На скільки частин ділять площину

Скачати 83.25 Kb.

Назва	На скільки частин ділять площину
Дата	30.03.2013
Розмір	83.25 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Астрономія > Документи

КОМБІНАТОРНА ГЕОМЕТРІЯ

На скільки частин ділять площину n прямих, якщо жодні дві з них
не паралельні і жодні три не проходять через одну точку?

Розв'язання

Нехай на площині проведено n-1 прямих, серед яких жодні дві не паралельні і жодні три не проходять через одну точку. Ці прямі розділяють площину на деяку кількість областей. Проведемо п пряму так, щоб були виконані умови задачі. Ця пряма точками перетину з попередніми л-1 прямими розділиться на п прямолінійних частин (n-2 відрізки і два промені). Кожна з цих прямолінійних частин розділить одну з областей, яку вже маємо, а саме ту, в якій вона міститься, на дві. Тому число областей, на які розділиться площина після проведення п прямої, збільшиться на n. Отже, число областей, на які розділяють площину n прямих, що задовольняють умову задачі, дорівнює

Яка найбільша кількість гострих кутів може бути в опуклому п-кутнику?

Розв'язання

Як відомо, сума зовнішніх кутів довільного опуклого многокутника дорівнює 360°. Тому в опуклому многокутнику не може бути більше трьох гострих кутів, оскільки в протилежному випадку такий многокутник мав би не менше чотирьох тупих зовнішніх кутів і їх сума перевищувала б 360°. Легко довести, що для кожного цілого n≥3 існує опуклий n-кутник, що має 3 гострі внутрішні кути.

На яке найбільше число частин можна розділити поверхню кулі трьома, чотирма і, взагалі, п колами?

Розв'язання

Очевидно, що п кіл будуть ділити поверхню кулі на найбільшу кількість областей, якщо всі ці кола будуть перетинатися між собою (тобто будь-які два з них будуть мати по дві спільні точки) і жодні три з них не будуть перетинатися в одній точці. Припустимо, що на сфері уже є k таких кіл. Вони розділяють сферу на деяку кількість областей. Проведемо k+1 коло з дотриманням вказаних умов і порахуємо, на скільки збільшиться число таких областей. Проведене коло перетинається з k колами у 2k точках, які розділяють його на 2k частин. Кожна з них розділяє область, в якій вона знаходиться, на дві частини. Отже, після проведення n-1 кола число областей збільшиться на 2k і n кіл розділять поверхні кулі на

областей.

Тисяча точок є вершинами опуклого тисячокутника, всередині якого взято 500 точок так, що жодні три з 1500 не лежать на одній прямій.
Многокутник розрізаємо на трикутники, вершини яких є задані 1500 точок. Скільки дістанемо трикутників?

Розв'язання

Нехай n — число трикутників. Зауважимо, що

180°n = 180°(1000 – 2) + 360° ∙ 500,

де в правій частині рівності перший доданок дорівнює сумі внутрішніх кутів тисячокутника. Звідси n = 1998.

Шахова дошка розміром 6x6 покрита 18 кісточками доміно (кожна
кісточка покриває дві клітини дошки). Доведіть, що незалежно від способу розміщення дошку завжди можна розрізати вздовж вертикальної чи горизонтальної прямої на дві частини, не пошкодивши жодної кісточки
доміно.

Розв'язання

Кожна кісточка доміно перекриває лише одну з 10 горизонтальних і вертикальних ліній, якими розкреслена дошка. З іншого боку, кожна така лінія перетинає парне число кісточок. Доведемо це від супротивного. Нехай, наприклад, деяка вертикальна лінія перетинає непарну кількість кісточок. Розріжемо дошку вздовж цієї лінії і розглянемо одну з двох утворених прямокутних дошок. Вона має парне число клітинок, а кількість клітинок, покритих розрізаними половинками кісточок, — непарна. Тоді нерозрізані кісточки покривають також непарне число клітинок (інакше загальне число клітинок дошки було б непарним). Це неможливо, оскільки кожна кісточка покриває дві клітинки. Припустимо тепер, що кожна із 10 ліній, що розглядаються, перетинає хоча б одну кісточку доміно. Тоді кількість кісточок, що кожна лінія перетинає, не менше ніж 2. Звідси випливає, що на дошці розміщено не менше ніж 20 кісточок доміно, що неможливо.

Операція ((.,.) ставить у відповідність кожній парі точок А, В на площині точку С = ((А,B)), яка симетрична А відносно В. Дано три вершини квадрата. Чи можна, використовуючи лише операцію ((.,.)), побудувати четверту вершину квадрата?

Розв'язання

Розглянемо на площині таку систему координат, в якій три вершини А, В, С даного квадрата мають відповідно координати (0; 0), (0; 1), (1; 0). Ці координати — цілі числа, причому хоча б одна з двох координат кожної з точок А, В, С є парним числом. Доведемо, що після довільної кількості операцій ((.,.)) отримана точка буде мати цілі координати, причому хоча б одна з них буде парною. Дійсно, нехай на якомусь кроці ми побудуємо точку Л(х; у) симетрично точці Р(х₁; у₁) відносно Q(x₂; у₂), причому отримані раніше точки Р і Q мають зазначену властивість. Тоді

, оскільки Q — середина відрізка PR. Отже, х = 2х₂ – х₁, у = 2у₂ – у₁. Звідси видно, що х і у — цілі, оскільки х₁, у₁, х₂, у₂ — цілі. Крім того, одне з чисел х₁, у₁ — парне за припущенням. Тому й відповідна координата х або у точки R — також парна. Отже, всі точки, які можна дістати із А, В, С з допомогою операції ((.,.)), мають цілі координати, одна з яких парна. Але координати четвертої вершини квадрата D(1; 1) непарні. Тому точку D дістати не можна.

На площині дано 100 точок A₁, А₂, ..., А₉₉, O. Жодні три з них не лежать на одній прямій. Через точку О проходить пряма так, що по один бік від неї лежать 48 точок. Чи існує пряма, що проходить через О, по один бік від якої лежать 49 точок?

Розв'язання

Така пряма завжди існує. Для доведення почнемо обертати дану в умові пряму, слідкуючи при цьому за різницею чисел точок, що лежать по один і по другий бік від цієї прямої. В початковий момент ця різниця дорівнювала 48 – (99 – 48) = –3. Зауважимо, що зазначена різниця за кожного досить малого повороту прямої або не змінюється, або змінюється тільки на 2. У першому випадку під час руху прямої на її шляху не зустрічаються точки, а в другому одна точка переходить з одного боку прямої на другий. Дві точки одночасно не можуть перейти на другий бік, оскільки жодні дві точки з даних не лежать на одній прямій з О. За повороту прямої на 180° введена різниця числа точок буде дорівнювати 3, оскільки півплощини, на які пряма ділить площину, поміняються місцями. Як зазначено раніше, зміна різниці може відбуватися приростами на 2 і на —2. Отже, в деякий момент часу ця різниця набувала значення +1, тобто по один бік прямої знаходилось 49 точок, а по другий — 50.

Діагоналями, які не перетинаються, опуклий n-кутник поділено на трикутники так, що кожна вершина n-кутника є вершиною непарного числа трикутників. Доведіть, що n ділиться на 3.

Розв'язання

Розфарбуємо трикутники у два кольори (чорний і білий) так, щоб будь-які два суміжні трикутники (які мають спільну сторону) були різних кольорів, можливість такого пофарбування можна довести методом математичної індукції. Тоді всі трикутники, які мають з многокутником спільну сторону, пофарбовані в один колір, наприклад білий. Тоді, очевидно, сторони многокутника будуть білими, а діагоналі чорно-білими. Якщо р — кількість трикутників білого кольору, a q — кількість трикутників чорного, то п = 3р – 3q = 3(р – q), тобто ділиться на 3.

На колі взято n точок і проведено всі можливі хорди, що сполучають
ці точки. Відомо, що жодні три з проведених хорд не перетинаються
в одній точці. На скільки частин розбивається круг?

Розв'язання

Сполучимо послідовно точки, взяті на колі хордами, і підрахуємо, на скільки частин розбивається діагоналями утворений n-кутник. Для цього діагоналі будемо проводити послідовно. Після проведення кожної діагоналі число частин збільшується на число, яке на одиницю більше від числа точок перетину, що з'являються після проведення однієї діагоналі. Число всіх діагоналей дорівнює

. А число точок перетину діагоналей n-кутника дорівнює

. Отже, круг розбивається

на

частин.

Кожна з граней правильного тетраедра фарбується одним із даних чотирьох кольорів. Два фарбування вважаються однаковими, якщо одне з них можна перевести в інше поворотом тетраедра навколо якої-небудь його осі. Скількома способами можна пофарбувати тетраедр?

Розв'язання

Занумеруємо кольори числами 1, 2, 3, 4. Одну грань тетраедра назвемо «нижньою», а інші — «бічними». Оскільки будь-яку грань можна сумістити з будь-якою іншою, повернувши тетраедр відносно осі, то можна вважати, що «нижня» грань пофарбована в колір 1. Поворотами осі, що проходить через центр «нижньої» грані, будь-яку з «бічних» граней можна зробити «передньою». Тому можна вважати, що передня грань пофарбована в колір 2. Тоді положення двох інших граней після нього визначається однозначно. Залежно від того, яку з цих граней пофарбовано кольором 3, матимемо два різні способи фарбування.
Задачі для самостійного розв'язування

На площині позначили:

а) 6 точок;

б) п точок, п >3. Відомо, пряма, що проходить через будь-які дві з цих
точок, містить ще одну позначену точку. Доведіть, що всі позначені точки лежать на одній прямій.

Шість секторів круга, кожний з кутів не більший від 6°, зафарбовані. Доведіть, що їх одночасно можна повернути навколо центра таким чином, щоб усі вони опинилися в незафарбованій частині круга.

Знайдіть найбільшу кількість замкнутих парканів, що не перетинаються, в місті з п будинками (паркан може відгороджувати один чи декілька
будинків, а також уже відгороджені ділянки; на території між будь-якими
двома парканами повинен знаходитись хоча б один будинок).

Доведіть, що при n ≥ 5 довільний прямокутник можна розбити на п
прямокутників так, щоб жодні два сусідні не утворювали разом прямокутник.

На площині дано 12 точок, відстані між якими не перевищують 3 см. Чи можна стверджувати, що серед цих 12 точок можна вибрати чотири таких, що всі відстані між ними не перевищують 2 см?

Розмістіть 6 точок на площині так, щоб кожні 3 із них утворювали рівнобедрений трикутник.

Скільки існує квадратів, вершини яких знаходяться у вузлах квадратної сітки всередині прямокутника 9x10, а сторони паралельні сторонам сітки?

На яку найбільшу кількість частин розбивають площину три прямокутники?

На круглому столі радіуса R лежать, не перетинаючись п монет радіуса r, і більше не можна покласти жодної монети. Доведіть, що .

На площині дано п точок, жодні три з яких не лежать на одній
прямій. Дозволяється з'єднувати точки відрізками так, щоб ці відрізки не
перетинались. Доведіть, що найбільша кількість відрізків, які можна про вести, не залежить від вибору пар з'єднуваних точок.

На площині проведено п прямих так, що жодні дві з них не паралельні,
а жодні три не мають спільної точки. Знайдіть кількість точок перетину цих прямих. Скільки трикутників утворюють ці прямі? На скільки частин розбивають площину ці прямі? Скільки серед них частин необмежених?

Клітини двох таблиць розміру 1982x1983 зафарбовані в червоний
і синій кольори так, що в кожному рядку і в кожному стовпчику парне
число синіх клітин. Одну з цих таблиць наклали на другу. При цьому одна
із синіх клітин сумістилася з червоною клітиною. Доведіть, що знайдуться
ще принаймні три клітини, покриті клітинами протилежного кольору.

Коридорами лабіринту є всі сторони і діагоналі опуклого л-кутника. Яку найменшу кількість ламп необхідно розмістити в лабіринті так, щоб повністю його освітити?

На прямій знаходяться павук і муха. Максимальна швидкість павука вдвічі більша від максимальної швидкості мухи, але він нічого не знає про місцезнаходження мухи до тих пір, поки вони не опиняються в одній точці. Чи зможе павук наздогнати муху?

На кожній з двох паралельних прямих позначено п точок і проведено кілька відрізків, що сполучають позначені точки різних прямих. Яку найбільшу кількість цих відрізків можна провести так, щоб вони не перетиналися всередині смуги між даними прямими?

Схожі:

Тема. Загальна характеристика частин мови ...	Урок- КВК Геометрія 7 клас Тема: Рівнобедрений трикутник, основні лінії трикутника” Відрізок АВ перетинають 5 паралельних прямих. На скільки частин вони поділяють цей відрізок? (6)
В ядрі атома Берилію 4 протони і 5 нейтронів. Скільки електронів в атомі Берилію? Бал) Скільки протонів і скільки нейтронів міститься в ядрі атома Полонію (84Ро210)?	Маркетингові інформаційні системи Всю сукупність маркетингових інформаційних систем ділять на наступні три категорії
Тема: «Будова атома» У ядрі атома натрію 23 частинки, з них 12 нейтронів. Скільки у ядрі протонів? Скільки атом має електронів, коли він електрино нейтральний...	Фактори та причини виникнення категорії дітей «групи ризику» Причому це середовище носить не скільки природний, біологічний характер, скільки соціальний, і від цих соціальних параметрів, в тому...
Цікаво,скільки ж миль я пролетіла ? Аліса. Цікаво,скільки ж миль я пролетіла ? І куди потрапила ? На якій широті та довготі перебуваю?	Тест з охорони праці Освітлення це: а потік світла, який падає на певну горизонтальну площину з джерела світла
У справі за конституційними поданнями 47 та 50 народних депутатів... України щодо відповідності Конституції України (конституційності) частин шостої, сьомої статті 218 Кримінально-процесуального кодексу...	Вчені-філософи ділять право на такі види Право абстрактне – гегелівський концепт, що позначає початкову форму розвитку суспільної та індивідуальної правосвідомості. На цьому...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання