ПАРНІСТЬ. ЧЕРГУВАННЯ. РОЗБИТТЯ НА ПАРИ

Скачати 82.29 Kb.

Назва	ПАРНІСТЬ. ЧЕРГУВАННЯ. РОЗБИТТЯ НА ПАРИ
Дата	08.02.2014
Розмір	82.29 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Астрономія > Документи

ПАРНІСТЬ. ЧЕРГУВАННЯ. РОЗБИТТЯ НА ПАРИ

Кінь вийшов з поля а1 і через декілька ходів повернувся на нього.
Доведіть, що він зробив парну кількість ходів.

Розв'язання

З кожним ходом коня міняється колір поля, на якому стоїть кінь, тобто має місце чергування кольорів — білого і чорного. Після першого ходу кінь стоятиме на білому полі, а після останнього — на чорному полі а1. Отже, кінь має зробити парну кількість ходів.

На площині розміщені 11 зубчатих коліс, з'єднаних у вигляді замкнутого ланцюжка. Чи зможуть вони всі обертатись одночасно?

Розв'язання

Пронумеруємо всі колеса в порядку обходу їх уздовж ланцюжка числами від 1 до 11. Нехай перше колесо обертається за годинниковою стрілкою. Тоді всі колеса з непарними номерами будуть обертатися за годинниковою стрілкою, а всі колеса з парними номерами — проти годинникової стрілки. Зауважимо, що будь-які два сусідні колеса повинні обертатися в протилежних напрямках. Але перше й одинадцяте колеса — сусідні, обертаються в одному напрямку. Протиріччя показує, що всі зубчаті колесі обертатись одночасно не можуть.

Чи може пряма, що містить вершини замкненої 11-ланкової ламаної, перетинати всі її ланки?

Розв'язання

Будемо обходити контур ламаної, переходячи з кожної вершини в наступну. При цьому кожного разу, коли будемо перетинати пряму, ми попадатимемо в іншу півплощину відносно цієї прямої. Отже, має місце чергування. Тому, щоб обійти контур ламаної і повернутися в початкову вершину, треба перетнути парну кількість ланок, але їх кількість непарна. Тому відповідь на питання задачі негативна.

Катруся та її друзі стали в коло. Виявилось, що обидва сусіди в кожної дитини однієї статі. Хлопчиків серед Катрусиних друзів п'ять. А скільки дівчаток?

Розв'язання

Якщо в когось із Катрусиних друзів сусіди – тієї ж статі, то очевидно, що всі, хто стоїть у колі, однієї статі. Тому хлопчики та дівчатка чергуються і, отже, дівчаток у колі стоїть стільки ж, скільки й хлопчиків: по п'ять. Отже, серед Катрусиних друзів є чотири дівчинки.

Дано осьосиметричний опуклий 101-кутник. Доведіть, що вісь симетрії проходить через одну з його вершин.

Розв'язання

Якщо вісь симетрії не проходить через вершину, то дані 101 точка повинні розбиватися на пари симетричних, що неможливо.

Чи можна опуклий 13-кутник розрізати на паралелограми?

Розв'язання

Якщо опуклий многокутник можна розрізати на паралелограми, то його сторони обов'язково розбиваються на пари паралельних. Але 13 сторін не можна розбити на пари. Тому таке розрізання неможливе.

Автобусні квитки мають номери від 000000 до 999999. Квиток вважається щасливим, якщо сума перших трьох цифр його номера дорівнює сумі
решти трьох. Доведіть, що загальна кількість щасливих квитків є парною.

Розв'язання

Якщо у квитка

перші три цифри відповідно співпадають із трьома останніми, тобто

, то таких щасливих квитків стільки ж, скільки і квитків

, тобто парне число 1000. Якщо ж

, то поряд з щасливим квитком

буде і квиток

. Отже, такі щасливі квитки можна розбити на пари. А тому їх загальна кількість теж є парною.

Петрик купив зошит обсягом 96 аркушів і занумерував сторінки:
1, 2, 3. ..., 192. Василько вирвав із зошита 25 аркушів (не обов'язково по порядку) і склав усі 50 чисел, які на них написані. Чи міг він дістати число 2004?

Розв'язання

На кожному аркуші записані одне парне і одне непарне числа. Сума їх є число непарне. Тоді сума, що дістав Василько, це сума 25 непарних чисел, тому повинна бути непарною, а число 2004 — парне. Отже, відповідь на питання задачі негативна.

Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює:

а) нулю, б) одиниці.

Розв'язання

а) Легко бачити, що кожне з цих чисел дорівнює 1 або — 1. Для того, щоб їх добуток дорівнював додатному числу 1, треба, щоб кількість від'ємних множників була парною. З іншого боку, сума може дорівнювати нулю, якщо кількість чисел — 1 дорівнює кількості чисел 1, тобто 11. Але 11 — число непарне.

б) Нехай сума дорівнює 1. Кількість додатних доданків дорівнює п, кількість від'ємних доданків дорівнює 22-n. Тоді 1∙n – 1(22 – n) = 1, тобто 2n – 22 = 1. Але 2n і 22 — парні числа. Тому їх різниця не може бути непарною.

Чи можна всі натуральні числа від 1 до 65 розбити на кілька груп
так, щоб у кожній групі найбільше число дорівнювало сумі інших?

Розв'язання

Припустимо, що можна. Тоді в кожній групі сума чисел є парним числом, тому сума всіх чисел від 1 до 65 теж має бути парною, але сума

1 + 2 + 3 + ... + 65 = 65∙33 — непарна. Отже, не може.

Дано шість чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Дозволяється до будь-яких двох
з них додавати 1. Чи можна зробити всі числа рівними?

Розв'язання

Сума цих чисел дорівнює 21 і є числом непарним. Якщо до будь-яких двох чисел додати 1, то сума всіх чисел збільшиться на 2 і залишиться непарною. Якби вдалося всі шість чисел зробити рівними, то їх сума була б числом парним. Отже, відповідь на питання задачі є негативною.

Чи можна скласти магічний квадрат із перших 36 простих чисел?

Розв'язання

Просте число 2 — парне, всі інші прості числа — непарні. Тому в стовпчику, де стоятиме число 2, сума чисел буде непарною, а в усіх інших стовпчиках — парною. Отже, такого квадрата не існує.

У ряд виписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними
знаки «+» і «-» так, щоб значення здобутого виразу дорівнювало нулю?

Розв'язання

Оскільки в цьому ряду непарна кількість непарних чисел, то як би ми не розставили знаки, значення виразу буде числом непарним, а 0 — число парне. Отже, не можна.

У банці лежать білі і чорні зернята. Навмання виймають два з них. Якщо вони одного кольору, то замість них у банку кладуть чорне зернятко, якщо різних — то чорне зернятко забирають, а біле кладуть назад у банку. Врешті-решт у банці залишилось одне зернятко. Якого воно кольору, якщо спочатку білих зернят було 100?

Розв'язання

Після кожного кроку число білих і чорних зернят або не змінюється, або зменшується на 2. Тому кількість білих зернят у банці щоразу є числом парним. Отже, залишилось лише чорне зернятко.

100 фішок поставлено в ряд. Дозволяється міняти місцями будь-
які дві фішки, що стоять через одну. Чи можна таким способом переста
вити всі фішки у зворотному порядку?

Розв'язання

Занумеруємо місця, на яких стоять фішки, від 1 до 100. Зауважимо, що фішка, яка стоїть на парному місці, може перейти лише на парне місце, а фішка, яка стоїть на непарному місці, — тільки на непарне. Тому, зокрема, не вдається поміняти місцями фішку, що стоїть на першому місці, з фішкою, що стоїть на останньому. Звідси випливає, що переставити фішки в зворотному порядку неможливо.

Чи існує многогранник, у якого 777 граней — трикутники, а решта
граней — чотирикутники і шестикутники?

Розв'язання

Припустимо, що такий многогранник існує. Позначимо кількість його ребер через N, кількість чотирикутних граней — через k, шестикутних — через т. Підрахувавши ребра, маємо:

777 ∙ 3 + 4k + 6m = 2N, звідки 777 ∙ 3 = 2N – 4k – 6m.

Остання рівність неможлива, тобто такого многогранника не існує.

Одну з вершин правильного 2004-кутника пофарбовано в чорний колір, а решту його вершин — у білий. За один крок дозволяється вибрати будь-яку зафарбовану в чорний колір вершину та змінити колір на протилежний у неї та ще у двох сусідніх із нею вершин. Чи можливо за декілька зазначених кроків перефарбувати всі вершини даного 2004-кутника в білий колір?

Розв'язання

Легко бачити, що після кожного перефарбування кількість чорних вершин змінюється на непарне число. Тому якщо вказане перефарбування можливе, то воно складається з непарного числа кроків. Позначимо вершини через A₁, А₂, А₃, ..., А_2т, починаючи з вершини А₁ чорного кольору. Нехай а_k — кількість тих кроків, за яких центром зміни кольорів була вершина А_k.

Тоді S = а₁+а₂+...+а₂₀₀₄ — це загальна кількість усіх кроків, і вона, згідно з доведеним, має бути непарним числом. Але

S = (а₁ + а₂ + а₃) + (а₄ + а₅ + а₆) + ... + (а₂₀₀₂ + а₂₀₀₃ +а₂₀₀₄).

Тут у кожних дужках суми трьох записаних доданків співпадають із загальною кількістю змін кольору відповідно у вершинах А₂, А₅, ..., А₂₀₀₃. Оскільки в них і спочатку, і в кінці колір буде білим, то кожна з цих сум, а з ними і S, є парною. Одержане протиріччя доводить неможливість вказаного перефарбування.

На координатній площині накреслено коло з центром у точці (0; 0) та радіусом 2004. У кожній з точок площини, що лежать всередині кола та обидві координати яких є цілі числа, сидить павук. У якийсь момент кожен з павуків переповзає на одиничну відстань праворуч, ліворуч, вгору або вниз, залишаючись всередині кола (різні павуки можуть рухатись у різні боки). Чи обов'язково після переповзання два павуки зустрінуться в одній точці?

Розв'язання

Кількість павуків всередині кола є непарним числом, бо кожний павук змінює на одиницю одну зі своїх координат, тобто змінює парність суми своїх координат. Розіб'ємо павуків на дві групи: з парною сумою координат і непарною. Під час переповзання павуки з парною сумою координат займуть місце павуків з непарною сумою. І навпаки.

Припустимо, що після переповзання в кожній точці знову сидить один павук. Тоді під час переповзання кожен павук з першої групи займає місце павука з другої групи і навпаки. Звідси випливає, що в обох групах рівні кількості павуків, і тому загальна кількість павуків парна. Це суперечить тому, що, як було сказано раніше, загальна кількість павуків непарна. Отже, після переповзання знайдеться точка, в якій буде не менше ніж два павуки.

Задачі для самостійного розв'язування

Чи може кінь пройти з поля а1 на поле h8, при цьому побувати на
кожному з інших полів рівно по одному разу?

На дошці 25x25 розставлено 25 шашок, причому їх розташування
симетричне відносно діагоналі. Доведіть, що принаймні одна із шашок
розташована на цій діагоналі.

На прямій взяли декілька точок. Потім між кожними сусідніми
вставили ще по одній точці. Так повторили декілька разів. Чи могли дістати всього 2004 точки?

Квадрат 7x7 заповнений числами так, що добуток чисел кожного
рядка від'ємний. Доведіть, що добуток чисел принаймні одного стовпчика
теж від'ємний.

У загоні 120 осіб. Щовечора чергують троє. Чи можна скласти графік чергування так, щоб кожні дві особи чергували разом рівно один раз?

По колу розставлено 9 чисел — 4 одиниці і 5 нулів. Щосекунди з числами проводять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, і одиницю, якщо вони рівні; після цього старі числа стирають. Чи можуть через деякий час всі числа стати однаковими?

На столі стоїть 10 склянок, перевернутих через одну догори дном. Чи можна, перевертаючи їх парами, добитися того, щоб усі склянки стояли однаково?

До 17-значного числа додали число, записане тими ж цифрами, але у зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра здобутої суми парна.

Шахова дошка розміром 6x6 покрита 18 кісточками доміно. Кожна кісточка покриває дві клітинки дошки. Доведіть, що за довільного покриття можна розрізати дошку на дві чистини по горизонтальній або вертикальній прямій, не пошкодивши жодної кісточки доміно.

Перестановкою цифр числа х утворене п-цифрове число «у». При
яких значеннях п сума х+у може бути записана лише дев'ятками?

Доведіть, що рівняння не має розв'язків у непарних натуральних числах.

На колі позначено 20 точок, які є вершинами правильного 20-кутника. Після цього вони розбиті на 10 пар і в кожній парі точки з'єднано
хордою. Доведіть, що якісь дві хорди мають однакову довжину.

Схожі:

Призначення, характеристика та використання витої пари Мета: познайомити учнів із призначенням, характеристиками та областю використання витої пари	ОСНОВНІ ПРАВИЛА ЧЕРГУВАННЯ У – В, І – Й Мета Мета: з’ясувати основні випадки чергування у – в, і – й; удосконалювати навички правильної вимови звуків української мови; розвивати...
1-18. Прикладіть схему важільної передачі заданого типу локомотива... Підрахуйте, у скільки разів збільшиться гальмівна сила однієї колісної пари локомотива при зменшенні швидкості з початкової vn до...	В еселкова лічилка Добери з вірша пари слів, що римуються: стежині — собі — колом — двора —
Прочитайте текст і виконайте завдання 7–10 Чергування приголосних НЕ відбуватиметься в прикметнику, утвореному за допомогою суфікса -ськ- від слова	закономірне чергування довгих і коротких складів Це водночас давня наука, яка зародилася в Індії, і новітня наука, що виникла на європейському терені з початку ХХ ст
РОЗКЛАД ЗАНЯТЬ Технічна підготовка: Прийняття і постановка транспортних засобів на чергування (у розрахунок). Облік транспортних засобів та їхньої...	РОЗКЛАД ЗАНЯТЬ Технічна підготовка: Прийняття і постановка транспортних засобів на чергування (у розрахунок). Облік транспортних засобів та їхньої...
РОЗКЛАД ЗАНЯТЬ Технічна підготовка: Прийняття і постановка транспортних засобів на чергування (у розрахунок). Облік транспортних засобів та їхньої...	РОЗПОРЯДОК ДНЯ Шикування особового складу караулу, що заступає та начальницького складу підрозділу, який закріплений за зміною. Інструктаж перед...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання