4 Метод статистичних випробувань Метод статистичних випробувань


Назва4 Метод статистичних випробувань Метод статистичних випробувань
Сторінка4/31
Дата08.04.2013
Розмір2.04 Mb.
ТипЛекция
bibl.com.ua > Інформатика > Лекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   31

Рис. 4.9. Використання методу оберненої функції для генерування
неперервної випадкової величини

Дійсно, якщо на осі ординат відкласти значення ri випадкової величини, розподіленої рівномірно в інтервалі [0, 1], і на осі абсцис знайти значення xi випадкової величини (рис. 4.9), при якому F(xi) = ri, то випадкова величина буде мати функцію розподілу F(х). За визначенням функція розподілу F(x) випадкової величини X дорівнює ймовірності Р(Х < х):



Таким чином, послідовність випадкових чисел r1, r2, r3, ... перетворюється на послідовність x1, x2, x3, ..., яка має задану функцію щільності розподілу f(х). Звідси випливає загальний алгоритм моделювання випадкових неперервних величин, що мають задану функцію розподілу ймовірностей:

  • генерується випадкове число ri  [0, 1];

  • обчислюється випадкове число xi, яке є розв'язком рівняння



Приклади застосування методу наведені нижче.

4.5.2. Рівномірний розподіл

У загальному випадку випадкова величина X є рівномірно розподіленою на відрізку [а, b], якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд



Функцію розподілу ймовірностей можна знайти як



тобто



Графіки функцій щільності f(x) та ймовірності F(x) зображено на рис. 4.10.



Рис. 4.10. Функції щільності (а) і розподілу (б) рівномірно розподіленої випадкової величини

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини X визначаються як



Для моделювання випадкової рівномірно розподіленої на відрізку [а, b] величини можна скористатись методом оберненої функції. Обчислимо функцію розподілу випадкової величини та прирівняємо її до значення ri:



Звідси знаходимо значення випадкової величини з функцією розподілу f(х):



Цю формулу також можна отримати, якщо виконати лінійне перетворення інтервалу [0, 1] у відрізок [а, b]. Для цього потрібно змінити масштаб функції рівномірного розподілу, помноживши її на (b – а), а потім змістити її на величину а.

Функція рівномірного розподілу широко застосовується для моделювання випадкових величин, для яких функція розподілу невідома, а відоме лише її середнє значення. У такому випадку припускають, що відомими є середнє значення випадкової величини та деяке розсіювання  її значень відносно середнього. Це дає змогу стверджувати, що дана випадкова величина має рівномірний розподіл. У мові GPSS такий розподіл часто використовується в блоках ADVANCE для моделювання затримки проходження інформації або під час генерування потоків транзактів у блоках GENERATE. Наприклад, щоб згенерувати потік транзактів, які надходять у модель кожні 5  2 хв, використовується блок GENERATE 5, 2.

4.5.3. Експоненціальний розподіл

Експоненціальний закон розподілу набув широкого використання в теорії надійності складних систем. Функція щільності експоненціального розподілу випадкової величини має вигляд



Для її моделювання скористаємося методом оберненої функції. Маємо



(4.6)

З виразу (4.6) знаходимо значення хi:



Можна показати, що випадкові величини (1 – ri) мають такий самий розподіл, що і величини ri . Тоді, замінивши (1 – ri), на ri отримаємо



Випадкові величини з експоненціальним розподілом широко застосовуються в задачах моделювання та аналізу СМО, наприклад під час моделювання процесів виходу з ладу та ремонту обладнання, які виникають у складних системах, у разі визначення інтервалів часу між послідовними викликами абонентів у телефонній мережі або замовлень від незалежних клієнтів у будь-якій мережі обслуговування (швидка допомога, служби ремонту, виклик таксі і т. ін.)

Покажемо ще один підхід до моделювання випадкової величини, розподіленої за експоненціальним законом, з використанням методу оберненої функції, який прийнятий у мові GPSS [68]. Цей підхід передбачає заміну функції розподілу ймовірностей кусково-лінійною апроксимуючою функцією.

Розглянемо найпростіший випадок, коли = 1. Апроксимуємо функцію експоненціального розподілу лінійними відрізками таким чином, щоб кожний відрізок можна було використовувати для моделювання за допомогою методу оберненої функції. У мові GPSS функція розподілу апроксимована 23 відрізками. Точки апроксимації xі та значення функції F(хі) у цих точках наведені в табл. 4.3.

Таблиця 4.3. Вузли та значення апроксимованої функції

xі

F(xі)

xі

F(xі)

xі

F(xі)

xі

F(xі)

xі

F(xі)

xі

F(xі)

0

0

0,4

0,509

0,75

1,38

2,3

0,9

3,2

0,96

5,3

0,995

0,1

0,1

0,5

0,69

0,8

1,6

2,52

0,92

3,5

0,97

6,2

0,998

0,2

0,222

0,6

0,915

0,84

1,83

2,81

0,94

3,9

0,98

7

0,999

0,3

0,355

0,7

1,2

0,88

2,12

2,99

0,95

4,6

0,99

8

0,9998

На рис 4.11 зображено лінійну апроксимацію експоненціальної функції розподілу F(x) з параметром = 1, а на рис. 4.12 — функцію, обернену до неї. Перша функція відображає задані в табл. 4.2 значення, а друга використовується під час моделювання випадкових величин з експоненціальним розподілом.



Рис. 4.11. Апроксимація експоненціальної функції розподілу



Рис. 4.12. Обернена функція до апроксимованої

За необхідності моделювання випадкової величини X, розподіленої за експоненціальним законом з математичним сподіванням , діють таким чином:

  • генерують значення випадкової величини ri, яке використовують як аргумент оберненої функції (рис. 4.12) експоненціального розподілу з параметром = 1, і знаходять значення функції F(r) (для підвищення точності оцінювання параметрів моделювання функцію розподілу F(r) інтерполюють лінійними відрізками);

  • знаходять добуток отриманого значення F(r) на .

Наприклад, для моделювання часу затримки транзактів, що має експоненціальний закон розподілу з параметром , у мові GPSS використовують блок

ADVANCE 100, FN$XPDIS

У цьому операторі функція XPDIS (див. табл. 4.3) задає експоненціальний розподіл з інтенсивністю = 1.

4.5.4. Пуассонівський потік

Розглянемо моделювання пуассонівського потоку з інтенсивністю , основна властивість якого полягає в тому, що ймовірність надходження k вимог протягом інтервалу довжиною t становить



Для пуассонівського потоку інтервали часу між надходженням двох сусідніх вимог мають експоненціальний закон розподілу. Тому для його моделювання достатньо отримати ряд чисел з таким розподілом. Це можна реалізувати за допомогою методу оберненої функції, якщо ряд випадкових чисел ri, рівномірно розподілених у інтервалі [0, 1], перетворити згідно з функцією, оберненою до експоненціальної функції розподілу



де tjj-й проміжок часу між надходженнями двох сусідніх вимог; — середнє значення проміжку часу між надходженнями двох сусідніх вимог; rjj-e число в послідовності випадкових чисел з рівномірним розподілом у інтервалі [0, 1].

У мові GPSS для моделювання пуассонівського потоку вимог з (одиниця часу в моделі дорівнює 1 хв) використовується блок GENERATE 120, FN$XPDIS.

4.5.5. Нормальний розподіл

Випадкова величина X має нормальний розподіл (розподіл Гаусса), якщо її щільність розподілу ймовірностей описується виразом



де m — математичне сподівання, а — середньоквадратичне відхилення.

Функція розподілу нормально розподіленої величини X має вигляд



Графіки функцій щільності ймовірностей f(x) і розподілу F(x) зображено на рис. 4.13.



Рис. 4.13. Графіки функції щільності ймовірностей (а) та розподілу (б) випадкової величини

Для моделювання випадкової величини з нормальним законом розподілу безпосередньо скористатися методом оберненої функції не можна, оскільки неможливо аналітично виконати перетворення виду . Тому для моделювання слід скористатися методом згорток.

Метод згорток базується на центральній граничній теоремі — одному із найбільш видатних результатів теорії ймовірностей: за широких припущень відносно розподілів суми великої кількості взаємно незалежних малих випадкових величин має місце розподіл, який близький до нормального. Метод згорток передбачає зображення випадкової величини як суми незалежних однаково розподілених випадкових величин зі скінченними математичним сподіванням і дисперсією.

Центральна гранична теорема формулюється таким чином.

Якщо X1, ..., Хn — послідовність незалежних випадкових величин із скінченним математичним сподіванням М[Xi] = а, і = 1, 2, …, n і дисперсією D[Xi] = 2, і = 1, 2, …, n, то у разі необмеженого збільшення значення n функція розподілу випадкової величини



наближається до функції розподілу стандартного нормального закону Ф(z) при всіх значеннях аргументу, тобто



де



Функція Ф(z) називається функцією Лапласа, для якої є детальні таблиці.

Найпростіший метод отримання значення випадкової величини, що має заданий нормальний розподіл, передбачає виконання таких кроків. Спочатку формують послідовність незалежних, рівномірно розподілених у інтервалі [0, 1] величин і обчислюють суму



Величина n = 12 є хорошим наближенням до нормально розподіленої випадкової величини з нульовим математичним сподіванням mz = 0 і одиничним середньоквадратичним відхиленням z = 1. Нормальний розподіл з параметрами mz = 0 та z = 1 називається стандартним.

Перейти від випадкової величини Z з нульовим математичним сподіванням і одиничним середньоквадратичним відхиленням до випадкової величини X, яка має математичне сподівання mx і середньоквадратичне відхилення x, дає змогу виконати лінійне перетворення



(4.7)

У системі моделювання GPSS [68] для моделювання випадкової величини з нормальним розподілом прийнято підхід, який базується на методі оберненої функції. За такого підходу функція нормального розподілу випадкової величини Z з параметрами mz = 0 і z = 1 наближається кусково-лінійною функцією. Як відзначили розробники інтерпретатора GPSS/PC [68], для цього достатньо 24 відрізки. У табл. 4.4 занесено відповідні значення аргументу zi і функції Ф(z).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   31

Схожі:

Тема: Предмет, структура, завдання й методи досліджень в юридичній психології
Юридична психологія, метод спостереження (інтроспекція), метод бесіди, метод експерименту (законодавчий, природний, лабораторний,...
Урок розвитку мовлення в 11 класі Підготовка до написання твору роздуму...
Методи: метод випереджального навчання, метод наукового дослідження, метод дискусії, активний метод навчання — робота в малих групах,...
Список абітурієнтів, які подали ОРИГІНАЛИ ДОКУМЕНТІВ на напрям 050502
Сума балів вступних випробувань, творчих конкурсів, та вступних випробувань з фізичної підготовки
«УЗАГАЛЬНЕНИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ (метод ЕЙТКЕНА)»
Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена) оцінка параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастиними заліками....
МетодичнІ матеріали до ВСТУПНИХ ВИПРОБУВАНЬ
Методичні матеріали до вступних випробувань на навчання для осіб, які здобули освітньо-кваліфікаційний рівень молодшого спеціаліста...
УРОК 58 Тема уроку: Розв'язування логарифмічних рівнянь
Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами: зведення логарифміч­ного рівняння до алгебраїчного;...
ЗМІСТ Вступ 3 Змістовна програма вступних випробувань 3 Критерії оцінювання 7 Література 9 Вступ
Методичні матеріали до вступних випробувань з Історії України на навчання до Дніпропетровського університету імені Альфреда Нобеля...
ЗМІСТ Вступ 3 Змістовна програма вступних випробувань 3 Критерії оцінювання 7 Література 9 Вступ
Методичні матеріали до вступних випробувань з Історії України на навчання до Дніпропетровського університету імені Альфреда Нобеля...
ЗМІСТ Вступ 3 Змістовна програма вступних випробувань 3 Критерії оцінювання 7 Література 9 Вступ
Методичні матеріали до вступних випробувань з Історії України на навчання до Дніпропетровського університету імені Альфреда Нобеля...
Тема: Введення в хімію високомолекулярних сполук
Опишіть методики визначення молекулярних мас полімерів (кріоскопія, ебуліоскопія, осмометрія, метод кінцевих груп, ультрацентрифугування,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка