УРОК 8 Тема уроку


НазваУРОК 8 Тема уроку
Дата22.12.2013
Розмір85.5 Kb.
ТипУрок
bibl.com.ua > Математика > Урок
УРОК 8

Тема уроку: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій.

Мета уроку: Вивчення теорем про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходженні по­хідних.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Усне розв'язування вправ.

1) Знайдіть похідні функцій а) у = х10; б) у = ; в) у = ; г) у = х2 · х.

Відповідь: а) 10х9; б) – 9х -10; в) – 4х -5; г) 3х2.

2) Знайдіть похідні функцій:

а) у = sin х в точці х = ; б) у = cos х в точці х = ;

в) у = tg х в точці х = ; г) у = ctg х в точці х = .

Відповіді: а) 0; б) -; в) 4; г) -1.

2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконан­ня домашніх вправ.

II. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції.

!Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума

диференційована в цій точці і (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x). або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі по­хідних.

Доведення

Розглянемо функцію у = f(x) + g(x). Зафіксуємо хо і надамо аргументу приросту х. Тоді

у = у(хо + Δх) - у(хо) = fо + Δх) + gо + Δх) – fо) – gо) = fо + Δх) - fо) + + gо + Δх) – gо) = Δf + Δg,



Отже, (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних. Нехай у(х) = f(x) g(x), тоді f(x) = y(x) + g(x) і

f'(x) = у'(х) + g'(x), звідси у'(х) = f'(x) – g'(x).

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, тобто

(f1(x) + f2(x) +... + fn(x))' = f'1(x) + f'2(x) +... + f'n(x) .
Приклад. Знайдіть похідні функцій

а) f(x) = х3 – х2 + х – 4; б) f(x) = cos x + sin х + 5; в) f(x) = х6 + tg xctg х.

Розв'язання


а) f’(x) = (х3х2 + х4)' = (х3)' – (х2)' + (х)' – 4' = 3х2 2х +1 + 0 = 3х2 – 2х +1;

6) f'(x) = (cos х + sin х + 5) = (cos х)' + (sin х)' + 5' = – sin х + cos х + 0 = cosх – sinх. в) f'(x) = (х6 + tg х – ctg х)' = (х6)' + (tg х)' (ctg х)' =5 + =

= 6х5 + + = 6х5 += 6х5 += 6х5 +.

Відповідь: а) f’(x) = 3х2 – 2х +1; 6) f'(x) = cos x – sin x; в) f'(x)= 5 +.

Виконання вправ______________________________

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = x3 + х х4; б) у = sin х – cos x; в) у = х3 + tg х; г) у = ctg х. Відповідь: а) у= 3х2 + 1 – 4х3; б) у' = cos x + sin x;



2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці хо:

а) f(x) = sin x + х2, хо = 0; б) f(x) = cos x – 1, хо = ; в) f(x) = х2 + х – 7, хо = – 1.

Відповідь: а) 1; б) –; в) –1.

3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорів­нює 0:

a) f(x) = х3 х; б) f(x) = х2 + х; в) f(x) = х cos х?

Відповідь: а) x = ±; б) х = –; в) х =+ 2πn, n Ζ.

III. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку.

!Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також — диференційована функція в цій точці і

(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x),

або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції.

Доведення

Розглянемо функцію у = f(x) · g(x). Зафіксуємо хо і надамо аргументу приросту Δx, тоді

1) Δy = f(xо + Δx) · g(xо + Δx) – f(xо) · g(xо).

Оскільки f(xо+ Δx) = f(xо) + Δf, g(xо + Δx) = g(xо) + Δg, то

Δy = (f(xо)+ Δf) · (g(xо) + Δg) – f(xо) · g(xо) = f(xо) · g(xо) + f(xо) · Δg + Δf ·g(xо) + + Δf · Δgf(xо) · g(xо) = f(xо) · Δg + Δf ·g(xо) + Δf · Δg.





= f'(xо) · g(xо) + f(xо) · g'(xо) + f'(xо) · g'(xо) · 0 =f'(xо)·g(xо)+f(xо)·g(xо).

Отже, (f(x)· g(x))' = f'(x). g(x) + f(x). g'(x).

Наслідки

а) Постійний множник можна винести за знак похідної: (cf(x))' = cf'(x).

Дійсно, (cf(x))' = c'·f(x) + с·f'(x) = 0 · f(x) + с f'(x) = с f'(x).

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

(f(x) · g(x) · h(x))' = f'(x) · g(x) · h(x) + f(x) · g'(x) · h(x) + f(x) · g(x) · h'(x).

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х · sin x; б) у = 5x5 + 6х2 + 2х 7tg x; в) у = (x 1)(х + 2) · cos x.

Розв'язання

а) у' = (x sin x)' = x' sin x + x (sin x)' = 1 · sin x + x cos x = sin x + x cos x;

б) у' = (5x5 + 6х2 + 2х - 7 tg x)' = (5x5)' + (6х2)' + (2х)' – (7 tg x)' =

=5·(x5)' +6·(x2)' +2· x' -7·(tg x)' =5·5х4+6·2·x+2·1–7·=25x4+12x+2– ;

в) у' = ((x–1)(х+2)cosx)' = (x–1)'(x+2)cosx+(x1)(x+2)'cosx+(x1)(x+2(cosx)' = =1·(x+2)cosx+(x–1)·1·cosx+(x–1)(x+2)·(–sinx)=

=(x+2)cosx+(x–1)cosx-(x–1)(x+2)sinx=(2x+1)cosx-(x-1)(x+2)sinx.
Виконання вправ.

1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 3х2 - 5х + 6; б) у = -2х3 + 3cos x; в) y=5x2++3ctgx; г) y=3x·x2+9.

Відповідь: а) - 5; б) -6х2 - 3sinx; в) 10х - -; г) 9х2

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у =sinx; б) у = x2cos x; в) у = ; г) у = x2 sin х.

Відповідь: а) у' = + cos x; б) у' = 2х cos x x2 sin x;

в) у' = ; г) у' =2xsinx++х2cosx.

3. Знайдіть похідні функцій:

а) (x - 2)2 · x3; б) (x2 - х)(х3 + x).

Відповідь: а) 2(х - 2)х3 + 3(х - 2)2х2; б) (2х - 1)(х3 + x) + (x2 - х)(3х2 + 1).
IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій.

!Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці x і g(x)0, то функція у = диференційована в цій точці і .

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай у(х) = , тоді f(x) = у(х) · g(x). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, f'(x) = у'(х) · g(.x) + у(х) · g'(x). Виразимо з цією формули у'(х):

і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:

Отже,

Приклад. Знайдіть похідні функцій

Розв'язання





Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:



Відповідь:

2. Знайдіть похідні функцій:

Відповідь:

V. Підведення підсумків уроку.

При підведенні підсумків уроку доцільно скористатися табли­цею 5.

Таблиця 5



VI. Домашнє завдання.

Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23-27. Вправа № 10 (1-5, 7-8).




Роганін Алгебра 11 клас, урок 8

Схожі:

Урок 21 Тема уроку
Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині
УРОК №46 Тема уроку
Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки
УРОК №35 Тема уроку
Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними
УРОК 43 Тема уроку
Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислен­ня ймовірностей подій
УРОК 13 Тема уроку
...
УРОК №28 Тема уроку
...
Урок 1 Тема уроку
Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе
Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку
Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів
УРОК 33 Тема уроку
Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го сте­пеня і його властивості
Уроку: Урок
Тема уроку: Історія відкриття та освоєння материка. Практична робота №8 (продовження)
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка