      Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Головне управління освіти і науки Київської облдержадміністрації
Київське обласне територіальне відділення МАН України
Відділення: математичне
Секція: математичне моделювання
АРИФМЕТИЧНІ ДІЇ З ГРАФІКАМИ ФУНКЦІЙ
Роботу виконала:
Білоус Людмила Вікторівна
учениця 11 класу
Виповзького НВО
«ЗОШ І-ІІІ ст. - ДНЗ»
Переяслав – Хмельницького району
Науковий керівник:
Дубина Ніна Петрівна,
вчитель математики
Рецензент:
Муромцев Микола Миколайович,
викладач вищої математики,
кандидат технічних наук
Виповзки – 2012р.
ТЕЗИ
Відділення математики
Секція «Математичне моделювання»
«Арифметичні дії з графіками функції»
Автор:
Білоус Людмила Вікторівна
учениця 11 класу
Виповзького НВО
«ЗОШ І-ІІІ ст. – ДНЗ»
Науковий керівник:
Дубина Ніна Петрівна,
вчитель математики
Поняття функціональної залежності – одне з найважливіших понять сучасної математики. При дослідженні явищ та процесів природи, розв’язанні технічних задач тощо зустрічаються факти, коли одна величина змінюється зі зміною іншої. Серед різних способів задання функції значного поширення набув графічний спосіб. Іноді графік становить єдино можливий спосіб задання функції.
Предмет дослідження: побудова графіків суми та добутку функцій.
Не всі графіки функцій, що є в шкільних підручниках, можна побудувати за допомогою перетворень над графіками, що вивчаються в школі, похідні ж вивчаються лише вкінці курсу математики 11 класу.
Мета дослідження: встановлення способу побудови графіків суми та добутку функцій та застосування даного методу побудови графіків для розв’язання математичних завдань.
Основні завдання дослідження:
вклад вчених-математиків світу у виникнення та розвиток поняття функції;
систематизація знань про графіки та властивості елементарних функцій;
розширення знань про методи побудови графіків функцій без використання похідних;
застосування арифметичних дій з графіками для розв’язування алгебраїчних рівнянь.
Зв’язок даної роботи зі шкільною програмою.
Дана робота дуже тісно пов’язана зі шкільною програмою, адже функції вивчаються з 6 по 11 клас. Але графіки деяких функцій зі шкільних підручників з математики 10 -11 класу важко побудувати відомими раніше способами.
Наукова новизна дослідження.
У процесі роботи опрацьовано наукову математичну літературу та знайдено спосіб побудови графіків суми і добутку двох елементарних функцій.
Для розв’язання ірраціональних, тригонометричних, логарифмічних і ін. рівнянь іноді потрібно проробити громіздкі перетворення виразів. Тоді варто застосувати графічний спосіб розв’язання, адже досить лише уявити чи схематично нарисувати графіки функцій, що є в рівнянні, щоб отримати відповідь.
Результатом дослідження є узагальнення та систематизація знань про графіки та властивості елементарних функцій; встановлення вагомого внеску видатних вчених-математиків світу у розвиток теорії функцій; ознайомлення з одним із способів побудови графіків функцій без використання похідних – виконання арифметичних дій з графіками, поглиблення знань щодо графічного способу розв’язування рівнянь
Практичне значення.Дана робота може використовуватись як для проведення факультативних занять з математики в 10 – 11 класах, так і для самостійної роботи учнів під керівництвом учителя з питань історії розвитку теорії функцій, побудови графіків функцій та графічного способу розв’язання алгебраїчних рівнянь.
ЗМІСТ
ВСТУП………………………………………………………………..…………..5
РОЗДІЛ 1
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ ПРО ФУНКЦІЇ
1.1. Історичні дані про виникнення та розвиток поняття функції ……..7
1.2. Елементарні функції та їх графіки…………………………………..12
1.3.Основні властивості функцій…………………………………..........14
РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ
2.1. Побудова графіка суми функцій…………………………………….16
2.2. Побудова графіка добутку функцій…………....................................18
2.3. Застосування графіків суми та добутку функцій для розв’язування рівнянь……………………………………………………………………..20
ВИСНОВКИ……………………………………………………………………..22
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………….………23
ДОДАТКИ……………………………………………………………………….24
В С Т УП
Між планетами, між породами,
Між рослинами, між народами
Випадково чи з необхідності –
Скрізь простежуються відповідності.
Поміж зграями і кошарами,
Між суспільствами і державами,
І в конструкціях, і в інструкціях -
Відповідності, тобто функції.
Від мікробини до безмежності
Скрізь залежності і залежності.
Від ціни на газ, на одежину
Ми залежимо, ще й як залежимо!
Там – від долара, там – від унції…
А залежності – також функції.
Ці віршовані рядки говорять про актуальність даної роботи. Багато уроків алгебри в школі з 6 по 11 клас присвячені темі «Функція».
Одним з фундаментальних понять алгебри, яке найбільш ясно показує зв’язок математики з навколишньою дійсністю є функція. Матеріальна єдністьсвіту виявляється у взаємозв’язку і взаємообумовленості різних явищ і процесів, що відбуваються в природі і суспільстві. Розглядаючи їх, доводиться враховувати залежності одних змінних від інших. Наприклад, залежність шляху від часу, залежність кількості купленого товару на певну суму від ціни, залежність між площею круга і його радіусом. Необхідність вивчення на практиці залежностей між змінними різної природи привело до поняття функції в математиці.
Функції задаються словесно, таблицею, формулою,графіком. Особливе місце належить графічному способузадання функції. Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. За графіком можна встановити («прочитати») всі властивості функції. Тому важливо вміти будуватиграфіки функцій.Універсальним способом побудови графіків функцій є побудова за допомогою точок та дослідженням функцій з використанням похідних. Ці способи громіздкі, та й похідну мають не всі функції, а побудова графіків за допомогою точок іноді не дає повного уявлення про весь графік. Тому існує метод лінійних перетворень на площині над графіками елементарних функцій – симетрія відносно осі х, осі у; паралельне перенесення в напрямі осі х, осі у; стиснення або розтяг в n разів вздовж осей координат. Цей метод дає можливість і уявити, і швидко нарисувати графік. Але в підручниках з математики 10–11 класів чимало формул функцій, графіки яких не будуються за допомогою відомих перетворень.Виявляється, що графіки деяких функцій можна уявити і побудувати як суму чи добуток графіків елементарних функцій. Даний метод побудови графіків функцій є одним із способів дослідження та розв’язування ірраціональних, тригонометричних і ін. рівнянь, а також рівнянь з параметром.
Предмет дослідження: функції.
Об’єкт дослідження: графіки функцій.
Мета роботи: систематизація знань про функції, як моделі реальних процесів і явищ; проісторію виникнення та розвитку поняття функції; оволодіння знаннями і вміннями додавання, віднімання, множення і ділення графіків та використання даного методу побудови графіків для розв’язування алгебраїчних рівнянь.
1.1 Історичні дані про виникнення і розвиток поняття функції
Людина живе серед предметів і явищ, які явно і приховано пов’язані між собою. Використовуючи зв’язки між елементами різних множин і моделюючи одну множину з допомогою іншої, виразнішої, вона виробила гнучкий і ефективний метод здобуття інформації про елементи множини, які її цікавили. Мий тепер часто користуємося цим методом, і не тільки в математиці. Наприклад, коли вчитель знайомиться з учнями, то його цікавлять їхні прізвища, імена, місце, де сидить той чи інший учень у класі, склад сім’ї кожного, вік, місце проживання, успішність,інтереси. Щоб дістати потрібну інформацію, він встановлює відношення між елементами множини учнів даного класу і множини прізвищ, імен, місць у класі тощо, відображає множину учнів у множину якихось інших об’єктів. Очевидно, лікар встановлюватиме відношення між множиною учнів і якимись іншими множинами ( бо його цікавлять інші характеристики учнів ), вчитель фізкультури – іншими і т. ін.
Лічба теж є встановленням відношення між елементами множини реально існуючих предметів і елементами множини чисел, що існували в певному вигляді. Вимірювання величин, зокрема, відрізків, є теж відображення множини довжин відрізків прямої у множину чисел.
Поняття бінарного відношення проходить три етапи розвитку: 1) спочатку воно застосовується до двох конкретних об’єктів, і тоді говорять про відношення одного з них до другого: ця річ коштує 2 гривні; точка А належить прямій; 5 більше 4 тощо; 2)відношення зв’язку – відношення поширюється на будь-яку пару об’єктів даної природи: точка А належить прямій b, aпаралельно b і т. д. Загальне поняття відношення залишається неозначуваним, первісним; по можливості означаються конкретні відношення ; 3) означається бінарне відношення від множини А до множини B.Природа об’єктів а і b не має значення, важливо тільки щоб існувала упорядкована пара (а , b ), при цьому a належало б множині А, аb– множині B. У математичних поняттях ніби викристалізувались можливі варіанти, з якими зустрічалась людина, відображаючи множину А у множину В.
Вивчення і свідоме застосування властивостей функцій мають велике теоретичне і світоглядне значення. Кожна функція – це математична модель кількісних характеристик певного класу явищ. Поняття функції пройшло складний шлях від функцій, які лише з малим ступенем точності моделювали кількісні закономірності найпростіших ситуацій, до функцій, які характеризують закономірності надзвичайно складних явищ на різних рівнях організації матерії.
Ще в 16 столітті в математиці не було загальної символіки. Кожна операція записуваласьповністю словами або спеціальними знаками – скороченнями,що використовував тільки один або кілька вчених. Інші вчені усе писали словами або застосовували свої скорочення. Невідомі коефіцієнти і вільний член рівняння також не мали загальновизнаних умовних позначень.
З 17 століття починається суттєво новий період розвитку математики. Французькі вчені Франсуа Вієт і Рене Декарт розробили буквену математичну символіку, що незабаром дістала загальне визнання.
Введено було спільне позначення невідомих – останніми буквами латинського алфавітуx, y, zвідомих – початковими буквами того ж алфавіту a, b, c,… і т. ін.
Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки те, що дано в умові задачі, але і багато інших значень, допустимих змістом задачі. Після введення буквеної символіки стало можливим записати розв’язок цієї задачі у вигляді загальної формули. Наприклад, s=vt, де під s слід розуміти шлях, пройдений екіпажем, під v – швидкість,t - час.
Таким чином, разом з буквеною символікою в математику прийшла ідея змінних, оскільки під кожною буквою стало можливим розуміти різні значення.
Розвиток капіталізму в Європі, перехід від ремесла і ручного мануфактурного виробництва до виробництва з машинною технікою, розвиток мореплавання – усе це надавало життю руху вперед. Тож від математики очікували відповідей на ряд важливих запитань. Багатих купців цікавили найкоротші і безпечні шляхи в Америку, збільшення швидкості і вантажності суден, точні способи орієнтування у відкритому морі і т. ін..
Дати вірні і переконливі відповіді на ці запитання можна було тільки за допомогою математики.
Але математика була не в змозі задовольнити такі потреби життя, бо методи, якими вона користувалася виявилися недостатніми. Потрібний був значний поворот, необхідні були нові прийоми дослідження, за допомогою яких вона б відповідала запитам життя.
І нове велике відкриття було зроблено.
До початку 17 століття алгебра була вже досить розвинутою наукою. Працями багатьох поколінь учених були підготовлені умови для нового великого відкриття в науці, що послужили б поштовхом до її подальшого розвитку. Таким відкриттям стало введення в математику поняття змінної величини і прямокутної системи координат.
Увів у математику функціональну залежність французький вчений Рене Декарт.
Бурхливий розвиток математики став можливий тільки з появою змінної величини. На основі цього поняття виникли нові математичні науки: диференціальне і інтегральне числення, варіаційне числення, що тепер вивчається у вузах.
Нові математичні науки допомогли відповісти на багато запитань техніки, мореплавання, артилерії, геодезії та інших наук.
Р.Декарт був великим і різнобічним ученим. Він займався філософією, фізіологією, фізикою, математикою. У математиці він зробив багато різних відкриттів і нововведень, але найбільшою його заслугою є введення в математику поняття змінної величини і функції, що він їх виклав у книзі «Геометрія», виданій у 1637 році. Це відкриття назвали «поворотним пунктом у математиці». Декарт ввів систему прямокутних координат, якою користуємося ми, в широке застосування і поклав початок розвиткові важливої математичної науки – аналітичної геометрії. Працями Декарта алгебру було значно вдосконалено. Термін «функція», що в перекладі з латинської мови означає виконання, здійснення Р.Декарт не вживав.
Термін «функція» вперше зустрічається в листі німецького математика Г. В. Лейбніца до голландського математика Х. Х. Гюйгенса в 1694 році. У загальне вживання термін введено на початку 18 століття Йоганном Бернуллі. З цього часу починає розвиватись ціла теорія функцій З’явилось вчення про тригонометричні функції, яке набуло сучасного вигляду в працях Леонарда Ейлера (1707 -1783). Л.Ейлер також ґрунтовно досліджував показникові й логарифмічні функції.
Найзагальніше сучасне означення функції сформульовано в працях Ніколя Бурбакі. Це псевдонім, під яким велика група французьких математиків друкувала свої праці в 1937 – 1968рр.
Уже в 18 столітті в математику ввійшли розривні функції. До кінця 19 століття вони стали головним об’єктом дослідження. І лише в наш час природодослідники оцінили їх важливість для розкриття таємниць природи. Французький математик Арно Данжуа (1884-1975) писав: «Ми не можемо розплющити очі, не побачивши розривність». А для розкриття кількісних закономірностей повсюдних явищ саме і необхідні розривні функції.
У 70 роках 19 століття математики побудували нескінченні класи неперервних функцій, які не мали похідної в жодній точці. Потім з’ясувалось, що клас неперервних функцій без похідних потужніший від класу функцій з похідними.
На початку 19 століття ученим довелося досліджувати явища, які було зручніше описувати мовою недиференційованих функцій. Так, надзвичайно нерегулярні траєкторії частинок у броунівському русі нагадують неперервні криві без похідних. Виявилося,що поняття неперервності й розривності функцій мають безліч прообразів у природі і відображають істотні моменти руху різних матеріальних утворень. Народження і смерть живого організму, спалах наднової, вибух ядра галактики і розпускання бутона, зміна агрегатного стану речовини і безліч інших явищ живої і неживої природи являють собою якісний стрибок, для вивчення кількісних характеристик якого і служать розривні функції. Нині бурхливо розвивається теорія катастроф – математичний апарат для вивчення стрибкоподібних змін у русі певних систем, порушення неперервності якогось процесу.Була розвинута теорія еліптичних функцій Н.Абелем і К.Якобі. Надалі геометричні ідеї Б.Рімана стали більш визнаними як стиль мислення в області теорії функцій комплексної змінної. За допомогою даної теорії було розв’язано багато задач аеро- і гідродинаміки, теорії пружності, радіотехніки і багато ін..
В період захоплення теорією функцій комплексної змінної найбільш видатним представником у питаннях теорії функцій дійсного числа був російський математик П.Л.Чебишев.
Ф.Клейн і А.Пуанкаре створюють теорію автоморфних функцій, в якій знаходить застосування геометрія М.Лобачевського. Ж.Адамар, Е.Борель глибоко розробляють теорію цілих функцій.
Якщо раніше систематично вивчались лише функції, що виникають «безпосередньо» з тих чи інших спеціальних задач, для теорії функцій дійсного числа типовим є інтерес до повного вияснення всього об’єму загальних означень і узагальненню основних понять.
Основи сучасної теорії функцій дійсного числа були закладені математиками французької школи: К.Жорданом, Е.Борелем, А.Лебегом, Р.Бером. Вироблені методи теорії функцій дійсного числа виявились особливо необхідними при побудові основ функціонального аналізу.
Ініціатором уведення поняття функції у шкільний курс математики був відомий український математик Михайло Васильович Остроградський (1801-1862), уродженець с.Пашенна Кобеляцького повіту на Полтавщині.Ще в середині 19 ст., майже на 50 років раніше від німецького математика Ф.Клейна, він висловив ідеї, які згодом лягли в основу міжнародного руху за реформу навчання в школах. Оригінальні підручники з тригонометрії надрукував відомий український математик Микола Андрійович Чайковський (1887-1970), який народився в м.Бережани Тернопільської області. Плідно працював у галузф теорії функцій український математик Михайло Пилипович Кравчук(1892-1942рр.), що народився в с. Човниці на Волині.
Розвиток сучасної математики неможливо уявити без диференціального та інтегрального числення та без теорії функцій вцілому. Функціональне мислення дає змогу людині бачити і досліджувати причинно-наслідкові зв’язки, аналізувати процеси і явища, прогнозувати їх поведінку у майбутньому, оптимізувати їхні параметри.
1.2 Елементарні функції та їх графіки
Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини D відповідає єдине значення змінної у, то таку відповідність називають функцією. Прицьому х називають незалежною змінною, або аргументом, у – залежною змінною, або функцією. Усі значення, які може набувати аргумент функції, називають областю визначення функції і позначають літерою D. Множину всіх значень у, яких може набувати функція, називають її областю значень і позначають літерою Е.
1.Лінійна функція – це функція, яку можна задати формулою у=kх+ b, де х – незалежна змінна, k і b – числа. Якщо b=0, формула лінійної функції набирає вигляду у=kх. Ця формула, якщо k не дорівнює 0, задає пряму пропорційність. Графіком лінійної функції є пряма. Лінійна функція виражає залежності між змінними різної природи. Наприклад: а) залежність шляху, який пройде тіло під час рівномірного руху від часу; б) залежність довжини металевого стержня від температури при нагріванні; в) вартість проїзду в таксі і т. д.
2.Оберненою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою у=k:х, де х – незалежна змінна і число k не дорівнює 0. Графіком функції є гіпербола, яка складається з двох віток. Гіпербола розміщується в І і ІІІ чвертях, якщо k – додатне і в ІІ та ІVчвертях, якщо k– від’ємне. Функція у=k:х виражає залежності між різними змінними: а) часу від швидкості при рівномірному русі; б) кількості купленого товару на задану суму грошей від ціни товару; в) сили струму від опору провідника при сталій напрузі; г) між тиском газу і об’ємом, який він заповнює та ін...
3. Функція у=х2 - квадратична. За допомогою цієї функції виражають залежність площі квадрата від довжини його сторін. На практиці у фізиці, техніці частіше застосовують функціюy=ax2, де a – число. З її допомогою виражають: а) залежність площі круга від радіуса; б) між кінетичною енергією тіла і його швидкістю; в) шляху вільно падаючого тіла від часу і т.д. Графіком функції у= ах2 є парабола, симетрична відносно осі у. Якщо а – додатне, вітки параболи напрямлені вгору, якщо а від’ємне – вниз.
4.Функція у=х3. Вона виражає залежність об’єму куба від довжини його сторони. На практиці використовують також функцію у=ах3, яка має ті самі властивості, хоча коефіцієнт а дещо впливає на форму графіка. Цей графік використовують проектувальники залізниць та автомобільних шляхів, якщо треба здійснити плавний перехід від прямолінійних до криволінійних ділянок шляху.
5. Функція у= За допомогою цієї функції виражають залежність сторони квадрата від його площі і ін..
6. Функції у=  і у= – ціла ідробова частини числа. Кожне дробове число можна подати у вигляді суми двох доданків, один з яких ціле число, а другий – невід’ємний правильний дріб.
7. Мати справу з процесами, які періодично повторюються, доводиться багатьом фахівцям. Моделювати такі процеси найзручніше за допомогою функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Періодичні процеси відбуваються в багатьох механізмах (рух поршня, маятника) і в живих організмах (пульсація серця, дихання), В природі і суспільстві (коливання температури, коливання цін).
8. Функція називається показниковою, якщо її можна задати формулою у = ах, де а – довільне додатне число, відмінне від 1. Оберненою до неї є логарифмічна функція: у = logaх, де х – аргумент, а – додатне і відмінне від 1 дане дійсне число. Показникові та логарифмічні функції досить зручні для моделювання процесів, пов’язаних зі зростанням населення, капіталу, розмноження бактерій, зміною атмосферного тиску, радіоактивним розпадом і т. п. Тому їх часто використовують для розв’язування прикладних задач. (ДОДАТОК А – В).
1.3 Основні властивості функцій
Якщо функцію задано формулою, а про її область визначення нічого не сказано, то розуміють, що вона така сама, як і область допустимих значень змінної, яка входить до цієї формули.
Якщо функцію задано графічно, то область визначення функції – проекція її графіка на вісь х; область значень функції – проекція її графіка на вісь у.
Парність. Функція у=f(х) називається парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(-х)=f(х). Функція у=f(х) називається непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення хз області визначення f(-х)=-f(х). Графік парної функції симетричний відносно осі у, а непарної – відносно початку координат. Існують функції ні парні, ні непарні. Це такі функції, у яких або область визначення несиметрична відносно нуля або для яких не виконується жодна з вище вказаних рівностей.
Нулі функції та проміжки знакосталості. Значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю, називають нулями функції. Проміжки області визначення функції, на яких функція не змінює знака (тобто має тільки додатні або тільки від’ємні значення) називають проміжками знакосталості функції.
Монотонність. Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції. Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку віповідає менше значення функції. Якщо функція на всій області визначення зростає або на всій області визначення спадає, її називають монотонною. Якщо ж функція зростає на деякому проміжку або спадає на ньому, то говорять . що вона монотонна на даному проміжку.
Характеризуючи властивості функції, часто зазначають також, у яких точках вона має найбільше значення, у яких – найменше.
Періодичність. Функцію у=f(х) називають періодичною, якщо існує таке дійсне число Т, відмінне від нуля, що для всіх значень х із області її визначення f(х-Т)=f(х)=f(х+Т). Число Т називають періодом даної функції. Якщо Т – період деякої функції, то nТ, де nЄZі n відмінне від нуля, також її період. Графік такої функції паралельним перенесенням уздовж осі х на Т, 2Т, … nТ одиниць вліво чи вправо відображається на себе.
Неперервність. Якщо графіком функції є неперервна лінія( її можна провести, не відриваючи олівець від паперу), то таку функцію називають неперервною функцією.
Дані властивості функцій досить просто з’ясовувати, дивлячись на їх графіки.
2.1 Побудова графіків суми функцій
Щоб побудувати графік функції у=f(х)+φ(х), спочатку доцільно побудувати графіки функцій – доданків у1=f(х), у2=φ(х), після чого значення функцій у1 і у2 для одного й того самого значення аргументу додати. При цьому потрібно насамперед звернути увагу на характерні точки графіків функцій у1 і у2 (екстремальні точки, точки перегину,точки перетину з осями координат та ін.) і в цих точках обчислити значення функції у безпосередньо на координатній площині (зручно користуватись циркулем). Крім того слід врахувати парність, непарність, монотонність, періодичність функцій, що входять у суму, й будувати графік у спільній частині їх областей визначення.
Якщо потрібно побудувати графік різниці двох функцій, то будують попередньо графік функції–зменшуваного, а далі від нього відкладають ординати функції-від’ємника, взяті з протилежним знаком. Іноді зручно побудувати (допоміжний) графік функції-від’ємника з протилежним знаком і ординати обох кривих (функції-зменшуваного і функції-від’ємника з протилежним знаком) додати.
Приклад 1.Побудувати графікфункціїy=x- sinx.
Маємо дві функції: y1=x іy2=-sinx.Будуємографікфункціїy1=x, далі від нього (а не від осі абсцис) відкладаємо ординати другої функції. Оскільки |sinx|≤1, то доцільно провести дві допоміжні прямі: y=x+1іy=x-1.
У точках, деsinx=0 (тобто при х=kπ, деkЄZ), у=х, а це означає, що відповідні точки графіка заданої функції лежать на прямій у=х.
У тих точках, де sinx=1 (тобто при х=π/2+2kπ ),у=х- 1, а цеозначає, щовідповідні точки графіказаданоїфункції лежать на прямійу=х- 1.
У точках, де sinx=-1 (х=-π/2+2kπ), у=х+1, а це означає,що відповідні точки лежать на прямій у=х+1. Отже, на прямих у=х- 1 і у=х+1 знаходитимуться вершини синусоїди.
 Рис. 1
Приклад 2. Побудувати графік функції у= + . (ДОДАТОК Г)
Приклад 3. Побудувати графік функції у=2х+х+1. (ДОДАТОК Г)
Приклад 4. Побудувати графік функції у= .
Спочатку спростимо формулу функції, запишемо її у вигляді у=х+ . Необхідно побудувати в одній системі координат графіки двох функцій у1=х та у2=і додати ординати даних функцій для одних і тих самих абсцис. Сполучити відкладені точки, врахувавши область визначення функції.
2.2 Побудова графіка добутку функцій
Часто побудова графіка функції, що є добутком двох функцій, полегшується, якщо попередньо побудувати допоміжні графіки функцій – множників і відповідні ординати перемножити. Тут також треба враховувати властивості функцій-множників: парність, непарність, періодичність, монотонність, екстремальні точки тощо.
Функція у= є часткою від ділення функції у1=f(x) на у2 =g(x). Але для побудови графіка цієї функції зручніше розглянути її як добуток двох функцій у1=f(x) і у2= . Будуютьсяграфікицихфункцій в однійсистемі координат, відповідноординати для характерних іконтрольнихточокперемножаються.
Приклад 1. Побудувати графік функції у = х
Цяфункціянепарна як добуток непарної функції на парну, тому графік її буде симетричний відносно початку координат.
Отже, достатньо його спочатку побудувати для х 0. Будуємо графіки функцій у1 =х і у2 = на яких у1 і у2 мають різні знаки, шуканий графік буде розміщений у нижній півплощині, а на тих проміжках, на яких у1 і у2 мають один знак, - у верхній півплощині.
 Рис. 2
Приклад 2. Побудувати графік функції у=х/2х.
Будуємо графіки функцій у1=х, у2=2х. Далі ділимо ординату графіка функції у1=х на ординату графіка у2=2х за однакових значень абсцис. При цьому враховуємо, що якщо х прямує до+∞ , то у2 зростає швидше, ніж у1, а тому у наближається до 0, тобто вісь абсцис – асимптота графіка. Або будуємо графіки функцій у1 = х, у2 = 1/2х та знаходим добутки відповідних ординат функцій.
у
у =  у = х
е
1
1 х
Рис. 3
Приклад 3. Побудувати графік функції у=xarctgx. (ДОДАТОК Д)
2.3 Застосуванняграфіків суми та добутку функцій для розв’язуваня рівнянь
1.Скільки коренів має рівняння:  + =а, а 0 ?
Розв’язання.
х-10,
3-х х Є  – область визначення рівняння.
Будуємо графік функції f(х)=+. Використаємо метод побудови суми графіків у1=, у2=
 Рис. 4
1 – f(х)=+ , 2 – у1= 3 – у2=.
Пряма у=а, паралельна осі х, перетне графік функції f(х), якщо  ≤ а  2.
Отже, якщо а – коренів нема;
а=– два корені: х1=1; х2=3;  а – два корені – це абсциси точок перетину графіків у=а та f(х); а=2 – один корінь: х=2; а– коренів нема.
2.Розв’язати рівняння: +=х2 – 4х +6.
Розв’язання.
Область визначення рівняння: х Є [1;3].
Будуємо ескізи графіків f(х)=+ ; g(х)=х2 – 4х + 6.
g(х)=х2 – 4х + 6 = (х – 2)2 + 2. Графіки дотикаються при х = 2
 Рис. 5
1 – g(х); 2 – f(х).
Перевірка.
х = 2;  +  = 4 – 8 +6; інших коренів немає.
Відповідь. 2.
3.Скільки коренів має рівняння: х – sinx = а, а – будь-яке дійсне число?
Пряма у = а, паралельна осі х, матиме одну точку перетину з графіком функції f(х) = х – sinx( рис. ).
Відповідь. Рівняннямає один корінь при будь-якомудійсномуа.
ВИСНОВКИ
Виявляється, що арифметичні дії можна виконувати не тільки з числами, змінними, виразами, а й з графіками функцій. При цьому графік даної функції суттєво змінюється, а значить змінюються властивості функції, які можна «прочитати» за графіком.
В даній роботі зібрані цікаві історичні факти, відомості про виникнення та розвиток поняття функції; досліджено вклад вчених-математиків світу у виникнення та розвиток теорії функцій; систематизовано знання про властивості і графіки елементарних функцій; роз’яснено метод побудови графіків суми та добутку функцій, наведено приклади з рисунками; досліджено використання методу арифметичних дій з графіками для розв’язування рівнянь, наведено приклади розв’язання таких рівнянь з науково-методичної літератури та самостійні дослідження.
Існує мова, яку розуміє кожна людина. Це мова графіків, схем та рисунків. «Немає жодної галузі людського знання, куди не входили б поняття про функції та їх графічне зображення» (К. Лебединцев). Дана наукова робота розширює кругозір та поглиблює функціональне мислення, сприяє покращенню навичок графічної культури та розвитку уявлення учнів.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1.Бевз Г.П., .Бевз В.Г. Математика 10. - К.: Генеза, 2010.
2..Бевз Г.П., Бевз В.Г. Математика 11. - К.: Генеза, 2011.
3.Вірченко Н.О., Ляшко І.І. Графіки елементарних та спеціальних функцій. – К.: Наукова думка, 1996.
4.Журнал «Математика в школі». - №6, №11 – 2010.
5. Журнал «Математика в сучасній школі». - №9, №10 – 2012.
6. Математичний енциклопедичний словник. – М.: Советская енциклопедія, 1988.
7. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу 10 – 11. – К.: Зодіак-ЕКО, 1996.
8. Шунда Н.М. Функції та їх графіки. – К.: Радянська школа, 1983.
9. Я пізнаю світ.Математика. – К.: Перун, 2006.
ДОДАТОК А
ДОДАТОК Б
ДОДАТОК В
ДОДАТОК Г
ДОДАТОК Д
|