КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З МАТЕМАТИКИ

Скачати 205.85 Kb.

Назва	КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З МАТЕМАТИКИ
Дата	22.12.2013
Розмір	205.85 Kb.
Тип	Конспект

bibl.com.ua > Математика > Конспект

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ ВІДОКРЕМЛЕНИЙ ПІДРОЗДІЛ «ПОЛІТЕХНІЧНИЙ КОЛЕДЖ ЛУГАНСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО АГРАРНОГО

УНІВЕРСИТЕТУ»

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

З МАТЕМАТИКИ
Розділ: Тригонометричні функції
для студентів 1 курсу

2013
Укладач:

Суменкова Галина Іванівна- викладач фізики та математики, спеціаліст вищої категорії.

Рецензент: Л.П.Дяченко - голова циклової комісії фізико - математичних дисциплін

Опорний конспект лекцій розроблено з метою надання методичної допомоги студентам при засвоєнні теоретичних знань за темою «Тригонометричні функції» для успішного застосування їх у майбутній діяльності.

ВСТУП

Опорний конспект лекцій складено відповідно до навчальної програми дисципліни «Математика », розділ «Тригонометричні функції».

Опорний конспект розроблено з метою надання методичної допомоги студентам при засвоєнні теоретичних знань за темою «Тригонометричні функції» з метою успішного застосування їх у майбутній діяльності.

У посібнику логічно впорядковано й систематизовано той мінімум основних і додаткових даних ,понять, які допоможуть студентам самостійно встановлювати відповідність між дійсними числами і точками на тригонометричному колі; обчислювати значення тригонометричних виразів за допомогою тотожних перетворень і обчислювальних засобів із заданою точністю; розпізнавати і будувати графіки тригонометричних функцій і на них ілюструвати властивості функцій; застосовувати тригонометричні функції до опису реальних процесів, зокрема гармонічних коливань;перетворювати нескладні тригонометричні вирази; розв’язує найпростіші тригонометричні рівняння.
Навчальний посібник може бути використані як студентами , так і викладачами на заняттях при вивченні та узагальненні теми «Тригонометричні функції» в процесі роботи за будь-яким підручником
Формули потрійних кутів

Зворотні тригонометричні функції

Деякі значення тригонометричних функцій

Аргумент	Функція
Аргумент	sin (х)	cos (х)	tg (х)	ctg (х)
15
18
36
54
72
75

Питання до заліку

за темою «Тригонометричні функції»

1. Що таке числове коло?

2. Перерахуєте ознаки числового кола.

3. Яка величина береться за одиницю виміру при градусному вимірі кутів?

4. Що таке радіан?

5. По яких формулах переводять градусну міру кута в радіан і навпаки?

6. Виразите в радіанах кути , рівні 30⁰, 45⁰, 60⁰

7. За якої умови довжина дуги дорівнює її мірі радіану?

8. Який кут повороту називається позитивним? негативним?

9. Графіки тригонометричних функцій

10. Які функції називаються тригонометричними?

11. Дайте визначення функції синус; косинус; тангенс; котангенс.

12. При яких кутах не визначений тангенс? котангенс?

13. Назвіть значення тригонометричних функцій кутів 30⁰, 45⁰, 60⁰.

14. Поняття обернених тригонометричних функцій

15. Визначите знаки тригонометричних функцій по чвертях .

16. Які з тригонометричних функцій є парними, які - непарними?

17. Чому дорівнює період синуса? косинуса? тангенса? котангенса?

18. Поняття тригонометричного рівняння

19. Формули коренів тригонометричних рівнянь

20. Методи розв’язання тригонометричних нерівностей

Функції алгебри - це функції, задані аналітичним вираженням, в запису якого використовуються операції алгебри над числами і змінною (складання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, витягання коренів).

у = 5х + 13,

Числова пряма - це математична модель для представлення чисел, в якій кожне число відповідає точці на прямій, причому відстань від точки до початку відліку дорівнює модулю числа :

Ознаки числової прямої:
1) початок відліку;

2) одиничний відрізок;

3) позитивний напрям (стрілка).

11. Найпростіші тригонометричні нерівності

Щоб вирішити просту тригонометричну нерівність треба:
1. Провести пряму до лінії відповідної функції.

2. Виділити дугу, якій мають належати рішення нерівності.

3. Знайти кінці цієї дуги, пам'ятаючи, що обхід здійснюється проти годинникової стрілки від меншого числа до більшого.

4. Додати до кінців інтервалу числа, кратні періоду функції.

Вирішити нерівність .

Рішення.
Усі рішення, що задовольняють заданій нерівності, лежати на дузі l. Знайдемо її кінці:

З урахуванням періоду синуса, запишемо відповідь:

10. Найпростіші тригонометричні рівняння

Якщо права частина рівняння - негативне число, то слід

скористатися властивостями відповідних зворотніх

тригонометричних функцій, тоді:

При а = 1; 0; - 1 рішення рівняння записується у вигляді (n є Z) :

2. Числове коло

Одиничне коло - це коло, радіус якого прийнятий за одиницю виміру.
Числове коло - це одиничне коло зі встановленою відповідністю між дійсними числами і точками кола :

Вказану відповідність можна визначити таким чином: кожному числу  відповідає така точка Р числового кола, щоб дуга ОР мала довжину | і була відкладена в позитивному напрямі якщо  > 0 і в негативному, якщо  < 0:
Ознаки числового кола :

1)початок відліку - правий кінець горизонтального діаметру;

2) одиничний відрізок - довжина радіусу кола;

3) позитивний напрям - проти годинникової стрілки.

Відкладати можна дуги будь- якої довжини. Тобто числове коло можна розглядати як коло радіусу 1, на котрій і "намотана" числова пряма:

3. Радиана міра кутів та дуг

Кут в 1⁰ - це центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює §частині кола.
Кут повороту - це кут, отриманий обертанням променя біля його качану Про від початкового положення ОА до кінцевого положення ОВ.
Кут в 1 радіан - це центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Міра радіану кута чисельно дорівнює шляху, який проходити точка по дузі одиничного кілка, на якові спирається цей кут,:

Для зв'язку радіанів і градусів використовують розгорнутий кут :

9. Обернені тригонометричні функції

Арксинусом числа а називається таке число х з відрізка

, синус якого дорівнює а.

Арккосинусом числа а називається таке число х з відрізка [0; ], косинус якого дорівнює а.

Арктангенсом числа а називається таке число х з інтервалу

, тангенс якого дорівнює а.

Арккотангенсом числа а називається таке число х з інтервалу (0; (), котангенс якого рівний а.

1.Для негативних значень аргументу:

2. З визначення аркфункции відразу виходить, що:

VI. Формули половинного аргументу (знак - по функції в лівій частині) :

VII. Формули додавання :

VIII. Формули добутку :

IX. Універсальна тригонометрична підстановка:

X. Деякі додаткові формули:

4. Кут повороту

Повний оберт - це кут повороту, рівний 2 рад або 360⁰.

5. 1 Означення тригонометричних функцій

5.2 Означення тригонометричних функцій

Функція косинус -це функція, яка ставить у відповідність кожному числу t абсцису точки М(t) координатного кола.
Функція синус -це функція, яка ставить у відповідність кожному числу t ординату точки М(t) координатного кола.
Якщо М(t) = М(х; у), то х = cos t , у = sin t
Таким чином

М(t) = М(cos t; sin t)

Запис М(t) показує положення точки М на координатному колі, а запис М(cos t; sin t) - положення тієї ж точки на координатній площині.
Функція тангенс -це частка від поділення функції синус на функцію косинус.
Функція котангенс - це частка від поділення функції косинус на функцію синус.
Оскільки ділити на нуль неможливе, функції tg t і ctg t визначені не для усіх значень аргументу. Тангенс визначений лише для значень аргументу, при яких cos t  0, котангенс визначений при sin t  0:

Тригонометричні функції -це загальна назва функцій синус, косинус, тангенс і котангенс.
I. Основна тригонометрична тотожність і наслідки з неї:

II. Формули додавання аргументів :

III. Формули зведення :

1) функція міняється на кофункцію під час переходу через вертикальну вісь і не міняється під час переходу через горизонтальну;

2) перед приведеною функцією ставиться знак функції, що приводиться, вважаючи  кутом першої чверті.
IV. Формули подвійного аргументу :

V. Формули зниження степеня :

Значення тригонометричних функцій деяких кутів

	0					2
sin 	0		1	0	- 1	0
cos 	1		0	- 1	0	1
tg 	0	1	—	0	—	0
ctg 	—	1	0	—	0	--

Зв'язок між тригонометричними функціями одного аргументу

Шукана функція	Вираження шуканої функції через
Шукана функція	sin 	cos 	tg 	сtg 
sin  =	sin 
cos  =		cos 
tg =			tg 
сtg  =				сtg 

6. Графіки тригонометричних функцій

Тригонометричний набір координат :

= sin x синусоїда

у

= cos x косинусоїда

у = tg x у = ctg x

тангенсоїда котангенсоїда

7. Властивості синуса и косинуса

Лінія синусів	Область значень	Знаки по чвертях	Парність - непарність

	\|sin t\|  1		sin(- t) = - sin t

Лінія косинусів	Область значень	Знаки по чвертях	Парність - непарність

	\|cos t\|  1		cos(- t) = cos t

у=sin x	у =cos x
Область визначення
D(sin) = R	D(cos) = R
Область значень
E(sin) =[- 1; 1]	E(cos) =[- 1; 1]
Парність - непарність
непарна функція	парна функція
Періодичність
sin(x  2) = sin x	cos(x  2) = cos x

8. Властивості тангенса и котангенса

Лінія тангенсів	Область значень	Знаки по чвертях	Парність - непарність

	tg t  (–; +)		tg(- t) = - tg t

Лінія котангенсів	Область значень	Знаки по чвертях	Парність - непарність

	ctg t  (–; +)		ctg(- t) = - ctg t

у=tg x	у=ctg x
Область визначення

Область значень
E(tg) = (–; +)		E(ctg) = (–; +)
Парність - непарність
непарна функція		непарна функція
Періодичність
tg(x  ) = tg x		ctg(x  ) = ctg x

18 3

Схожі:

Конспект лекцій У двох частинах Частина 2 Суми Затверджено на засіданні кафедри фінансів як конспект лекцій з дисципліни «Банківський менеджмент»	Конспект лекцій Частина II Суми Стратегічний маркетинг : конспект лекцій / укладачі: В. В. Божкова, Ю. М. Мельник, Л. Ю. Сагер. – Суми : Сумський державний університет,...
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ для студентів економічних спеціальностей усіх форм навчання Проектний аналіз : конспект лекцій / укладачі: О. І. Карпіщенко, О. О. Карпіщенко. – Суми : Сумський державний університет, 2012....	КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ Ч – 46 Чередник Г. Ю. Конспект лекцій з курсу «Соціальна психологія» [Текст] / Г. Ю. Чередник, О. О. Лоза. – Д.: РВВ ДНУ, 2009. –...
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ ЧАСТИНА 2 ПЛАНОВІ ГЕОДЕЗИЧНІ МЕРЕЖІ Лісевич М. П., Ільків Є. Ю Геодезія. Планові геодезичні мережі.: Конспект лекцій.Івано-Франківськ: ІФНТУНГ, 2010. 131с	КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ «ПСИХОЛОГІЯ» Конспект лекцій з курсу «Психологія» (для студентів 2 курсу денної форми навчання спец.: 092100 – «Промислове та цивільне будівництво»,...
ІСТОРІЯ УКРАЇНИ Конспект лекцій для студентів технічних спеціальностей України. / Г. Ю. Каніщев, Ю.І. Кисіль, В. О. Малишев, Г. Г. Півень, О. А. Яцина. – Конспект лекцій для студентів технічних спеціальностей....	КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ для студентів освітнього рівня «бакалавр» Конспект лекцій»: Навчально-методичний посібник для студентів галузі знань (0305) «Економіка і підприємництво», напрямів підготовки...
Конспект лекцій з курсу “ Системно-структурне моделювання технологічних... Конспект лекцій з курсу “Системно-структурне моделювання технологічних процесів” / Укладач П. В. Кушніров. – Суми: Вид-во СумДУ,...	КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ для студентів всіх спеціальностей і форм навчання Затверджено Васійчук В. О., Гончарук В.Є., Дацько О. С., Качан С.І., Козій О.І., Ляхов В. В., Мохняк С. М., Петрук М. П., Романів А. С., Скіра...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання