Застосування методів математичного аналізу ПОНЕДІЛОК НАЙБІЛЬШЕ І НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ Пригадати

Дванадцятий тиждень. Застосування методів математичного аналізу ПОНЕДІЛОК НАЙБІЛЬШЕ І НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ Пригадати: як знайти критичні точки функції; алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку. ymax = f(a), ymin = f(b). ymax = f(x2), ymin = f(x1). ymax = f(x2), ymin = f(b). ymax = f(a), ymin = f(x1). Приклади Знайти найбільше і найменше значення функції на даному про­міжку. f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10; [-3;3]. 1) Функція f(x) неперервна на відрізку [-3;3]. 2) f '(x) = 6x2 – 6х – 12 = 6(х2 – х – 2), х2 – х – 2 = 0, х1 = -1 [-3;3], x2 = 2 [-3;3]. 3) f(-3) = -35, f(-1) = 17, f(2) = -10, f(3) = 1. 4) ymin = f(-3) = -35, ymax = f(-1) = 17. f(x) = х + ; [-2; 2]. 1) Функція f(х) має розрив у точці 0 [-2;2]. Якщо х → 0, х + → ∞. Тому найбільшого значення функція f(x) на відрізку [-2; 2] не досягає. 2) , , х = [-2;2]. 3) f(-2) = - 1,75, , f(2) = 2,25. 4) ymin = f(-2) = -l,75, ymax не існує. В арифметичній прогресії шостий член дорівнює 3, а різниця прогресії більша від 0,5. Для якого значення різниці цієї прогресії добуток першого, четвертого і п'ятого її членів є найбільшим? Розв'язання Позначимо шукану функцію через у: у = а1а4а5, у = а1(a1 + 3d)(a1 + 4d), а6 = а1 + 5d, а1 = а6 – 5d, a1 = 3 – 5d . y = -10d3 + 51d2 – 72d + 21, y' = -6(5d2 – 17d + 12), 5d2 – 17d + 12 = 0, d1 = 1; d2 = 2,4. Оскільки за умовою d > 0,5, то досліджуємо поведінку функції у на інтервалі (0,5; ∞). d (0,5; 1) 1 (1; 2,4) 2,4 (2,4; ∞) y' — 0 + 0 — y min max На інтервалі (0,5; ∞) є лише одна точка максимуму, а саме d = 2,4, де функція досягає найбільшого значення. Вправи Знайти найбільше і найменше значення функції на даному про­міжку: 1) , [2; 4]; 2) , [-1; 4]; 3) , [1; 3]; 4) , [-2; 1]; 5) f(x) = (x2 – 1)(x + 1), [-2; 0]; 6) , [-3; 0]. Число 60 подати у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб сума їх квадратів була найменшою. Число 20 записати у вигляді суми двох невід'ємних доданків так, щоб добуток одного з них на куб іншого був найбільшим. Розкласти число 6 на два невід'ємних доданки так, щоб добуток їх квадратів був найбільшим. Якими мають бути сторони прямокутника з периметром 72 см, щоб його площа була найбільшою? Якими мають бути сторони прямокутника з площею 144 см2, щоб його периметр набував найменшого значення? З усіх прямокутників з діагоналлю 4 дм знайти той, площа якого найбільша. З усіх прямокутних трикутників, вписаних у коло радіуса R, знайти той, площа якого найбільша. Для перевезення овочів необхідно виготовити ящики без кри­шок, що мають форму прямокутного паралелепіпеда. Об'єм кожного ящика 40,5 дм3, висота 2 дм. Якими повинні бути розміри основи ящика, щоб на його виготовлення було витрачено найменшу кількість мате­ріалу? Число 180 розкласти на три додатних доданки так, щоб два з них відносились як 1 : 2, а добуток трьох доданків був найбільшим. Знайти число, яке б перевищувало свій квадрат на максималь­не значення. Відомо, що потужність Р, яку віддає електричний елемент, визначається за формулою , де Е - стала електрорушійна сила елемента, r — сталий внутрішній опір, R — зовнішній опір. Яким має бути зовнішній опір R, щоб потужність Р була найбільшою? Знайти найбільше і найменше значення функції на даному проміжку: 1) , ; 2) f(х) = х2 · e2x; [-2; 1]; 3) f(x) = -x3 + 3x |x – 3|, [0; 4]; 4) f(x) = |x2 – x – 2| + lnx, [1; 3]. Знайти найменше значення функції на відрізку [0;3].

Схожі: