Уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. 
   Що таке многогранник? Що називається гранями, ребрами, верши­нами многогранника?
   
2. 
   Які многогранники називаються опуклими?
   
3. 
   Дайте означення призми.
   
4. 
   Призма має n граней. Який многокутник лежить в її основі?
   
5. 
   Скільки діагоналей можна провести з однієї вершини в трикутній; чотирикутній; n-кутній призмі?
   
6. 
   Скільки плоских кутів у п'ятикутній призмі? Скільки двогранних кутів? Скільки тригранних кутів? (Відповідь. 30; 15; 10.)
   
7. 
   У трикутній призмі із двогранних кутів між бічними гранями два кути дорівнюють 20° і 120°. Знайдіть третій кут.
   
8. 
   Бічне ребро призми дорівнює l і нахилене до площини основи під кутом α · Знайдіть висоту призми.
   
9. 
   Чи існує призма, у якої тільки одне бічне ребро перпендикулярне до площини основи? Відповідь обґрунтуйте.
   
10. 
    Чи існує призма, у якої тільки одна грань перпендикулярна до пло­щини основи? Відповідь обґрунтуйте.
    

• 
  зображенням трикутника (рівностороннього, рівнобедреного, пря­мокутного) є довільний трикутник;
  
• 
  зображенням паралелограма (прямокутника, ромба, квадрата) є до­вільний паралелограм;
  
• 
  зображенням трапеції (рівнобічної, прямокутної) є трапеція, у якої відношення довжин основ дорівнює відношенню довжин основ зо­бражуваної трапеції;
  
• 
  зображенням довільного чотирикутника (не паралелограма і не тра­пеції) є довільний чотирикутник;
  
• 
  зображенням правильного шестикутника є шестикутник, у якого три пари протилежних сторін попарно рівні.
  

1. 
   Побудуйте чотирикутну призму, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з основами 1 і 3 см, а бічні ребра перпендикулярні до ос­нови призми.
   
2. 
   Побудуйте трикутну призму, у якої бічні ребра не перпендикулярні до площини основи призми. Проведіть висоту призми.
   
3. 
   Побудуйте трикутну призму, у якій одна із вершив верхньої основи проектується в центр кола, вписаного в нижню основу призми.
   

1. 
   Скільки діагональних перерізів можна провести в л-кутній призмі (n > 3) ?
   

2. 
   Доведіть, що діагональні перерізи призми — паралелограми.
   
3. 
   Доведіть твердження: якщо діагональні перерізи призми перетина­ються, то їх спільний відрізок паралельний бічному ребру.
   

2. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁ і точку М DD₁. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точки Α₁, С₁ і М, та знайдіть лі­нію перетину січної площини з площиною основи куба. (Відповідь. Пряма XY, рис. 33.)

3. Задано чотирикутну призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Побудуйте переріз приз­ми площиною MNK, де М ВВ₁, N АА₁, Κ СС₁ (рис. 34).

(Від­повідь. NMKFL — шуканий переріз, рис. 35.)

4. Побудуйте переріз куба ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через точки Μ, Ν, Κ— середини ребер A₁B₁, B₁C₁ і СС₁ відповідно.

(Відповідь. MNKFLS — шуканий переріз, рис. 36.)
МЕТОД ВНУТРІШНЬОГО ПРОЕКТУВАННЯ

Цей метод застосовується при побудові перерізів у тих випадках, коли не зручно знаходити слід січної площини (наприклад, слід одержується дуже далеко від даної фігури). Розглянемо застосування цього ме­тоду на прикладі.

Задача

Побудуйте переріз чотирикутної призми площиною, яка проходить че­рез точки Μ, Ν, Р, які належать її бічним ребрам АА₁, ВВ₁, СС₁ (рис. 37).

Розв'язання

Спроектуємо точки Μ, Ν і Р на площину нижньої основи, одержимо точки А, В, С. У чотирикутнику ABCD проведемо діагоналі АС і BD, які перетинаються в точці О (рис. 38). Через точку О проведемо пряму 00₁ ║ ВВ₁, яка перетинає МР в точці X. У площині BB₁D₁ проведемо пряму NX, яка перетинає ребро DD₁ в точці Q. MNPQ — шуканий переріз.

Суть методу внутрішнього проектування:

1) проектуються дані точки на площину основи, в площині основи бу­дується чотирикутник, у якого три вершини — проекції даних то­чок, а четверта — одна із вершин основи;

2) у площині перерізу будується прообраз точки перетину діагоналей одержаного чотирикутника;

3) будуються точки перетину січної площини з ребрами.


Задача

Точки К, L, Μ лежать на різних гранях довільної чотирикутної при­зми ABCDA₁B₁С₁D₁ причому Κ АВВ₁А₁, L ВСС₁В₁, Μ CDD₁С₁. По­будуйте переріз призми площиною KLM (рис. 39). (Відповідь. Рис. 40.)
III. Домашнє завдання

§ 5, п. 41; контрольні запитання № 13—14; задачі .№5, 7, 10 (с. 77).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1. 
   Якою фігурою е діагональний переріз призми? Поясніть, чому.
   
2. 
   Яка фігура є перерізом призми площиною, паралельною основам? Поясніть, чому.
   
3. 
   Які методи побудови перерізів вам відомі? У чому їх суть?