Тема уроку. Зрізана піраміда. Мета уроку

Формулюється й доводиться теорема 5.5 так, як це зроблено у підручнику. Після доведення теореми слід зробити і записати в зошити такі наслідки (рис. 89):

1. Переріз піраміди площиною, яка паралель­на до площини

основи, є многокутник, по­дібний даному: АВСD А₁В₁С₁D₁.

2. Бічні ребра і висота піраміди діляться пло­щиною, яка паралельна до основи піраміди, на пропорційні відрізки:

.

3. Площі перерізу і основи піраміди відносяться як квадрати їх від­станей від вершини: .

Оскільки АВСВD А₁B₁C₁D₁, то .

A₁SO ASO і A₁SB₁ ASB₁, тому і , звідси Отже, .

Розв'язування задач

1. 
   У піраміді проведено переріз паралельно до основи через середину висоти. Площа основи дорівнює S. Знайдіть площу перерізу. (Відповідь. .)
   
2. 
   На якій відстані від вершини піраміди з висотою h, потрібно провести переріз, паралельний до основи, щоб площа перерізу дорівнювала: а) ; б) ; в) площі основи? (Відповідь, а) ; б) ; в) .)
   
3. 
   У піраміді переріз, паралельний до основи, ділить висоту у відношен­ні 3 : 4 (в напрямку від вершини до основи), а площа перерізу менша площі основи на 200 см². Знайдіть площу основи. (Відповідь. 245 см².)
   
4. 
   Бічне ребро піраміди розділили на 10 рівних частин і через точки поділу провели площини, паралельні основі. Знайдіть площі пере­різів, якщо площа основи піраміди дорівнює 8. (Відповідь. 0,01 S; 0,04 S; ...; 0,81 S.)
   
5. 
   Площина, паралельна основі піраміди, ділить її висоту у відношен­ні 2 : 3 (починаючи від вершини). Знайдіть площу перерізу, якщо вона менша за площу основи на 84 см². (Відповідь. 16 см².)
   

Поняття зрізаної піраміди

Зрізаною пірамідою називається частина піраміди, що обмежена основою і січною площиною, яка паралельна основі.

Демонструються моделі зрізаних пірамід.

Паралельні грані зрізаної піраміди називають її основами, а всі інші — бічними гранями.

Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники, їх відповідні сто­рони попарно паралельні, тому бічні грані зрізаної піраміди — трапеції.

Висотою зрізаної піраміди називають перпендикуляр, проведе­ний із якої-небудь точки однієї основи на площину другої основи. Висотою зрізаної піраміди називають також відстань між площина­ми її основ.

Переріз площиною, яка проходить через два бічні ребра зрізаної піраміди, які не лежать в одній грані, називається діагональним.

Щоб побудувати зрізану піраміду, спочатку будують повну піраміду, проводять переріз, паралельний основі, а потім зайву верхню частину стирають (рис. 90).

Рис. 90

Розв'язування задач

1. Користуючись рис. 90, б, назвіть основи, бічні грані, бічні ребра, ребра основи зрізаної піраміди АВСDА₁B₁С₁D₁.

2. Побудуйте трикутну зрізану піраміду.

3. Периметр більшої із основ зрізаної піраміди дорівнює Р, площа її дорівнює S. Знайдіть периметр і площу меншої основи зрізаної пі­раміди, якщо відомо, що дана зрізана піраміда одержана в резуль­таті перетину площиною, паралельною основі повної піраміди, яка ділить висоту повної піраміди у відношенні 2: 3 (рахуючи від вершини). (Відповідь. ; .)

4. Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють 9 см² і 25 см². Знайдіть площу перерізу, проведеного через середину висоти піраміди пара­лельно основам. (Відповідь. 16 см².)

5. Через середину висоти зрізаної піраміди паралельно основам прове­дено переріз. Знайдіть площу перерізу, якщо площі основ дорівнюють Q₁ і Q₂. (Відповідь. .)

III. Домашнє завдання

§ 5, п. 49; контрольні запитання № 31—32, задачі № 53—55 (с. 80).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1. 
   Сформулюйте властивість площини, яка перетинає піраміду і пара­лельна основі піраміди.
   
2. 
   Що називається зрізаною пірамідою?
   
3. 
   Заповніть пропуски:
   

а) основи зрізаної піраміди — ...;

б) перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї основи зрі­заної піраміди на площину другої основи, називається...;

в) відстань між основами зрізаної піраміди називають...;

г) в зрізаній піраміді бічні грані — ...;

д) переріз площиною, що проходить через два бічні ребра зрізаної піраміди, які не лежать в одній грані, називається...

4. 
   Дано зрізану піраміду АВСА₁В₁С₁ (рис. 91). Укажіть, які із наведених тверджень правиль­ні, а які — неправильні:
   

а) площини АВС і А₁B₁С₁ паралельні;

б) всі грані зрізаної піраміди — трикутники;

в) всі грані зрізаної піраміди — трапеції;

г) висота бічної грані може дорівнювати ви­соті зрізаної піраміди;

д) трикутники АВС і А₁В₁С₁ рівні;

е) трикутники АВС і А₁B₁С₁ подібні;

є) довжина ребра АА₁ може дорівнювати висоті зрізаної піраміди;

ж) довжини ребер АА₁, ВВ₁, СС₁ не можуть бути рівними;

з) довжина ребра АС може дорівнювати довжині ребра А₁С₁.

Відповідь, а) Так; б) ні; в) ні; г) так; д) ні; е) так; є) так; ж) ні; з) ні.

Роганін геометрія 11 клас, урок 13