Уроком: №2

Скачати 81.83 Kb.

Назва	Уроком: №2
Дата	20.03.2013
Розмір	81.83 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Астрономія > Урок

УРОК 6

Тема уроку: Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної.

Мета уроку: Познайомити учнів з означенням похідної, вияснити механічний та геометричний зміст похідної.

І. Перевірка домашнього завдання.

Фронтальна бесіда за запитаннями № 1-5, 7-9 із “Запитання і завдання для повторення” розділу VII.
Перевірка правильності виконання домашніх вправ за записами на дошці, зробленими перед уроком:

№ 2

№ 9

.
II. Сприймання і усвідомлення поняття похідної.

На попередньому уроці ми розглянули розв'язування двох задач: знаходження миттєвої швидкості та знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Ці дві задачі розв'язуються одним і тим самим способом, який складається з таких етапів:

1) незалежній змінній х надаємо приросту Δх;

2) знаходимо приріст залежної змінної — Δу;

3) знаходимо відношення

;

4) знаходимо

використовується при розв’язуванні і інших важливих задач (зокрема, про швидкість протікання хімічних реакцій, знаходження густини неоднорідного стержня, теплоємності тіла при нагріванні, сили змінного струму в провіднику та інш.), тому доцільно всебічно вивчити властивості цієї границі, зокрема, вказати способи її обчислення.

Нехай задано функцію у = f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку х_о даного проміжку, надамо значенню х_о довільного приросту Δх (число Δх може бути як додатним, так і від'ємним), але такого, щоб точка х_о+Δх належала даному проміжку, тоді

1) Обчислимо в точці х_о приріст Δу = Δf(х_о) функції:

Δу = Δf(х_о) = f(x_o+ Δх) – f(х_о);

2) Складемо відношення:

.

3) Знайдемо границю цього відношення при умові, що Δх → 0, тобто:

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції у = f(x) в точці х_о і позначають f '(х_о) або у' (читається еф штрих від х_о або у штрих).

!Похідною функції у = f(x) в точці х_о називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = Зх² + 2 в точці х_о.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(х_о + Δx) – f(x_o) = 3(х_о + Δx)² + 2 - 3

- 2 =

= 3

+ бх_оΔx+ 3Δx² + 2 - 3

- 2 = 6х_оΔх+ 3Δx² = Δx(6x_ο + 3Δx).

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

.

Знайдемо похідну даної функції в точці х₀:

f '(х_o) =

= 6х_о + 3 · 0 = 6х_о.

Відповідь: 6х_о.

Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці x_o.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(х_о + Δx) – f(x_o) = k(x_o + Δx) + b - kx_o - b = kx_o + kΔx - kx_o = kΔx.

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

Отже, f '(х_o) =

= k, або (kx + b)' = k.

Відповідь: k.

З другого прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції є постійна величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Якщо в формулі (kx + b)' = k покласти k = 0, b = C, де С — довільна постійна, то одержимо, що С' = 0, тобто похідна постійної дорівнює нулю.

Якщо в формулі покласти k = 1, b = 0, то одержимо х' = 1.

Функцію, яка має похідну в точці х_о, називають диференційованою в цій точці.

Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Нехай D₁ — множина точок, у яких функція у = f(x) диференційована. Якщо кожному х

D₁ поставити у відповідність число f'(x), то одержимо нову функцію з областю визначення – D₁. Цю функцію позначають f':

Виконання вправ

1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:

а) f(x) = х² + 1 в точці 1; б) f(x) = х³ в точці 1;

в) f(x) =

в точці 1; г) f(x) =

в точці 1.

Відповідь: а) 2; б) 3; в) -1; г)

.

2. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:

a) f(x) = 2х + 3; б) f(x) = х² + х;

в) f(x) = 5х² + 6х; г) f(x) = 3х² + 5х + 6.

Відповідь: а) 2; б) 2х + 1; в) 10х + 6; г) 6х + 5.
3. За допомогою формули (kx + b)' = k, знайдіть похідні функції:

a) f(x) = 3х + 4; б) f(x) = 6х - 1;

в) f(x) = 10; г) f(x) = 5х.

Відповідь: а) 3; б) 6; в) 0; г) 5.
III. Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):

v(t) = s'(t).
Виконання вправ

1. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t² (м). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: 4

.

2. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

a) s(t) = 3t + 1; б) s(t) = 3 – 2t; в) s(t)=t²·, г)s(t) = 3t².

Відповідь: а) 3; б) -2; в) 5t; г) 6t.
3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t³ — 3t (s — шлях в метрах, t — час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:

а) в момент часу t; б) в момент t = 2 с.

Відповідь: а) (6t² – 3)

; б) 21

.

4. Рух точки відбувається за законом s(t) = t² – 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10?

Відповідь: а) t = 2; б) t = 7.
IV. Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної, рівняння дотичної.

Н

а попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці x_o дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x_o : f'(x_o) = k = tg α (рис. 27)

Розглянемо функцію у = f(x). Її графік зображено на рис. 27.

У точці М(x_o;y_o) проведено дотичну до кривої у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(x_o;y_o) дотику і рівняння у = f(x) кривої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: у = kx + b. Оскільки k = f'(x_o), тому рівняння дотичної має вигляд:

у = f'(x_o)x + b. (1)

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(x_o;y_o) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

у_о = f '(х_o) · х_o + b, звідси b = у_o – f '(x_o) · x_o.

Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одержимо:

у = f '(x_o) ·x + у_о – f '(x_o) · x_o y – y_о = f '(x_о )(x – x_o)·

Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(x_o; у_o) має вигляд:

y – y_о = f '(x_o)(x – x_o). (2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці x_o можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння (2) дотичної: y – y_о = f '(x_o)(x – x_o).

2. Знаходимо у_o = f(x_o)·

3. Знаходимо значення f '(x) у точці x_o: f '(x_o).

4. Підставляємо значення x_o, y_o і f '(x_o) y рівняння (2).
Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х² - 4х в точці x_o = 1. Виконайте схематичний рисунок.

Розв'язання

y - y_о = f '(x_o)(x – x_o) — рівняння шуканої дотичної.
у_o= 1² – 4·1 = 1 – 4 = - 3.
.

4. Підставляємо значення x_o = 1, y_o = –3, f'(x_o) = –2 у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х (рис. 28).

Виконання вправ.______________

1. Дотична до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою x_o утворює з додатним напрямом осі ОХ кут 45°. Знайдіть f'(x_о).

Відповідь: 1.

2. Відомо, що тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції у = f(x) в точці з абсцисою х_o = –1 дорівнює 3. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції в цій точці, якщо f(x_o) ⁼ 2.

Відповідь: у = 3x + 5.

3. Який кут (гострий чи тупий) утворює з додатним напрямом осі ОХ дотична до графіка функції: а) у = х² + 2х в точці x = 1; б) у = х² + 2х в точці x = -27

Відповідь: а) гострий; б) тупий.

4. Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х² - 2 у точці:

а) x_o = -2; б) x_o = 0; в) x_o = 1.

Відповіді: а) у = - 12х - 14; б) у = -2; в) у = 6х - 5.
V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ VII § 2. Запитання і завдання для повторення до розділу VII № 11—17. Вправи № 1 (1, 2), 3.

Роганін Алгебра 11 клас, урок 6

Схожі:

Уроком тематичної атестації Тема. Будова атома. Ізотопи. Поняття про радіоактивний розпад хімічних елементів і шкідливий вплив на живі організми радіоактивного...	Уроком. №4 Мета уроку: Познайомити учнів з операціями над подіями: подія, протилежна даній; сума подій; добуток подій. Вчити виражати складену...
Урок по темі «Тварини. Охорона тварин» Вч.: Сьогодні у нас незвичайний урок, тому що ми поєднаємо урок природознавства з уроком англійської мови. А щоб урок минув приємно,...	Які ж вимоги висуваються до сучасного кабінету історії Саме наявність підсобного приміщення дозволяє вчителю усамітнитися, відключитися, зосередитися та набратися сил перед черговим...
УРОКУ Тема: Розробка та вивчення будови моніторів на основі ЕПТ Структура уроку відповідала його типу та меті, відбувався взаємозв’язок між етапами, раціональний розподіл часу на всіх етапах, вчителька...	УРОКУ Тема: Розробка та вивчення будови моніторів на основі ЕПТ Структура уроку відповідала його типу та меті, відбувався взаємозв’язок між етапами, раціональний розподіл часу на всіх етапах, вчителька...
План-конспект інтегрованого уроку з української літератури та фізики... Організаційний момент ( 2 хв.) – привітання, перевірка присутніх, рефлексія (Який настрій у вас перед уроком?)	Уроком з української літератури для учнів 10 кл на тему: «Він більше працював, ніж жив…» «Він більше працював, ніж жив…» (до 150-річчя з Дня народження Бориса Грінченка), відповідає чинній програмі для загальноосвітніх...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання