Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині


Скачати 1.59 Mb.
Назва Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині
Сторінка 23/23
Дата 08.04.2013
Розмір 1.59 Mb.
Тип Документи
bibl.com.ua > Астрономія > Документи
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   23

Куля, вписана в конус

Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії (рисунок нижче зліва). Осьовий переріз комбінації є рівнобедреним трикутником, у який вписане коло (рисунок справа). Трикутник — це осьовий переріз конуса, тобто c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5138_fmt.jpeg— твірні конуса, AB — діаметр основи конуса, а коло — велике коло вписаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5139_fmt.jpeg.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_125_fmt.jpeg

Інші комбінації геометричних тіл

Конус є вписаним у циліндр (див. рисунок нижче), коли основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а вершина конуса — центр верхньої основи циліндра. Осі циліндра і конуса в цьому випадку збігаються.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_225_fmt.jpeg
Циліндр, вписаний у конус (див. рисунок нижче), якщо нижня основа циліндра лежить на основі конуса, осі конуса та циліндра збігаються, верхня основа циліндра збігається з перерізом конуса площиною, паралельною основі, на відстані, яка дорівнює висоті циліндра, від основи.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_126_fmt.jpeg
Призмою, вписаною в циліндр (див. рисунок нижче), називається така призма, в якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра. Отже, висоти призми й циліндра збігаються, а основи призми є вписаними многокутниками для основ циліндра.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_192_fmt.jpeg
Дотичною площиноюдо циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.
Призмою, описаною навколо циліндра (див. рисунок нижче), називається призма, в якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_127_fmt.jpeg
У цьому випадку основи призми є описаними многокутниками навколо основ циліндра, а висоти циліндра й призми збігаються.
Випадки «призма, вписана в конус», «призма, описана навколо конуса» аналогічні комбінаціям «конус — циліндр». Їм же аналогічні комбінації «циліндр — піраміда».
Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основою якої є многокутник, вписаний в коло основи конуса, а вершиною — вершина конуса. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.
Дотичною площиною до конуса називається площина, яка проходить через твірну конуса й перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну.
Пірамідою, описаною навколо конуса (див. рисунок нижче), називається піраміда, в основі якої лежить многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_257_fmt.jpeg
Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами до конуса.
Многогранник називається вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі. Многогранник називається описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються до поверхні кулі.

Описані кулі

Кожна грань вписаного у сферу многогранника є вписаним у деяке коло многокутником. Основи перпендикулярів, які опущені з центра описаної кулі на площини граней, є центрами описаних навколо граней кіл. Отже, центром кулі, описаної навколо многогранника, є точка перетину перпендикулярів до площини граней, які проведені через центри кіл, описаних навколо граней.
Якщо призма вписана в кулю, то вона є прямою і навколо її основи можна описати коло.
Наприклад, довільна правильна призма може бути вписана в кулю. Центром описаної кулі буде середина висоти призми, яка проходить через центри кіл, що описані навколо основ призми. Центр описаної навколо призми кулі може буде розташований всередині призми, поза призмою, на бічній грані.
Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати кулю. Центр її лежить на осі піраміди. Центр описаної навколо піраміди кулі може лежати всередині піраміди, поза пірамідою, на бічній грані, на основі.
Центр описаної навколо піраміди кулі — точка перетину перпендикуляра, проведеного до основи піраміди через центр описаного навколо основи кола, й серединного перпендикуляра до бічного ребра, проведеного в площині, яка проходить через бічне ребро й названий вище проведений до основи піраміди перпендикуляр.
Для правильної піраміди центр описаної кулі — це точка перетину прямої, яка містить висоту піраміди, й серединного перпендикуляра до бічного ребра.
Приклад
На рисунку SABCD — правильна чотирикутна піраміда, вписана у сферу. P — центр описаної кулі, PN — серединний перпендикуляр до бічного ребра.
(Зверніть увагу: якщо в умові задачі не задано, де лежить центр описаної кулі — усередині піраміди чи поза пірамідою, бажано розібрати, чи впливає це на розв’язання задачі та як саме.)
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_128_fmt.jpeg
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5140_fmt.jpeg— радіус описаної кулі Rк.
OC — радіус кола, описаного навколо основи Rосн.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5143_fmt.jpeg— висота піраміди.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5144_fmt.jpeg;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5145_fmt.jpegабо c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5146_fmt.jpeg;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5147_fmt.jpeg, де b — бічне ребро.
Якщо зрізана піраміда вписана в кулю, то її основи — многокутники, навколо яких можна описати коло. Бічні грані такої зрізаної піраміди — рівнобічні трапеції. Отже, всі бічні ребра дорівнюють одне одному. Із цього випливає, що бічні ребра вихідної піраміди рівні, значить, основа висоти вихідної піраміди — центр кола, описаного навколо її основи.
Центр описаної кулі знаходимо так само, як і для повної піраміди.

Вписані кулі

Якщо куля вписана в призму, то в її перпендикулярний переріз можна вписати коло.
Висота призми дорівнює діаметру кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми, тобто діаметру вписаної кулі.
Центр кулі — середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в перпендикулярний переріз.
Центр кулі, яка вписана в пряму призму, — це середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в основу призми.

Описана піраміда

Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, яке є вписаним в основу піраміди, то центр вписаної кулі — точка перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при ребрі основи.
У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю, центр якої лежить на висоті піраміди.
Точки дотику кулі й бічних граней лежать на висотах бічних граней, а точка дотику вписаної кулі й основи є центром кола, вписаного в основу.
Під час розв’язування задач на кулю, що вписана в піраміду, доцільно розглянути певні трикутники. На рисунку, наведеному нижче, такими трикутниками є c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5148_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5149_fmt.jpeg; c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5150_fmt.jpeg.
O — центр кола, яке вписане в основу;
P — центр вписаної в піраміду кулі;
SO — висота піраміди;
SD — висота бічної грані.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\image8756image_193_fmt.jpeg
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5151_fmt.jpeg— лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані CSB і площиною основи;
DP — бісектриса c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5152_fmt.jpeg;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5153_fmt.jpeg;
N — точка дотику кулі й бічної грані;
O — точка дотику кулі й основи;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5154_fmt.jpeg— радіус кулі;
OD — радіус кола, вписаного в основу, — rосн.
1. Розглянемо c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5156_fmt.jpeg.
За властивістю бісектриси трикутника
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5157_fmt.jpegабо c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5158_fmt.jpeg, де l — довжина апофеми.
2. c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5159_fmt.jpeg;
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5160_fmt.jpegабо c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5161_fmt.jpeg.
3. Розглянемо c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5162_fmt.jpeg.
c:\program files (x86)\издательство ранок\вдш\01-3_geom\images\sprav-ukr5163_fmt.jpeg.
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   23

Схожі:

УРОК №1 Тема. Початкові поняття геометрії. Властивості точок і пря­мих
Узагальнивши практичні знання і вміння учнів, сфор­мулювати властивості приналежності точок і прямих та властивості взаємного розміщення...
УРОК №15 Тема. Узагальнення вивченого матеріалу з теми «Основні гео­метричні...
Про означення, властивості суміжних та вертикальних кутів; а також про означення, ознаки та властивості паралельних прямих; повторити...
Урок на тему: „ Графічний метод
Повторити теоретичні відомості про побудову точок на координатній площині, вивчити алгоритм побудови графіка прямої лінії на площині,...
Уроку І. Перевірка домашнього завдання
Мета. Увести поняття координатної площини та координат точки на площині. Учити учнів розв'язувати дві основні задачі: а знаходити...
Уроки 8-9 Тема. Перпендикулярні і паралельні прямі
Мета. Повторити відношення перпендикулярності і паралельності прямих на площині, розглянути властивос­ті перпендикулярних прямих,...
Урок №1 Тема. Вступ. Точка і пряма. Властивості точок і прямих
Учитель повідомляє учнів про організацію навчального процесу з ви­вчення геометрії, знайомить з вимогами програми щодо знань та вмінь...
Урок в 6 класі Тема. Координатна площина
Мета: сформувати поняття «координатна площина», «координати точки на площині», «абсциса і ордината точки», виробляти вміння визначати...
Варіант I 1
Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких складають область істинності предиката: Р(x; y) ≡{(x-2+(y+1≤ 4}
Фігури на площині. Методи розрізання та розфарбовування фігур. Основні поняття
Щодо розміщення многокутників на площині необхідно окремо виділити теорему Жордана, суть якої, на перший погляд, здається цілком...
Урок №30 Тема. Ознаки паралельності прямих
Мета: закріпити знання учнів про ознаки паралельності двох прямих (за кутами, що утворилися при перетині даних прямих січною). Сформувати...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка