МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ

Скачати 58.13 Kb.

Назва	МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ
Дата	17.05.2013
Розмір	58.13 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ
Математична індукція — це спосіб доведення нескінченної кількості занумерованих натуральними числами тверджень Т(n) за два ходи:

база індукції: доводимо Т(1);
крок індукції: доводимо, що для довільного k з істинності твердження
Т(к) випливає істинність Т(k+1).

Відомо, що а₁ = 1, а_п+₁ = 2а_п + 1 при п ≥ 1. Знайдіть а_п.

Розв'язання

а₂ = 3, а₃ =7, а₄ = 15, а₅ = 31.

Помічаємо, що а₁ = 2¹ – 1, а₂ =2² – 1, а₃ = 2³ – 1, а₄ = 2⁴ – 1, а₅ = 2⁵ – 1.

Виникає гіпотеза а_k = 2^k – 1.

Перевіримо крок індукції: а_k₊₁ – 2а_k + 1 = 2(2^k – 1) + 1 = 2^k⁺¹ – 1.

Отже, на основі принципу математичної індукції для кожного натурального n а_п = 2ⁿ – 1.

Доведіть, що при кожному натуральному п стверджується рівність

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n².

Розв'язання

Якщо п = 1, то1 = 1².

Припустимо, що при n = k, рівність 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k² правильна.

Якщо n = k + 1, то 1+3+...+(2k–1)+2(k+1)–1=k²+2(k+1)–1=(k+1)².

Індуктивний перехід правильний, а тому рівність доведено.

Доведіть, що для кожного натурального п вираз ділиться на 19.

Розв'язання

Якщо п = 1, то 5³ – 2² + 3³ – 2³ ділиться на 19.

Нехай при п = k 5²^k⁺¹ – 2^k⁺¹ + 3^k⁺² – 2²^k⁺¹ ділиться на 19.

Доведемо, що при п = k+1 твердження також правильне, тобто, що

5²^k⁺³ – 2^k⁺² + 3^k⁺³ – 2²^k⁺³ ділиться на 19.

5²^k⁺³ ∙2^k⁺³ + 3^k⁺³ – 2²^k⁺³ = 50∙5²^k⁺¹∙2^k⁺¹ + 12∙3^k⁺²∙2²^k⁺¹ =

= 12(5²^k⁺¹∙2^k⁺¹ +3^k⁺²∙2^k⁺¹) + 38∙5²^k⁺¹∙2^k⁺¹.

Перший доданок суми ділиться на 19 за припущенням, другий доданок, очевидно, ділиться на 19, тому вся сума ділиться на 19. Отже, твердження задачі справедливе для всіх натуральних п.

Доведіть, що для всіх натуральних п виконується нерівність .

Розв'язання

База індукції: при п = 1 маємо правильну нерівність

.

Припустимо тепер, що нерівність справедлива при п = k, тобто

.

Доведемо тепер, що нерівність справедлива при п = k + 1, тобто, що

.

З урахуванням припущення індукції для цього досить довести нерівність

.

Оскільки k > 1, то достатньо довести, що

. Піднесемо цю нерівність до квадрата (ліва і права частини додатні): (2k+1)(2k+3) < 4k² +8к+4.

Ця нерівність еквівалентна нерівності 3 < 4. На основі принципу математичної індукції робимо висновок, що твердження задачі справедливе для всіх натуральних п.

Доведіть для кожного натурального п нерівність .

Розв'язання

Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що нерівність справедлива при n = 1. Припустимо тепер, що ця нерівність справедлива при п = k, і доведемо її справедливість при п = k +1.

За припущенням індукції, маємо:

.

Доведемо, що

або

, що рівносильне

. Остання нерівність є очевидною, тому можна зробити висновок, що твердження задачі справджується для всіх натуральних п.
Є різні варіанти індукції. Іноді як крок треба перевірити, що твердження Т(п) справедливе, якщо справедливі всі попередні.

Відомо, що ціле число. Доведіть, що при будь-якому натуральному п число теж ціле.

Розв'язання

ціле.

Припустимо, що при всіх п ≤ к

ціле. Доведемо, що

також ціле.

— різниця чисел цілих, за припущенням індукції. Отже,

ціле при всіх натуральних п.

Знайдіть цілу частину числа (2004 знаки кореня).

Розв'язання

Розглянемо цю задачу для випадку п радикалів. Позначимо задане число через а_п. Нехай п = 2k+1.

База індукції: 1 < а ₂_к+₁ < 2. Тоді при п =2k+3 маємо:

.

Звідки

або 1 < а₂_k₊₁ < 2. Таким чином, [а₂_k₊₃] = 1, а тому для непарних п маємо: [а_n ] = 1.

Нехай тепер п = 2k.

База індукції:

.

Крок індукції: припустимо, що 0 < а₂_k < 1. Тоді

, звідки

, 0 < а₂_k₊₂ < 1. Отже, [a₂_k₊₂] = 0.

Згідно з припущенням математичної індукції,

Тому [а₂₀₀₄] = 0.
Задачі для самостійного розв'язування

Доведіть, що при всіх натуральних п:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

Доведіть, що при всіх натуральних п:

а) n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ ділиться на 9;

б) 4ⁿ + 6n – 1 ділиться на 9;

в) 3²ⁿ⁺² + 8n – 9 ділиться на 16;

г) 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ ділиться на 133;

д)2ⁿ ділиться на 3ⁿ⁺¹.

Обчисліть суми: а) 1³ + 2³ + ... +(2n)³; б) 1³ + 3³ + ... + (2n – 1)³.

Доведіть нерівність для всіх натуральних п.

Доведіть, що для всіх п ≥ 2 виконується нерівність .

Доведіть, що кожне натуральне число дорівнює сумі кількох (можливо, одного) різних чисел Фібоначчі.

Доведіть, що для довільного натурального п > 3 число п! можна розкласти на множники, відношення яких буде не менше від і не більше за .

Доведіть, що для довільних додатних чисел х₁, х₂, ... , х_n справедлива нерівність (нерівність Коші).

Вказівка. Застосуйте таку схему індукції: спочатку переходами від n = 2^k до п = 2^k⁺¹ доведіть нерівність для всіх п, що є степенями двійки. Після цього доведіть, що якщо нерівність справедлива для п чисел, то вона справедлива і для п – 1 чисел (зворотна індукція).

Схожі:

Тема: Предмет, структура, завдання й методи досліджень в юридичній психології Юридична психологія, метод спостереження (інтроспекція), метод бесіди, метод експерименту (законодавчий, природний, лабораторний,...	Урок розвитку мовлення в 11 класі Підготовка до написання твору роздуму... Методи: метод випереджального навчання, метод наукового дослідження, метод дискусії, активний метод навчання — робота в малих групах,...
4 Метод статистичних випробувань Метод статистичних випробувань Метод статистичних випробувань — це числовий метод математичного моделювання випадкових величин, який передбачає безпосереднє включення...	«УЗАГАЛЬНЕНИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ (метод ЕЙТКЕНА)» Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена) оцінка параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастиними заліками....
Інструктивно-методичний лист щодо викладання математики в ЗНЗ Миколаївської... Стратегічною метою математичної освіти в загальноосвітньому навчальному закладі є розвиток і саморозвиток школярів шляхом оволодіння...	УРОК 58 Тема уроку: Розв'язування логарифмічних рівнянь Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами: зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного;...
МЕХАНІКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА АЛГЕБРИ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ ЗВІТ В період з лютого 2011 року по березня 2011 року я проходив педагогічно-асистентську практику на кафедрі алгебри та математичної...	МЕХАНІКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА АЛГЕБРИ І МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ ЗВІТ В період з “08” лютого 2008 року по “08” березня 2008 року я проходив педагогічно-асистентську практику на кафедрі алгебри та математичної...
Тема: Введення в хімію високомолекулярних сполук Опишіть методики визначення молекулярних мас полімерів (кріоскопія, ебуліоскопія, осмометрія, метод кінцевих груп, ультрацентрифугування,...	УРОК ФІЗИКИ В 9 КЛАСІ ТЕМА : Електромагнітна індукція. Досліди Фарадея ...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання