Задача може мати декілька розв’язків; покажемо, як знайти один з них
|
|
Скачати 174.19 Kb.
|
|
3. (Гоголєв Андрій) Знайти усі такі функції  , для яких для кожного дійсного  виконується умова: .Відповідь: таких функцій не існує. Розв’язання. Якщо підставити по черзі  та  , одержимо такі дві умови: та  ,які суперечать одна іншій. Звідси й випливає, що таких функцій не існує. 4. Задача 9-5. 5. (Ясінський В’ячеслав) Знайти усі пари натуральних чисел  , для яких числа  та  — квадрати цілих чисел.Відповідь:  .Розв’язання. Нехай  та  — такі натуральні числа, що виконується умова задачі. Без обмеження загальності будемо вважати, що  , тоді маємо такий ланцюг нерівностей:   .Розглянемо ці випадки. Якщо  або  , то після розкриття дужок та зведення подібних маємо рівність парного та непарного чисел:  або  , що неможливо.Отже,    . Перевіримо тепер, за яких умов  , де  — натуральне число.    .Залишається ефективно зробити перебір. Оскільки  , то цей множник може дорівнювати лише дільнику числа  , який не менше від  . Тобто можливі такі випадки:  ,  ,  ,  та . Розберемо їх послідовно.
Внаслідок симетрії маємо наведені розв’язки. 11 клас 1. Задача 10-1. 2. (Рубльов Богдан) Знайдіть два найменших послідовних натуральних числа, кожне з яких має суму цифр, яка кратна 11. Відповідь:  та  .Розв’язання. Якщо менше з цих чисел не закінчується на цифру 9, то їхні суми цифр відрізняються на 1, тому умову не задовольняють. Позначимо шукані числа таким чином:  та  . Тут число  не закінчується на цифру 9, тому число  має у порівнянні з останню цифру на 1 більшу,  . Позначимо через  суму цифр числа M. Позначимо також  . Тоді для деяких натуральних чисел  повинні виконуватись рівності:  ,  . Спочатку знайдемо найменше  , для якого це може виконуватись. Із заданих рівностей маємо, що ,  . (1)Підберемо найменше натуральне , для якого існує натуральне  , які задовольняють рівність (1). Зробимо це підбором:  ,  ,  ,  ,  . Легко зрозуміти, що підходять тільки вигляду  , де  — ціле невід’ємне. Тобто наступне значення, яке задовольняє рівність, — це  та  . Таким чином, очевидно, що найменше значення буде при  , тобто число закінчується рівно на п’ять цифр 9. залишається підібрати найменше значення , для якого . Це можливо при  , тобто сума цифр числа дорівнює 10; зрозуміло, що це найменше можливе значення для  , і відповідно будемо мати найменше значення для . Оскільки сума цифр числа 10, то найменше відповідне — двоцифрове. При цьому воно не повинно закінчуватись на 9, тобто це число  . Звідси шукані числа —  та  .3. (Нагель Ігор) Всередині трикутника  вибрали точку M, а на стороні  — точку  таким чином, що  . Коло, що проходить через точки  вдруге перетинає сторону  у точці N; коло, що проходить через точки  вдруге перетинає сторону  у точці Q. Доведіть, що  . Розв’язання. Проведемо відрізки  та  та продовжимо промінь  і виберемо на ньому довільну точку  (рис. 6). За побудовою чотирикутники  та  вписані, тому та  .Але тоді   .Тому чотирикутник  — вписаний. Крім того, за умовою це трапеція (або паралелограм), а тому це рівнобічна трапеція (або прямокутник). Звідси вона має рівні діагоналі, тому .4. (Лішунов В., Рубльов Б.) У фірми є  співробітників, кожний з яких має зарплатню  ,  . Керівник вирішив кожного місяця підвищувати їм зарплатню таким чином: одному на 1, іншому на 2, ..., останньому на (при цьому порядок, у якому працівники отримують підвищення, може бути різним). За яких умов на числа  , , він зможе за скінченну кількість кроків зробити зарплатню в усіх однаковою?Відповідь:  .Розв’язання. Спершу зауважимо, що за один місяць усі працівники в сумі отримують підвищення  .Нехай керівнику вдалося зрівняти зарплати, і після m місяців зарплатня в усіх стала однаковою й рівною деякому числу k. Тоді сума зарплат працівників з одного боку дорівнює сумі початкових зарплат та всіх підвищень, тобто  , а з іншого боку складає  . Тоді маємо рівності:  .Звідси  , і, отже, це є необхідною умовою для того, щоб керівник зміг зробити всі зарплати однаковими. Доведемо, що така умова є й достатньою, тобто якщо , то зробити зарплати однаковими справді можна.Покажемо спершу, що керівник може зробити так, щоб не лише подвоєна сума, а й сама сума зарплат усіх працівників ділилася на n (відразу або після кількох підвищень). Якщо n — непарне число, то   , тобто вже початкова сума зарплат ділиться на n.Хай тепер n — парне, тобто   . Нехай також  . Якщо l — парне, тобто   , то  , тобто початкова сума зарплат  ділиться на n. Залишається розібрати випадок, коли l непарне, тобто  . Тоді  , звідки  . Проведемо разове збільшення зарплат працівникам у довільному порядку. Після цього сумарна зарплатня складатиме .Отже, навіть якщо спочатку сума зарплат не ділилася на n, керівник уже після одного місяця зможе забезпечити виконання такої умови. Тепер можемо й будемо без втрати загальності вважати, що .Щоб зрівняти зарплати, керівник має повторювати таку операцію. На кожному наступному кроці слід вибрати працівника m з найменшою на даний момент зарплатнею та працівника M з найбільшою зарплатнею. При цьому якщо однакову найменшу чи найбільшу зарплату одержують відразу кілька працівників, можна вибрати довільного з них. Працівнику m першого після початку операції місяця треба збільшити зарплатню на 2, а другого місяця збільшити зарплату на n. Працівнику M першого місяця слід збільшити зарплатню на 1, а другого — на  . Решті працівників першого місяця можна підвищувати зарплатню довільним чином, і якщо i-й працівник одержав підвищення  , другого місяця він має отримати підвищення  . В підсумку у працівника m зарплатня збільшиться на  , у співробітника M — на n, а в решти працівників — на  . Така дія або зблизить мінімальну та максимальну зарплатню, або — якщо і найменшу, і найбільшу зарплату отримували відразу кілька працівників — зменшить кількість працівників із найменшою та найбільшою зарплатнею.Це означає, що після достатньої кількості повторень операції різниця між максимальною та мінімальною зарплатою не перевищуватиме 1, тобто  співробітників фірми отримуватимуть зарплату k, а решта  працівників матимуть зарплату  . Оскільки кожна операція триває два місяці, загальна сума підвищення протягом операції складає  , тобто ділиться на n. А оскільки початкова сума зарплат також була кратною n, то й остаточна сума зарплат усіх працівників повинна ділитися на це число. Названа сума дорівнює  , звідки  . Отже, після підвищень усі n працівників матимуть однакову зарплату k.5. (Добосевич Олесь) Для додатних чисел  доведіть нерівність: .Розв’язання. Нерівність, що потрібно довести, можна переписати як   .З нерівності Коші — Буняковського  .Доведемо допоміжну нерівність: для довільних додатних   .Внаслідок однорідності лівої частини можемо вважати, що  . При  справджується нерівність:  . Шляхом тотожних перетворень маємо, що це рівносильне   .Скористаємось цим твердженням.   .Таким чином,  , звідси далі маємо, що .Тоді отримуємо, що достатньо довести, що  .Якщо домножити обидві частини на знаменник дробу й розкрити дужки, це рівносильне такій нерівності:  ,що випливає з нерівності між середніми (Коші) для шести чисел:  .Нерівність доведена. |
, і маємо розв’язок: 
.
, і маємо розв’язок: 
.
— не цілі, тому для цього випадку розв’язків немає.
, і маємо розв’язок: 
.
Схожі:
|
Знайти невідому матрицю з рівняння Знайти будь-який базис і визначити розмірність лінійного простору розв’язків системи |
Задача 2 Задача (5 балів) На резисторі 3 Ом виділяється напруга 100 мВ. Знайти значення струму через резистор в мА і потужність в кВт |
|
УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння... Задача (З бали.) Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур.... |
Пояснювальна записка до проекту Закону України ПІБ може мати багато інших осіб в країні; і номер мобільного телефону без зазначення імені його власника, очевидно не є ПД. Проте... |
|
УРОК 5 Тема: Практичн Закріпити поняття про біоценоз, біогеоценоз, екосистему, ланцюг живлення; розглянути типи взаємозв’язків організмів у біогеоценозах... |
А згідно нової рекомендації №12267 в державних установах усіх членів... В 2010 році на українській гендерній конференції йшлося про те, що в Україні також хочуть відмінити слова батько і мати і замість... |
|
2. Задача Методом квадратичної інтерполяції знайти min F(x)=x2 4x,... Методом квадратичної інтерполяції знайти min F(x)=x2 4x, починаючи пошук з крапки х0=2 |
Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі? Задача Двоє по черзі кладуть п'ятаки на круглий стіл, причому так, щоб вони не накладались один на одного. Програє той, хто не може... |
|
Умови проведення виставку-конкурс "Український сувенір" Мета і завдання Автор може представити один або декілька зразків, композицію, набір тощо. Для участі у конкурсі можуть бути представлені не більше... |
Лінійне рівняння з двома змінними та його графік Рівняння не має розв’язків тому, що і модулЬ, І квадрат будь-якого числа додатній, то їх сума не дорівнює нулю і не перетвориться... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua