УРОК 13 Тема уроку


Скачати 70.17 Kb.
НазваУРОК 13 Тема уроку
Дата22.12.2013
Розмір70.17 Kb.
ТипУрок
bibl.com.ua > Математика > Урок
УРОК 13

Тема уроку: Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Мета уроку: Вивчення формул тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел, формул тригонометричних функцій подвійного і половинного аргументу. Фор­мування умінь застосовувати вивчені формули для спрощення виразів та обчислень.

І. Перевірка домашнього завдання.

Розв'язання вправ, аналогічних до домашніх: вправа № 40 (11), 44 (3).

II. Сприймання і усвідомлення формул суми і різниці двох чисел.

1. Розглянемо, як пов'язані косинус різниці двох чисел із сину­сом і косинусом цих самих чисел.

На одиничному колі позначимо точки Рα і Рβ (α > β) проведемо вектори і , тоді (соs α; sіn α),

(соs β; sіn β) (рис. 101).

Знайдемо скалярний добуток векторів і , двома способами:

1) · = соs α · соs β + sіn α · sіn β;

2) · = · · соs (α – β) = 1·1соs (α – β) = соs (α – β).

Звідси маємо, що


соs (α – β) = соs α · соs β + sіn α · sіn β. (1)

Користуючись одержаною формулою, можна одержати інші формули:

соs (α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β; (2)

sіn (α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β; (3)

sіn (α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn β; (4)

(5)

(6)

Змінивши в формулі (1) β на –β і врахувавши, що соs(-β) = соs β, sіn(-β) = -sіnβ, одержимо

соs(α + β) = соs(α - (-β)) = соsα · соs(-β) + sіnα · sіn(-β) = соsα · соsβ – sіnα · sіnβ;

= sinα · cosβ + cosα · sinβ.

Таким чином,

sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β

Змінивши в останній формулі β на – β одержимо:

sin(α - β) = sіn α · соs(-β) + соs α · sіn(-β)

Звідси sіn(α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn β


Виведемо формулу тангенса суми чисел:

.

Отже

Змінивши β на – β, одержимо

Виконання вправ ____________________


1. Знайдіть значення виразів:

а) соs 42° соs 18° – sіn 42°sіn 18°; б) ;

в) sіn 56° соs 34° + соs 56° sіn 34°; г) ;

д) ; є) .

2. Спростіть вирази:

а) sіn(α + β) – sіn α · соs β; б) ;

в) .

Відповідь: а) соs α · sіn β; б) sіn 2α;

в) .

3. Обчисліть: а) соs 75°; б) tg 15°; в) сtg 75°; г) sіn ..

Відповідь: а) ; б) tg15° = tg (45° - 30°) = 2 - ; в) 2 - ; г) .

III. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій подвійного аргументу.

Демонструється таблиця “Тригонометричні функції подвійного аргументу” (табл. 6).

Таблиця 6
Тригонометричні функції подвійного аргументу

sіn 2α = 2sіn α соs α

соз 2α = соs2 α - sіn2 α
Коментарі вчителя

Виведемо формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2α через функції аргументу α.

Скористаємося формулою sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β.

Вважаючи β = α, маємо:

sіn 2α = 2sіn α · соs α.

Аналогічно із формули соs(α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β при α = β одержуємо:

соs 2α = соs2 α – sin2 α.

Із формули при β = α, маємо: .

Виконання вправ

1. Обчисліть:

а) 2sin15° соs15°; б) соs215° – sіn215°; в) ; г) (соs 75° – sіn 75°).

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Обчисліть sіn 2α, якщо а) sin α = ; < α < π; б) соs α = ; π < α < .

Відповідь: а) ; б) .

3. Спростіть:

а) sіn α соs α; б) соs α · соs ; в) 2соs23α – 1;

г) 1 – 2sin2 5α; д) соs 4α + sіn2 2α; є) sіn 2α + (sin α – соs α)2.




Відповідь: а) sin2α; б) sіn2α; в) соs 6α; г) соs 10α; д) соs2α; є) 1.

4. Доведіть тотожності:

а) 2соs2 α – соs 2α = 1; б) ;

в) ; г) .

IV. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій половинного аргументу.

За відомими значеннями тригонометричних функцій аргументу а можна знайти значення тригонометричних функцій аргументу якщо відомо, у якій чверті лежить кут α.

Із формули соs 2x = соs2х - sіn2x при х = , одержуємо:

соs α = соs2 – sіn2 . (1)

Запишемо основну тригонометричну тотожність у вигляді:

1 = соs2 + sin2. (2)

Складаючи почленно рівності (2) і (1) й віднімаючи почленно із рівності (2) рівність (1), одержуємо:

1+ соs α = 2соs2 ; (3)

1 – соs α = 2sіn2 . (4)

Формули (3) і (4) можна записати так:

(5)

(6)

Формули (5) і (6) називають формулами синуса і косинуса половинного аргументу. Ці формули називають також форму­лами зниження степеня.
Виконання вправ

1. Знайдіть числові значення виразу:

а) 2соs2 – 1; б) 1 – 2sin2 ; в) + 2sіn215°; г) - + 2соs215°. Відповідь: а) ; б) ; в) 1; г) 1.

2. Нехай соs α = 0,6 і 0 < α < . Обчисліть: а) sin ; б) соs ; в) tg .

Відповідь: а) ; б) ; в) .

3. Обчисліть: а) sіn 15°; б) соs 15°; в) tg 22°30'.

Відповідь: а) ; б) ; в) .

4. Спростіть:

а) ; б) .

Відповідь: а) 2соs α; б) tg α.

5. Доведіть тотожності:

а) ; б) ; в) .
V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ І § 10 (1; 3; 4). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 63—65, 67, 68. Вправа: № 51 (1, 2, 3, 6, 7). Розгля­нути приклади 1 (1-4), 2 (1-5), 3 (1-4), стор. 77-82.




Роганін Алгебра 10 клас, Урок 13

Схожі:

Урок 21 Тема уроку
Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині
УРОК №46 Тема уроку
Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки
УРОК №35 Тема уроку
Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними
УРОК 43 Тема уроку
Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислен­ня ймовірностей подій
УРОК №28 Тема уроку
...
Урок 1 Тема уроку
Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе
Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку
Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів
УРОК 33 Тема уроку
Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го сте­пеня і його властивості
Уроку: Урок
Тема уроку: Історія відкриття та освоєння материка. Практична робота №8 (продовження)
УРОК 4 Тема уроку
Мета уроку: Познайомити учнів з поняттям неперервності функції в точці та на проміжку
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка