Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння та їх розв’язування

Скачати 298.44 Kb.

Назва	Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння та їх розв’язування
Сторінка	1/3
Дата	30.04.2013
Розмір	298.44 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3

Відділ освіти Жашківської райдержадміністрації

Жашківський районний методичний кабінет

Цифрові ресурси для

навчально-методичного

забезпечення викладання

математики

Квадратні рівняння

(Алгебра, 8 клас)

Науменко Тамара Степанівна

вчитель математики

Жашківської загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів № 5

Жашківської районної ради

2009 рік.

Пояснювальна записка
Даний матеріал можна використати при вивченні нового матеріалу з даної теми та при контролі знань, умінь та навичок учнів.
Урок 1
Тема: Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння та їх розв’язування.
Мета уроку: Дати означення квадратного рівняння та ввести поняття неповного квадратного рівняння. Навчити учнів розв’язувати неповні квадратні рівняння. розвивати творчі здібності учнів, уміння знаходити раціональні способи розв’язування неповних квадратних рівнянь. Виховувати точність, охайність, увагу, уміння аналізувати.
Хід уроку
І. Організаційний момент.

Ми закінчили вивчення теми «Квадратні корені. Дійсні числа», а тепер перейдемо до вивчення теми «Квадратні рівняння».
ІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

Фронтальне опитування.

Які числа називають квадратним коренем з невід’ємного числа?
Які числа називають арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа?
Які числа називають ірраціональними?
Як виносити множники з-під знака кореня?
Як вносити множники під знак кореня?
Як звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу?
Як порівнювати ірраціональні числа?

Навести приклади.
ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Учитель. Рівняння з однією змінною, ліва частина яких многочлен, а права – нуль, поділяють на два рівняння: першого степеня (лінійні), другого степеня (квадратні), третього (кубічні), четвертого, … , n-го степеня.

Ми працюватимемо на уроці з рівнянням другого степеня, які ще називають квадратними.

Рівняння виду ах² + вх + с = 0,

де х – змінна, а, в, с – числа,

причому а≠0, називаються,

квадратними.

Число а називають першим (старшим) коефіцієнтом, в – другим коефіцієнтом, с – вільним членом.

Квадратне рівняння в якому хоча

б один з коефіцієнтів (в або с) дорівнює

нулю, називають неповним квадратним

рівнянням.

Розглянемо кожний із випадків утворення неповних квадратних рівнянь та способи їх розв’язування.

1) Якщо с=0, в≠0, то ах² + вх + 0 = 0, тобто квадратне рівняння ах² + вх + с = 0, зводиться до рівняння вигляду ах² + вх = 0, яке має два корені 0; - ^в/_а. Розв’язують такі рівняння, як правило, розкладанням їх лівої частини на множники.

Наприклад:

4х² – 16х = 0,

4х(х-4)=0, : 4

х(х-4)=0,

х=0 або х-4 = 0,

х₁=0; х₂=4

Відповідь: 0;4.

(В даному випадку розкладаємо ліву частину на множники та використовуємо відоме правило: А*В=0, коли А=0 або В=0).

2) Якщо в=0, с≠0, то ах² + 0 + с = 0, тобто квадратне рівняння ах² + вх + с = 0, зводить до рівняння вигляду ах² + с = 0, або х² = - ^с /_{а .} Очевидним є те , що якщо - ^с /_а <0, то рівняння не матиме розв’язку (х²≥0). Якщо ж - ^с /_а >0, то рівняння матиме два корені: - √ - ^с /_а ; √ - ^с /_а . Розв’язують такі рівняння двома способами:

а) розкладаючи многочлен лівої частини рівняння на множники;

б) використовуючи властивості квадратного кореня.

Наприклад: 9х² -16 = 0, : 9

х² – ¹⁶/₉ =0,

(х - ⁴/₃ ) (х + ⁴/₃ ) = 0,

х₁ = ⁴/₃ ; х₂ = - ⁴/₃ ;

Відповідь: ± ⁴/_{3 .}

При розв’язуванні даного рівняння, використовуємо формулу різниці квадратів, розкладаємо ліву частину рівняння на множники.

Наприклад: ¹/₃ х² -27 = 0, | * 3

х² -81 = 0,

х² =81,

√х² = √81,

| х | = 9,

х = ±9,

Відповідь: ±9

При розв’язанні рівняння, використовуємо тотожність.

√x²=| x |; отримуємо рівняння з модулем | x |=9, звідси х ≠±9.

3) Якщо в=0, с=0, то ах²+0+0=0, тобто квадратне рівняння ах²+вх+с=0 зводиться до рівняння вигляду ах²=0, коренем якого є число 0.

Розв’язування неповних квадратних рівнянь можна узагальнити за допомогою таблиці.

ах²+вх+с=0
1) в≠0, с=0	2) в=0, с≠0	3) в=0, с=0
ах²+вх=0, х(ах+в)=0, х=0 або ах+в=0, ах= - в х= - ^в/_а Відповідь: х₁ = 0; х₂ = - ^в/_а	ах²+с=0, ах²= -с, х²= - ^с/_а а) - ^с/_а >0, б) -- ^с/_а <0, то х=±√- ^с/_а то рівняння розв’язків не має	ах²=0, :а, а≠0. Звідси х²=0 х=0 Відповідь: х=0

ІІІ. Розв’язування вправ.

Усні вправи.

Визначити вид квадратного рівняння та назвати неповні квадратні рівняння.

а) 3х²-7х=0 б) х²-25=0

в) 4х²-х+3=4 г) 5х²=0

2) Вказати квадратні рівняння та назвати їх коефіцієнти

а) 10у²-13у+ ¹/_у =0 б) 5х²+10х-17=0

в) ¹/₁₀ х²=4 г) 5у- ¹/_у -3=0

2. Розв’язання вправ біля дошки.

№ 416(1)

(3х-1)(х+2)=х(х+5),

3х²-х+6х-2=x²+5х,

3х²+5х-2-х²-5х=0,

2х²-2=0, :2

х²=1,

√x²=√1,

| x |= 1,

Відповідь: ±1

№ 417 (1,3)

1)9х²-10х=0, 3) 8х²+16=0,

х(9х-10)=0, 8х²=-16,

х=0 або 9х-10=0, х²=-2,

х₁ =0 9х-10=0, Рівняння розв’язку не має

х₂ = ¹⁰/₉

Відповідь: 0, ¹⁰/_9.

3. Розв’язування вправ самостійно.

№ 416

(8х-1)(8х+1)=3(15х²-1)+3х,

64х²-1=45х²-3+3х,

64х²-45х²-3х-1+3=0,

19х²-3х+2=0.

№ 417 (2)

^{- 1}/₂ х²+6х=0,

-х²+12х=0,

-х(х-12)=0,

-х=0 або х-12=0,

х₁ =0 х₂ = 12

Відповідь: 0; 12.

IV. Підсумок уроку.
V. Домашнє завдання.

За підручником (О.Я. Біляніна, Н.Л. Кінащук, І.М. Черевко Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів 8 клас, Київ, «Генеза». 2008 р.)

вивчити §20. Розв’язати № 416 (3,4), 417 (4,5,6) № 418.
Урок 2.
Тема: Розв’язування неповних квадратних рівнянь. Самостійна робота.

Мета уроку: Узагальнити та систематизувати знання про неповні квадратні рівняння та їх розв’язування. Розвивати мислення та творчі здібності учнів шляхом розв’язування неповних квадратних рівнянь різними способами. Виховувати наполегливість у навчанні, охайність.

Обладнання: роздатковий матеріал, індивідуальні таблички «Квадрати натуральних чисел».
Хід уроку
1. Організаційний момент.
Учитель повідомляє тему і мету уроку.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Перевірка домашнього завдання здійснюється у формі гри «Хто швидше зніме прапорець?» Клас розбивається на дві команди.

На дошці пропонується певна кількість неповних квадратних рівнянь таблиці і таблиця із відповідями. Із кожної команди до дошки викликаються по одному учневі, які розв’язують рівняння і відмічають відповіді у таблиці. Далі цих учнів змінюють інші члени команди. Відбувається рух до прапорця. Для роботи біля дошки учні викликаються капітаном команди. виграє та команда, яка швидше дійде до прапорця.

7х²+14х=0

8х²+16х=0

- ¹/₂х²-18=0

-¹/₄х²+4=0

2х²-18=0

3х²-12=0

х²-2х=0

х²-6х=0

0; -2

0; 4

-4; 4

0; -2

0; 6

0; 2 -3; 3

2; -2

ІІІ. Повторення теоретичного матеріалу.
1) Які рівняння називають квадратними?

2) Які рівняння називають неповними квадратними?

3) Яким способом розв’язується рівняння ах²+вх.=0.

4) а рівняння ах²+с = 0 і

ах²=0?
ІV. Самостійна робота.

В-1 В-2

1. Вказати рівняння, яке є квадратним.

а) 3х²-²/_х +1=0 а) 9х²-⁴/_х +2=0

б) 7х²+х³-1=0 б) х³-2х²+10=0

в) 2х²-10х+3=0 в) 3х²-4х+1=0

г) - ⁷/_х² =0 г) - ⁹/_х² =0

2. Використовуючи формулу загального вигляду квадратного рівняння укажіть коефіцієнти рівняння.

27х²+2х-3=0 24х+3х²-11=0

а) а=2, в=-3, с=27 а) а=24, в=3, с= -11

б) а=27, в=2, с=-3 б) а=3, в= -11, с=24

в) а= -3, в=2, с=27 в) а=3, в=24, с=-11

г) а=27, в=2, с=3 г) а=3, в=3, с=11
3. Вибрати корені рівняння.
х²-5х=0 х²-6х=0

а) 0;-5, б)0; 5 а) 0; -6, б) 0; 6

в) ±5, г) ± 0,5 в) ± 6, г) ± 0,6
4. Розв’язати рівняння

¹/₂ х²-32=0 ¹/₃ х²-27=0

а) х_{1, 2} = ± ^√2/₃ а) х_{1, 2} = ± ^√3/₃

б) х₁=0, х₂ = 16 б) х₁=0, х₂ = 27

в) х₁ =32, х₂ = -32 в) х₁ =-27, х₂ = 27

г) х₁=-8, х₂ =8 г) х₁=-9, х₂ =9
V. Підсумок уроку.
VI. Домашнє завдання.

Повторити § 20. Розв’язати № 419 (2,3), № 420, 423 (1,3,5) Алгебра, 8 кл. О.Я. Біляніна, Н.Л. Кінащук, І.М. Черевко. Київ «Генеза», 2008.
Урок 3
Тема: Формула коренів квадратного рівняння.

Мета уроку: Вивести формулу коренів квадратного рівняння, ввести новий термін «дискримінант» та його роль при розв’язуванні квадратних рівнянь. Дати поняття учням про зведене квадратне рівняння та способи його розв’язання. Розвивати мислення учнів. Виховувати любов до математики.

Обладнання уроку: роздатковий матеріал.
Хід уроку
І. Організаційний момент.

Учитель повідомляє тему і мету уроку.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1) Три учні розв’язують вправи біля дошки.

Індивідуальні завдання для учнів.
Картка № 1

1. Розв’язати рівняння.

1) 11х²-99=0

2) х²-4х=0
Картка № 2

1. Розв’язати рівняння.

1) 25х²-625=0

2) х²+5х=0
Картка № 3

1. Розв’язати рівняння.

1) 3х²-27=0

2) 2х²-14х=0
ІІІ. Актуалізація опорних знань.
1). Які рівняння називають квадратними? Навести приклади.

2). Як називаються у квадратному рівняння числа а, в і с? Навести приклади.

3). Які рівняння називаються неповними квадратними? Навести приклад.

4) Як розв’язуються неповні квадратні рівняння, якщо в=0 і с≠0? Навести приклад.

5). Як розв’язуються неповні квадратні рівняння, якщо в≠0, а с=0? Навести приклад.

6). Як розв’язуються неповні квадратні рівняння, якщо в=0 і с=0? Навести приклад.
ІV. Вивчення нового матеріалу.
Учитель. Розв’язуючи рівняння вигляду (х+3)(х-2)=0, ми використовуємо правило про добуток, який дорівнює 0. Проте, якщо ми перемножимо многочлени (х+3)(х-2), то отримаємо рівносильне рівняння, яке є квадратним: х²+х-6=0. Розв’язувати, їх ми не вміємо. Якщо ми розглядували рівняння виду (х-3)²=16, то його ми зводили до рівняння з модулем | x-3 | =4.

Проте, якщо ми будемо використовувати рівносильні перетворення у рівнянні (х-3)²=16, ми отримаємо квадратне рівняння х²-6х-7=0, яке ми зможемо розв’язати, лише утворюючи в його лівій частині квадрат двочлена.

Тобто: х²-2*3*х+3²-3²-7=0

(х-3)²-16=0 і (х-3)²=16

Звідси ясно, що при розв’язанні квадратного рівняння можна використовувати спосіб виділення квадрата двочлена. І от, сьогодні на уроці ми використаємо цей спосіб при розв’язуванні квадратного рівняння у загальному вигляді.

ах²+вх+с=0

Оскільки а≠0, то помножимо обидві частини рівняння на 4а і виконаємо рівносильні перетворення.

4а²х²+44авх+4ас=0,

(2ах)²+2(2ах)*в+в²-в²+4ас=0,

(2ах+в)²=в²-4ас, де в²-4ас≥0

(2ах+в)²=(√в²-4ас)²

Позначимо в²-4ас=Д і матимемо рівняння (2ах+в)²=(√Д)², тобто | 2ах+в | = √Д, 2ах+в=±√Д, 2ах= -в ± √Д, звідси

-в±√Д

2а

, де Д = в²-4ас
Це загальна формула обчислення коренів квадратного рівняння ах²+вх+с=0 за його коефіцієнтами.
Розв’язки рівняння залежать від знака виразу Д=в²-4ас.

Якщо Д>0, то арифметичне значення кореня існує, тому рівняння матиме два корені.
Д<0, то арифметичне значення кореня не існує, тому рівняння ах²+вх.+с=0 не матиме коренів.
Д=0, тоді корені рівняння ах²+вх.+с=0 будуть рівними, тобто

х= - ^в/_2а єдине число, тобто кажуть, що рівняння має один розв’язок.

Д= в²-4ас – називається дискримінантом.

Значно спрощується розв’язання рівняння ах²+вх.+с=0, якщо старший коефіцієнт а=1. Тоді повне квадратне рівняння набуде вигляду х²+вх+с=0 і

-в±√Д

2

, де Д = в²-4с
Квадратне рівняння, старший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним.

Якщо коефіцієнти а і с – різних знаків, то рівняння ах²+вх.+с=0 завжди має корені;
Якщо другий коефіцієнт парне число, тобто в=2к, то при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватись формулою:

-к±√Д₁

а

, де к= ¹/₂ в, Д₁ =к²-ас.
Наприклад:

-2х²+9х-10=0 | * (-1)

2х²-9х+10=0

а=2, в=-9, с=10,

Д= (-9)²-4*2*10=81-80=1,

9±√1

4

9±1

4

;
х₁= ⁵/₂ ; х₂ = 2

Відповідь: ⁵/₂ ; 2.

2) х²+4х-5=0

а=1, к=2, с=-5

Д₁ =4+5=9

х=-2±3

х₁ =1, х₂=-5

Відповідь: -5, 1.

3) 5х²+3х+6,5=0

а=5; в=3; с=6,5

Д=9-4*5*6,5= -121

Д<0, тому √Д – не існує

Отже, рівняння коренів не має

Відповідь: О
V. Розв’язування вправ.
Вправа № 435 (1,4)

1) х²-4х+3=0

х²-2*2х+2²-2²+3=0

(х-2)²-1=0

(х-2)²=1

√(х-2)² = √1

| х-2 | = 1

х-2= -1 або х-2 = 1

х₁ =1 х₂ = 3

Відповідь: 1; 3

4) у²-2у-1=0

у²-2*1*у+1²-1²-1=0

(у-1)²-2=0

√(у-1)²= √2

| у-1| = √2

у-1 = -√2 або у-1=√2

у₁=1-√2; у₂ = 1+√2

Відповідь: 1-√2; 1+√2;

Вправа № 437 (1,3)

1) 5х²-4х-1=0

а=5, в= -4, с= -1

Д= в²-4ас

Д= (-4)²-4*5*(-1)=16+20=36 Д>0

Рівняння має два корені.

3)3х-х²+10=0

а= -1, в=3, с=10

Д= в²-4ас

Д= 3²-4*(-1)*10=9+40=49; Д>0

Рівняння має два корені.

№ 439 (1,3)

1) 2х²-9х+10=0

а=2; в= -9; с=10

Д= (-9)²-4*2*10=81-80=1, Д>0

9±√1

2*2

9±1

4

;

х₁

9+1

4

5

2

х₂

9-1

4

Відповідь: ⁵/₂ ; 2

3) у²+у-90=0 (самостійно)

а= 1, в= 1; с=-90

Д= 1²-4*1*(-90)=1+360=361, Д>0

-1±√361

2

-1±19

2

,
х₁ =9 , х₂ =-10

Відповідь: -10, 9.
VІ. Підсумок уроку.
VІІ. Домашнє завдання. Вивчити § 21. Розв’язати № 435 (2,3) № 436 (1,2)

№ 437 (2,4) № 438 (1,2). Алгебра, 8 клас. О.Я. Біляніна, Н.Л. Кінащук,

І.М. Черевко Київ «Генеза», 2008р.
Урок 4

1 2 3

Схожі:

Тема: Квадратні рівняння. Теорема Вієта. НАВЧАЛЬНА МЕТА Вивчити теорему Віета та їй обернену, вміти застосовувати при знаходженні суми і добутку коренів зведеного квадратного рівняння,...	Урок №52 Тема. Теорема Вієта Вієта для зведеного квадратного рівняння та використати їх для формулювання і доведення теореми Вієта для квадратного рівняння...
Урок №54 Тема Тема. Підсумковий урок з теми «Квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта»	Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що...
Урок №21 Тема. Раціональні рівняння. Розв'язування раціональних рівнянь ОДЗ рівняння та схеми розв'язання дробового рівняння виду = 0, де А і В — деякі многочлени від однієї змінної; сформувати вміння...	Урок №60 Тема. Розв'язування задач Мета: сформувати уявлення в учнів про схему розв'язання текстових задач складанням квадратного рівняння; сформувати вміння застосовувати...
Урок 1 Тема: Рівняння з двома змінними Завдання уроку: Навчитись розрізняти рівняння з двома змінними, вивчити означення лінійного рівняння з двома змінними, розв’язків...	Правила виконання відсоткових розрахунків Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Застосування...
Лінійні рівняння з параметрами та рівняння, які зводяться до них Дидактична мета: сформувати в учнів поняття параметра, лінійного рівняння з параметром. Навчати іх дослідувати та розв’язки. Виробити...	Лінійне рівняння з двома змінними та його графік Рівняння не має розв’язків тому, що і модулЬ, І квадрат будь-якого числа додатній, то їх сума не дорівнює нулю і не перетвориться...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання