланцюгах осциляторів ... |
Коректність задачі Коші для системи Фермі-Пасти-Улама Нехай – координата -го атому, тоді відповідні рівняння руху системи мають вигляд |
|
Історія ОУН-УПА Це був момент перетворення нації з об'єкта історії на суб'єкт, здатний творити власну історичну долю власними руками, момент пробудження... |
Аскетичні науки І. ВСТУПНА АСКЕТИЧНА НАУКА Хто бажає великого, високого достоїнства, хто хоче стояти все при Христі, а почує голос:,Коли хто служить мені, нехай іде за мною;... |
|
Тема. Відмінювання іменників. Поділ іменників на відміни Мета уроку:... Світ прекрасний навколо тебе – Сонце ясне і синє небо, Птахи і звірі, гори і ріки Нехай він буде таким навіки. Нехай людина добро... |
Про розрахунок норми тривалості робочого часу на 2012 рік Суттєво. Визначено норми тривалості робочого часу на 2011 рік, зазначено за яких умов і для кого встановлюється скорочена тривалість... |
|
ТЕМА : Дієслова теперішнього часу. Визначення особи та числа дієслів теперішнього часу |
7 Аналіз трудового процессу і витрати робочого часу Поліпшення використання робочого часу є одним з основних способів підвищення продуктивності праці. Воно залежить від співвідношення... |
|
Оцінка оздоровчо-тренувального ефекту Забезпечення моторної щільності заняття з фізичної культури, тобто, співвідношення часу, витраченого однією дитиною, за якою спостерігають,... |
Календарний фонд часу, дні 365 – Свята, дні Запланувати абсолютний та відносний баланс робочого часу 1-му робітнику по підприємству. Зробити аналіз балансу. Назвати методи та... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua