Діофант Історична довідка

Скачати 40.77 Kb.

Назва	Діофант Історична довідка
Дата	13.04.2013
Розмір	40.77 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

Діофант

Історична довідка

Діофант – видатний давньогрецький математик. Рік народження і дата смерті точно не встановлені. Вважають, що він жив в ІІІ - ІІ ст. до нашої ери. Про роки його життя можна дізнатися з алгебраїчної задачі, яка викарбувана на надгробній плиті його могили:

Прах Диофанта гробница покоит:

Дивись ей – и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком,

И половину шестой встретил

с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою

он обручился,

С нею пять лет проведя,

сына дождался мудрец,

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил-

Отнят он был у отца ранней

могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Т

ут и увидел предел жизни

печальной своей.

Достатньо розв’язати рівняння першого степеня з одним невідомим – і ми дізнаємося, що Діофант прожив 84 роки.

До наших днів дійшли два його твори - "Арифметика" і „Про многокутні числа”. Від другого твору залишилися лише уривки. «Арифметика» складається із 13 книг, із яких тільки 6 збереглися до наших днів. Вони містять 189 задач з розв’язками.

Діофанта поправу називають „батьком алгебри”.
Латинский переклад Арифметики (1621)

Сторінка і з Арифметики (рукопис XIV ст.). У верхньому рядку записане рівняння:

8х³-16х²=х³

Діофантові рівняння

Діофантовими рівняннями називають алгебраїчні рівняння з раціональними коефіцієнтами з вимогою визначити розв’язки у цілих або раціональних числах. Як правило, діофантові рівняння містять більше однієї невідомої величини, у зв’язку з чим їх ще називають невизначеними рівняннями.

Важливим класом діофантових рівнянь є лінійні рівняння з двома змінними виду , де

– цілі числа. Зрозуміло, що коли

не ділиться на спільний дільник чисел

та

, то таке рівняння не має розв’язків у цілих числах. Якщо ж

та

взаємно прості, то існує нескінченна множина розв’язків :

, де

– який-небудь один (частковий) із розв’язків,

. Справді, якщо

– розв’язок, то

. Віднімаючи цю рівність від заданого рівняння, дістанемо

, звідки

. Для того, щоб

було цілим, необхідно, щоб другий з доданків в останній рівності був цілим числом. Оскільки

та

– взаємно прості, то

має ділитись на

. Отже,

. Звідси і знаходимо всі цілочислові розв’язки

за вказаними вище формулами.

Іноді виникає потреба розв’язати рівняння з двома змінними в множині цілих чисел, тобто знайти тільки ті розв'язки, що є парами цілих чисел. Розділ теорії чисел, де вивчаються питання існування знаходження розв’язків рівнянь у цілих числах, називається теорією діофантових рівнянь.

Якщо а і b – взаємно прості натуральні числа, то існують такі числа х і у, що

ах – bу = 1.

Приклад. а = 5 , b = 3, тоді 5х – 3у = 1 має розв'язки

у =

, х = 7, у = 8.

Кожне просте число р виду р = 4n + 1 можна зобразити у вигляді суми квадратів двох цілих чисел.

Приклад. р = 17, тоді 17 = 4² + 1².

р = 25, тоді р = 4²+3².

Якщо а і b – взаємно прості натуральні числа, то існують такі числа х і у, що

ах – bу = 1.

Приклад. а = 5 , b = 3, тоді 5х – 3у = 1 має розв'язки

у =

, х = 7, у = 8.

Кожне просте число р виду р = 4n + 1 можна зобразити у вигляді суми квадратів двох цілих чисел.

Приклад. р = 17, тоді 17 = 4² + 1².

р = 25, тоді р = 4²+3².

 Задача.

Учневі прислали завдання, яке складається із 20 задач. За кожну правильно розв’язану задачу йому ставлять 8 балів, за кожну не вірно розв’язану задачу – мінус 5 балів. За задачу, яку він не брався розв’язувати, - 0 балів. Учень в сумі отримав 13 балів. Скільки задач він брався розв’язувати?

Нехай х – кількість правильно розв’язаних задач, у – неправильно розв’язаних. Тоді 8х – 5у = 13.

Це рівняння можна переписати у вигляді

8 (х + у) = 13(1 + у) ,

Тоді видно, що х + у ділиться на 13. За умовою х + у не більше 20, тому х + у = 13 і х = 6, у =

Приклад 1. Розв’язати у цілих числах рівняння

.

Розв’язання. Виразимо

через

.

Надаватимемо змінній

послідовних значень

, перебираючи всі можливі остачі від ділення

на

. Оскільки

та

– взаємно прості,

ділитиметься на

лише для одного такого

. Легко пересвідчитись, що таким значенням є

. Тоді

. Отже, всі розв’язки даного рівняння у цілих числах задаються рівностями

та

.

Зауважимо, що, виражаючи

через

при розв’язуванні останнього рівняння, ми могли б записати його також, у вигляді

. Зрозуміло, що тоді перевіряти подільність чисельника одержаного дробу на

x = 49 + 15n

у = - 140 - 43n, n-ціле число

Схожі:

Додаток 1 Історична довідка Винахідниками останнього вважають братів Янсенсів (кінець 16 ст.), або Галілео Галілея (поч. 17 ст.)	ІІ. Історична довідка (вчитель) Кавалер де Мере – пристрасть; гра в кості – закономірність – звернення до Б. Паскаля: «…з 4-ох підкидань кубика, що … найімовірніше...
“Харківський політехнічний інститут” Факультет військової підготовки Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут” (історична довідка)	Історична довідка Мелітопольського району Меліто́польський райо́н Меліто́польський райо́н розташований у південно-східній частині Запорізької області. Загальна площа — 1780 квадратних кілометрів,...
Історична довідка Мати Карла була дочкою каменяра; від природи вона була жінкою розумною, розважливою, доброю і веселою. Карл був її єдиною дитиною,...	Історична довідка про місце Ярослава Мудрого в історії Київської Русі Володимир Великий. При Володимирі Русь досягла найбільшої політичної могутності. Але в 1015 році найвидатніший діяч Київської держави...
Історична довідка про місце Ярослава Мудрого в історії Київської Русі Володимир Великий. При Володимирі Русь досягла найбільшої політичної могутності. Але в 1015 році найвидатніший діяч Київської держави...	Акт(довідка)документ-ої виїзної(невиїзної)перевірки склад Акт(довідка)документ-ої виїзної(невиїзної)перевірки склад:-протягом 5роб дн з дня що настає за днем закінч установл для проведення...
КУРСОВА РОБОТА Розвиток конституційної думки в Україні як історична передумова сучасної Конституції 5	ПЕРЕЛІК ОСНОВНИХ МАСОВИХ ЗАХОДІВ на 2010 рік Злука. Соборність. Воля Історична година до 90 р проголошення Злуки Закарпаття з Україною

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання