Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині


НазваОсновні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині
Сторінка1/23
Дата08.04.2013
Розмір1.59 Mb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Астрономія > Документи
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
Геометрія. 7 клас

Основні властивості найпростіших геометричних фігур

Означення. Аксіоми

Геометрія — це наука про властивості геометричних фігур.
Зверніть увагу: геометрична фігура — це не тільки трикутник, коло, піраміда тощо, а й будь-яка множина точок.
Планіметрія — це розділ геометрії, у якому вивчаються фігури на площині.
Точка і пряма є основними поняттями планіметрії. Це означає, що цим поняттям не можна дати точне означення. Їх можна тільки уявити, спираючись на досвід та перелічивши їхні властивості.
Твердження, справедливість яких приймається без доведення, називаються аксіомами. Вони містять формулювання основних властивостей найпростіших фігур.
Твердження, які доводять, називаються теоремами.
Означення — це пояснення якогось поняття, яке спирається або на основні поняття, або на поняття, що визначені раніше.
Позначення: точки позначаються великими латинськими буквами; прямі — малими латинськими буквами або двома великими латинськими буквами (якщо на прямій позначені дві точки).
На рисунку зображено точки A, B, C, N, М та прямі a і b. Пряму а можна позначити як пряму MN (або NM).
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_0_fmt.jpeg
Запис c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3823_fmt.jpegозначає, що точка M лежить на прямій а. Запис c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3824_fmt.jpegозначає, що точка С не лежить на прямій а.
Треба розуміти, що прямі a і b на рисунку перетинаються, хоча ми не бачимо, у якій точці.

Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині

Аксiома І.
1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну. (Треба розуміти, що тут містяться два твердження: по-перше — існування такої прямої, а по-друге — її єдиність.)
Аксiома ІІ. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.
Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. На рисунку зображено відрізок АВ (відрізок позначають, записуючи його кінці).
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_129_fmt.jpeg

Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків

Аксiома ІІІ.
1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.
2. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

Основна властивість розміщення точок відносно прямої на площині

Аксiома ІV. Пряма розбиває площину на дві півплощини.
Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якого-небудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму; якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму.
Півпрямою, або променем,називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Ця точка називається початковою точкою променя. Різні півпрямі однієї прямої зі спільною початковою точкою називаються доповняльними.
На рисунку подані промені AB (він же AC), DA (або DB, DC), BC, CB (або CA, CD), BA (або BD), AD.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_1_fmt.jpeg
Промені AB і AD, BC і BD — доповняльні. Промені BD і AC не є доповняльними, бо у них різні початкові точки.
Кут — це фігура, яка складається з точки — вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,— сторін кута.
Кут, поданий на рисунку, можна позначити так: c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3825_fmt.jpeg, c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3826_fmt.jpeg, c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3827_fmt.jpeg.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_194_fmt.jpeg
Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими, кут називають розгорнутим:
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_2_fmt.jpeg
Кажуть, що промінь проходить між сторонами кута, якщо він виходить з його вершини й перетинає який-небудь відрізок з кінцями на його сторонах. Для розгорнутого кута вважаємо, що будь-який промінь, який виходить з його вершини і відмінний від його сторін, проходить між сторонами кута.

Основні властивості вимірювання кутів

Аксiома V.
1. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3828_fmt.jpeg.
2. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Основні властивості відкладання відрізків і кутів

Аксiома VІ. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.
Аксiома VІІ. Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3829_fmt.jpeg, і тільки один.
Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами трикутника, а відрізки — його сторонами.
Трикутник на рисунку можна позначити так: c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3830_fmt.jpegабо c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3831_fmt.jpeg, c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3832_fmt.jpegі т. д.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_130_fmt.jpeg
Основні елементи поданного вище трикутника: сторони AB, AC, BC (або a, b, c); кути c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3833_fmt.jpeg(або c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3834_fmt.jpeg), c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3835_fmt.jpeg, c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3836_fmt.jpeg. c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3837_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3838_fmt.jpeg— прилеглі до сторони AC. c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3839_fmt.jpeg— протилежний стороні AC.
Трикутники називаються рівними, якщо у них відповідні сторони рівні й відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути мають лежати проти відповідних сторін.
Запис c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3840_fmt.jpegозначає (див. рисунок), що:
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3841_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3842_fmt.jpeg;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3843_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3844_fmt.jpeg;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3845_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3846_fmt.jpeg.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_3_fmt.jpeg

Основна властивість існування рівних трикутників

Аксiома VІІІ. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої.
Прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
Паралельні прямі, зображені на рисунку, можна позначити так: c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3847_fmt.jpegабо c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3848_fmt.jpeg.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_226_fmt.jpeg

Аксіома паралельних прямих

Аксiома ІХ. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.
Зверніть увагу: аксіома стверджує єдиність такої прямої, але не стверджує її існування.

Взаємне розміщення прямих на площині

Дві прямі на площині можуть:
• збігатися;
• бути паралельними (тобто не перетинатися);
• мати одну спільну точку.
(Дійсно, якщо б дві прямі могли мати хоча б дві спільні точки, то через ці дві точки проходили б дві різні прямі, що суперечить аксіомі І, п. 2).

Суміжні й вертикальні кути

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони є доповняльними півпрямими.
На рисунку c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3849_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3850_fmt.jpeg— суміжні.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_4_fmt.jpeg

Властивості суміжних кутів

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3851_fmt.jpeg. (Зверніть увагу: кути, сума яких дорівнює c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3852_fmt.jpeg, не обов’язково суміжні.)
Теорема 2. Коли два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні.
Теорема 3. Кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут.
Теорема 4. Кут, суміжний із гострим кутом, — тупий.
Теорема 5. Кут, суміжний із тупим кутом, — гострий.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними півпрямими сторін другого.
На рисунку c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3853_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3854_fmt.jpeg, а також c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3855_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3856_fmt.jpeg— вертикальні:
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_131_fmt.jpeg

Властивості вертикальних кутів

Теорема 1. Вертикальні кути рівні.
(Але не всі рівні кути вертикальні.)
Теорема 2. Кути, вертикальні рівним, рівні.
Якщо дві прямі перетинаються, то вони утворюють чотири нерозгорнутих кути (див. рисунок). Кожні два із цих кутів або суміжні, або вертикальні:
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_5_fmt.jpeg
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3857_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3858_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3859_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3860_fmt.jpeg— вертикальні;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3861_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3862_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3863_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3864_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3865_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3866_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3867_fmt.jpegі c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr3868_fmt.jpeg— суміжні.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Схожі:

УРОК №1 Тема. Початкові поняття геометрії. Властивості точок і пря­мих
Узагальнивши практичні знання і вміння учнів, сфор­мулювати властивості приналежності точок і прямих та властивості взаємного розміщення...
УРОК №15 Тема. Узагальнення вивченого матеріалу з теми «Основні гео­метричні...
Про означення, властивості суміжних та вертикальних кутів; а також про означення, ознаки та властивості паралельних прямих; повторити...
Урок на тему: „ Графічний метод
Повторити теоретичні відомості про побудову точок на координатній площині, вивчити алгоритм побудови графіка прямої лінії на площині,...
Уроку І. Перевірка домашнього завдання
Мета. Увести поняття координатної площини та координат точки на площині. Учити учнів розв'язувати дві основні задачі: а знаходити...
Уроки 8-9 Тема. Перпендикулярні і паралельні прямі
Мета. Повторити відношення перпендикулярності і паралельності прямих на площині, розглянути властивос­ті перпендикулярних прямих,...
Урок №1 Тема. Вступ. Точка і пряма. Властивості точок і прямих
Учитель повідомляє учнів про організацію навчального процесу з ви­вчення геометрії, знайомить з вимогами програми щодо знань та вмінь...
Урок в 6 класі Тема. Координатна площина
Мета: сформувати поняття «координатна площина», «координати точки на площині», «абсциса і ордината точки», виробляти вміння визначати...
Варіант I 1
Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких складають область істинності предиката: Р(x; y) ≡{(x-2+(y+1≤ 4}
Фігури на площині. Методи розрізання та розфарбовування фігур. Основні поняття
Щодо розміщення многокутників на площині необхідно окремо виділити теорему Жордана, суть якої, на перший погляд, здається цілком...
Урок №30 Тема. Ознаки паралельності прямих
Мета: закріпити знання учнів про ознаки паралельності двох прямих (за кутами, що утворилися при перетині даних прямих січною). Сформувати...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка