УРОК 7 Тема. Трикутник Паскаля. Біном Ньютона

Скачати 68.85 Kb.

Назва	УРОК 7 Тема. Трикутник Паскаля. Біном Ньютона
Дата	24.03.2013
Розмір	68.85 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Математика > Урок

УРОК 7

Тема. Трикутник Паскаля. Біном Ньютона.

Мета: скласти таблицю чисел

, дати поняття бінома, записати формулу загального члена розкладу бінома і показати її використання для знаходження будь-якого члена розкладу.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.

Розв'язання завдань домашньої роботи

Нехай А — множина учнів класу, які придбали квитки в кіно, В — множина учнів класу, які придбали квитки в музей.

N(А) = 18, N(В) = 15, N(АВ) = 6.

Придбали хоча б один квиток: N(А) + N(В) – N(АВ) = 18 + 15 – 6 = 27.

Не придбали жодного квитка 30 – 27 = 3 (учні).

Відповідь. 3 учні.

Нехай А = {а, е, и} - множина голосних букв, В = {м, т, к} — множина приголосних слова «математика». Першу букву з множини А можна вибрати трьома способами, для кожної голосної букви можна приголосну вибрати також трьома способами. Тоді за правилом добутку пару букв, що відповідає умові, можна вибрати 3∙3 = 9 (способами).

Відповідь. Дев'ятьма різними способами.

а) , х ≥ 5, х N.

,

х² – x = 56, x² – х – 56 = 0, х₁= 8, x₂ = -7 .

Число -7 не належить області допустимих значень рівняння, отже, його розв'язком є лише число 8.

Відповідь. х = 8.

б)

_, х ≥ 4, х

,

х(x + 1)(x + 2) = 210, 210 = 5∙6∙7 , отже, х = 5.

Відповідь. х = 5.
II. Розв'язування усних вправ.

Записати D_AВ, якщо:

а) А = {3, 7, 6}, В = {3};

б) A ={3, 7, 6}, B = {3, 6};

в) А = {3, 7, 6}, B = {3, 7}.

Обчислити , , , , , , .

За якою формулою краще обчислювати значення цих чисел?

Що показує число

? Що показують нижній і верхній індекси?

Розв'язати рівняння: а) = ; б) = .

III. Вивчення нового матеріалу.

Задача 1. Записати всі підмножини множини {1, 3}; {1, 3, 5}. Скільки їх? Чи можна записати це число через степінь одного і того самого числа?

Відповідь. 4 = 2², 8 = 2³.

Задача 2. Використовуючи формулу

, властивості кількості комбінацій з т елементів по n елементів та співвідношення

= 1, скласти таблицю чисел

Числа т	Числа п								2ⁿ
Числа т	0	1	2	3	4	5	6			, , , , ,
0	1							1	2°
1	1	1						2	2¹
2	1	2	1					4	2²
3	1	3	3	1				8	2³
4	1	4	6	4	1			16	2⁴
5	1	5	10	10	5	1		32	2⁵
6	1	6	15	20	15	6	1	64	2⁶

Ця таблиця дістала назву трикутника Паскаля.

Розглянемо закономірності утворення таблиці.

Числа в таблиці — кількість комбінацій з т елементів по n елементів; числа лівого стовпчика — кількість елементів множини; числа верхнього рядка кількість елементів підмножини (сполуки).
Кожний рядок починається закінчується 1.
Сума чисел кожного рядка дорівнює 2т, т = 0, 1,2,3,...
Кожне число наступного рядка дорівнює сумі двох чисел попереднього рядка, що стоять над ним.

Наприклад, у 5-му рядку: 5 = 1 + 4, 10 = 4 + 6; у 6-му рядку: 6 = 1 + 5, 15 = 5 + 10, 20 = 10 + 10, ...

Числа, розміщені на однаковій відстані від кінців рядка, рівні між собою = (за властивістю 1).

Учні самостійно заповнюють рядок чисел, якщо т = 7.

Інша форма запису трикутника Паскаля:

Учні самостійно дописують рядок, якщо т = 7.

Означення. Двочлен а + b називається біномом.

Запишемо послідовно у вигляді многочлена степені бінома з нульовим і натуральним показниками:

(а + b)⁰= 1,

(а + b)¹= 1∙а + 1∙b,

(а + b)² = 1∙а² + 2∙аb + 1∙b²,

(а + b)³ = 1∙а³ + 3∙а²b + 3∙аb² + 1∙b,

(а + b)⁴ =((а + b)²)² =(а² + 2аb + b²)² = 1∙а⁴ + 4а³b + 6∙а²b² + 4∙аb³ + 1∙b⁴.

Бачимо, що коефіцієнти розкладу степеня бінома дорівнюють числам трикутника Паскаля.

Теорема. Коефіцієнти розкладу (а + b)ⁿ збігаються з п-м рядком трикутника Паскаля, тобто для будь-якого натурального показника п виконується рівність:

(а + b)ⁿ =

аⁿ +

aⁿ^-1b +

аⁿ^-2b²+ ...+

aⁿ^-^mb^т+...+

bⁿ.

Ця формула дістала назву бінома Ньютона на честь видатного англійського математика і фізика Ісаака Ньютона.

Коефіцієнти правої частини називаються біноміальними коефіцієнтами.

Приклад 1.

(1 + х)⁷ = 1 + 7х + 21х² + 35х³ + 35х⁴ + 21х⁵ + 7х⁶ + х⁷.

Приклад 2.

(1 – х)⁷ = 1 – 7х + 21х² – 35х³ + 35х⁴ – 21х³ + 7х⁶ – х⁷.

Знаки многочлена чергуються, бо можна вважати, що а = 1, b = - х.

Формула загального члена розкладу степеня бінома:

Приклад 3. Записати восьмий член розкладу (x – у)¹².

Розв'язання

(х – у)¹²=(х + (-у))¹².

Т₈ = T₇₊₁ =

а⁵b⁷ , а = х, b = -у.

= 72 ∙ 11 = 792.

T₈ = -792 х⁵y⁷.

Відповідь. -792 х⁵y⁷.

IV. Домашнє завдання.

Записати восьмий і дев'ятий рядки трикутника Паскаля.
Записати розклад степеня бінома: а) (х² + 2х³)⁴; б) .
Розв'язати рівняння .

Схожі:

УРОК 39 Тема уроку: Біном Ньютона. Мета уроку: Познайомити учнів... Перевірку виконання вправ провести шляхом фронтальної бесіди за готовими записами розв'язання домашніх вправ на дошці	УРОК №28 Клас 10 Тема уроку Мета: Освітня: ввести третій закон Ньютона, пояснити учням його фізичну сутність; узагальнити інформацію про закони Ньютона; акцентувати...
УРОК №33 Тема. Прямокутний трикутник Обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя, таблиця №15 «Прямокутний трикутник»	УРОК 4 Тема. Коло, вписане в трикутник ...
УРОК 25 Тема уроку Мета уроку: Вивчення формули Ньютона—Лейбніца і основних властивостей інтеграла, які випливають із властивості первісної і формули...	Уроки 17-18 Тема. Трикутник і його елементи Мета. Повторити й уточнити поняття трикутник, сторони, кути, медіана, бісектриса, висота трикутника
УРОК 56 Тема: Обчислення площ за формулами ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ ТЕМА МНОГОКУТНИКИ: ТРИКУТНИК, КВАДРАТ, ПРЯМОКУТНИК	УРОК 62 Тема: Обчислення об'ємів. Самостійна робота №14 ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ ТЕМА МНОГОКУТНИКИ: ТРИКУТНИК, КВАДРАТ, ПРЯМОКУТНИК
УРОК 61 Тема: Формули об'ємів куба і прямокутного паралелепіпеда ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ ТЕМА МНОГОКУТНИКИ: ТРИКУТНИК, КВАДРАТ, ПРЯМОКУТНИК	УРОК №30 Тема. Властивості рівнобедреного трикутника Обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя, таблиця №14 «Рівнобедрений трикутник»

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання