Емпіричні критерії — це звичайні тести, в яких під час обчислення статистичних даних використовують вибіркові значення ri, що виробляються генератором.
Теоретичні критерії не є тестами в тому розумінні, в якому вони передбачаються в математичній статистиці. У разі їх використання не потрібна послідовність випадкових значень ri,. Глобальна оцінка властивостей генератора формується на основі числових значень його параметрів. Теоретичні критерії визначають характеристики послідовності за допомогою методів, які ґрунтуються на рекурентних правилах створення послідовності.
Відомо одинадцять емпіричних критеріїв [23], що застосовуються для перевірки статистичних властивостей послідовностей дійсних чисел ri,, і = 1, 2, ..., які вважаються незалежними та рівномірно розподіленими в інтервалі [0, 1].
Для оцінювання наближеності отриманого розподілу до рівномірного застосовують чотири типи тестів:
частотний — з використанням або критерію Колмогорова- Смирнова, або критерію 2;
автокореляційний — з вимірюванням кореляції між хn і xn+k, де k – зсув по послідовності (k = 1, 2, 3, ...);
серіальний — з фіксацією частоти появи всіх можливих комбінацій чисел (по 2, по 3, по 4 рази) і виконанням оцінювання за критерієм 2;
циклічний — з перевіркою кількості циклів більше і менше деякої константи, за яку береться значення математичного сподівання із підрахунком істинного числа циклів різної довжини, що порівнюється за критерієм 2 з очікуваним числом циклів.
Серед інших критеріїв важливу роль відіграє спектральний критерій, який застосовується для перевірки конгруентних генераторів випадкових чисел. Вважається, що цей тест найбільш потужний. Спектральний тест використовують для перевірки гіпотези про рівність сумісних розподілів t послідовних елементів випадкової послідовності. Якщо задано послідовність {ri} з періодом m, то для перевірки за цим тестом необхідно проаналізувати множину всіх m точок
у t-вимірному просторі.
4.4. Моделювання випадкових подій та дискретних величин
У разі дослідження складних систем методом статистичних випробувань необхідно мати можливість отримувати за допомогою комп'ютера вибіркові значення випадкових величин, які мають різні закони розподілу. Випадкові величини зазвичай моделюють за допомогою перетворення одного або кількох незалежних значень випадкової величини R, рівномірно розподіленої в інтервалі [0, 1], що позначаються як ri, і = 1, 2, ... (ri [0, 1]). Значення ri генерують, як звичайно, за допомогою програмних генераторів випадкових чисел.
4.4.1. Незалежні випадкові події
Припустимо, що ймовірність настання деякої елементарної випадкової події А в одному випробуванні дорівнює Р(A) = р. Вважається, що умови проведення кожного випробування однакові і його можна повторити нескінченну кількість разів. Якщо ri — це значення рівномірно розподіленої в інтервалі [0, 1] величини, то можна стверджувати, що за умови ri р (рис. 4.4) настане подія А, а якщо ri > р, то відбудеться подія  .
Рис. 4.4. Моделювання настання випадкових подій
Дійсно, якщо f(r) — функція щільності рівномірно розподіленої випадкової величини r, то
Ця модель добре описує такі події, як обслуговування вимоги в пристрої СМО, що може бути вільним або зайнятим, успішну або ні спробу виконання деякого завдання, влучення або ні в ціль, розгалуження потоків інформації у двох і більше напрямках. У деяких мовах для моделювання випадкової події використовується спеціальний блок (наприклад, у мові GPSS – блок TRANSFER, який працює в статистичному режимі [68]).
4.4.2. Група несумісних подій
Нехай є група несумісних подій А1, А2, ..., Аk, настання яких необхідно дослідити. Відомі ймовірності настання цих подій р1 = Р(А1), р2 = Р(А2), р3 = Р(А3), ..., рk = Р(Аk). Якщо події несумісні, то
Припустимо, що р0 = 0. На відрізку [0, 1] числової осі відкладемо значення цих імовірностей (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Моделювання групи несумісних подій
Якщо отримане від генератора випадкових чисел значення ri потрапляє в інтервал від  до  , вважаємо, що відбулася подія Аi. Таку процедуру називають визначенням результату випробування за жеребом. Вона ґрунтується на формулі
де p0 = 0.
Ця модель часто використовується в теорії прийняття рішень і добре відтворює процеси вибору однієї з багатьох альтернатив у комп'ютерних іграх, розгалуження потоків інформації у вузлах мережі в кількох напрямках, вибір одного з багатьох пристроїв для обслуговування в СМО і т. ін.
4.4.3. Умовна подія
 Рис. 4.6. Моделювання настання умовної події
Умовна подія А – це подія, яка відбувається з імовірністю Р(A/B) тільки за умови, що настала подія В (рис. 4.6). У цьому разі має бути задана ймовірність Р(В) настання події В. Моделювання настання умовної події А провадиться таким чином. Спочатку випадкове число r1, отримане від генератора випадкових чисел, використовується для моделювання настання події В. Подія В настає в тому випадку, якщо справджується нерівність r1 Р(В). Настання події А моделюється за допомогою числа r2. Для цього перевіряється умова r2 Р(A), за виконання якої приймається рішення, що подія А відбулася. Якщо ж подія В не відбулася (тобто настає подія  ), то настання події А моделювати не потрібно. Таким чином, можна скоротити загальну кількість випробувань.
4.4.4. Випадкова дискретна величина
Одне з основних понять теорії ймовірностей — дискретна випадкова величина X, яка набуває конкретних значень хi з імовірністю pi. Ці випадкові величини називають цілочисловими. Якщо можливі значення випадкової величини становлять скінченну послідовність, то розподіл імовірностей випадкової величини визначають, задаючи значення x1, x2, ..., xn, і відповідних їм імовірностей p1, p2, ..., pn. Моделювання випадкової дискретної величини виконується аналогічно моделюванню групи несумісних подій, тобто випадкову величину X подають як повну групу подій:
Для моделювання дискретної випадкової величини X зручно використовувати дискретну кумулятивну функцію. Для цього аналізують можливі значення випадкової величини X і будують гістограму розподілу можливих значень.
Побудову і використання кумулятивної функції розглянемо на прикладі моделювання процесу введення даних під час роботи текстового терміналу. В табл. 4.1 наведено результати, які відображають результати спостереження за об'ємом інформації, яка вводиться з терміналу під час обробки одного повідомлення.
Таблиця 4.1. Результати спостереження за об'ємом введеної з терміналу інформації
Кількість символів
|
Розподіл
(частка повідомлень зазначеної довжини)
|
Кумулятивний розподіл
(частка повідомлень зазначеної або меншої довжини)
|
Менше 6
|
Відсутній
|
Відсутній
|
6 – 10
|
0,390
|
0,390
|
11 – 15
|
0,214
|
0,604
|
16 – 20
|
0,186
|
0,790
|
21 – 25
|
0,140
|
0,930
|
26 – 30
|
0,070
|
1,000
|
Більше 30
|
Відсутній
|
1,000
|
На рис. 4.7 і 4.8 зображено відповідно гістограму та кумулятивну функцію розподілу наведених у табл. 4.1 даних.
Слід звернути увагу, що висота кумулятивної функції за заданих значень кількості символів дорівнює сумі значень, наведених на рис. 4.7. Для того щоб під час імітаційного моделювання роботи терміналу відтворити кількість символів, які вводяться з клавіатури, необхідно згенерувати випадкове число з діапазону від 0 до 1 (значення по вертикальній осі), а потім на горизонтальній осі визначити кількість уведених символів, які відповідають цьому числу. Наприклад, якщо випадкове число дорівнює 0.578 (див. рис. 4.8), то кількість символів, уведених з терміналу, можна прийняти таким, що дорівнює 11. Цей підхід ілюструє метод оберненої функції, згідно з яким спочатку генерується випадкове рівномірно розподілене число ri, що задає значення кумулятивної функції розподілу, за яким потім визначається значення аргументу функції  , і = 1, 2, ..., n, де  — обернена до F функція.
|
|
Рис. 4.7. Гістограма розподілу довжини повідомлень
|
Рис. 4.8. Кумулятивна функція розподілу довжини повідомлень
|
На практиці часто застосовують дискретні випадкові величини, що набувають лише невід'ємних значень j = 0, 1, 2, ..., k, …, n з імовірностями р0, p1, …, pk, …, pn, тобто функція розподілу дискретної величини х має вигляд
У цьому випадку обернену функцію можна записати як
|
(4.3)
|
де згідно з умовою F(–1) = 0.
4.4.5. Геометричний розподіл
Для моделювання випадкової величини X з геометричним розподілом необхідно задати таблицю її значень та їх ймовірність (табл. 4.2).
Таблиця 4.2. Значення ймовірності геометричного розподілу випадкової величини
Значення X
|
0
|
1
|
2
|
…
|
n
|
Імовірність
|
|
|
|
…
|
|
Прикладом випадкової величини з таким розподілом може бути загальна кількість випробувань, які потрібно провести до першого успішного випробування, наприклад кількість пострілів, які потрібно виконати до першого влучення в ціль.
Загалом, ймовірність того, що випадкова величина приймає значення k, визначається за формулою
Для моделювання випадкової величини з геометричним розподілом можна скористатися табл. 4.2 або методом оберненої функції (4.3), але за великих n такі підходи потребують багато комп'ютерного часу. З цієї причини для отримання значення випадкової величини з геометричним розподілом використовують таку формулу [15]:
У вшценаведеному виразі дужки  означають цілу частину виразу. Справді,
  
так як випадкова величина r розподілена рівномірно в інтервалі [0, 1].
4.4.6. Біноміальний розподіл
Біноміальний розподіл, або розподіл Бернуллі, – це розподіл дискретної випадкової величини, яка приймає два і тільки два значення: 1 – «true», або «істина», та 0 — «false», або «хибність». Цей розподіл показує ймовірність настання деякої події за n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія настає з імовірністю р, тобто ймовірність s успішних наслідків у n випробуваннях
Функція розподілу ймовірності має такий вигляд:
Залежно від значення n можна вибрати один із двох способів моделювання випадкової величини з біноміальним розподілом. За невеликих n значення випадкової біноміально розподіленої величини визначається як кількість чисел у послідовності {ri} з n чисел, які не перевищують значення р. Припустимо, що потрібно отримати випадкову величину, яка належить біноміальному розподілу з параметрами n = 7 і р = 0,3. Для цього спочатку генеруємо послідовність із семи значень ri: {0,0234; 0,1234; 0,7459; 0,0341; 0,8451; 0,1905; 0,5302}, а потім рахуємо ті з них, які менші ніж р. У даному випадку в послідовності тільки чотири значення менші, ніж 0,3. Таким чином, значення випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом, дорівнює 4.
За великих значень n і малих р можна діяти таким чином. Генеруємо рівномірно розподілені випадкові числа ri доти, доки не виконається умова
|
(4.4)
|
де u0 та uj+1 задаються виразами
Значення випадкової величини з біноміальним розподілом дорівнює кількості випробувань n, які необхідно провести, доки не буде справджуватись умова (4.4).
4.4.7. Розподіл Пуассона
Випадкову величину з розподілом Пуассона можна отримати, якщо припустити, що кількість незалежних випробувань n у біноміальному розподілі прямує до нескінченності, а ймовірність успішного випробування р — до нуля, причому добуток  є незмінним і дорівнює . Функція щільності розподілу Пуассона задається виразом
Таким чином, розподіл Пуассона є граничним випадком біноміального та описує випадкові події, які мають місце дуже рідко. На практиці згідно з біноміальним законом розподілені кількість дефектів у готовому виробі та кількість аварій на транспорті за деякий тривалий проміжок часу, кількість дзвінків у телефонній мережі за одиницю часу та ін.
Щоб отримати випадкову величину s з розподілом Пуассона, генеруємо послідовність рівномірно розподілених випадкових чисел ri і знаходимо їх добуток, перевіряючи нерівність
|
(4.5)
|
У разі виконання умови (4.5) число n – 1 і є випадковою величиною, що належить сукупності, розподіленій за законом Пуассона з математичним сподіванням . Якщо умові (4.5) відповідає перше із чисел ri, то значення випадкової величини s дорівнює 0.
4.5. Моделювання неперервних випадкових величин
Існує кілька методів моделювання значень неперервних випадкових величин з довільним законом розподілу на основі випадкових чисел, рівномірно розподілених у інтервалі [0, 1]: метод оберненої функції, метод відсіювання, наближені методи тощо.
4.5.1. Метод оберненої функції
Розглянемо метод моделювання випадкової величини, яка має функцію щільності ймовірностей f(x) і монотонно зростаючу функцію розподілу F(x) (рис. 4.9). Суть методу така. За допомогою генератора випадкових чисел генеруємо значення випадкової величини ri, якому відповідає точка на осі ординат. Значення випадкової величини xi з функцією розподілу F(x) можемо одержати з рівняння F(xi) = ri.
|