Урок 4 Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дис­персія


Скачати 114.42 Kb.
НазваУрок 4 Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дис­персія
Дата30.03.2013
Розмір114.42 Kb.
ТипУрок
bibl.com.ua > Математика > Урок
Урок 4

Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дис­персія.

Мета уроку. Ознайомити учнів з найважливі­шими числовими характеристиками випадкових вибірок: вибірковим середнім та вибірковою дис­персією — й основними прийомами їх обчислень.
І. Перевірка домашнього завдання

1. Вибірково перевірити зошити з виконаним домашнім завданням.

2. Перевірити засвоєння теоретичного матері­алу можна такими усними вправами:

1) За даними вибірки 1; 5; 4; б; 3; 2; 6; 4; 5; 4:

а) заповнити таблицю 1 точкового розподілу частот.

Таблиця 1

Число

1

2

3

4

5

6

Частота













б) заповнити таблицю 2 інтервального розпо­ділу частот.

Таблиця 2

Інтервал

1-2

3-4

5-6

Частота







2) Дано. вибірку 2; 2; 4; 5; 7. Знайти: а) її моду; б) її медіану.

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу


Графічно зобразивши варіаційний ряд, дослід­ник отримує можливість наочного уявлення про характер поведінки генеральної сукупності і почат­кового її аналізу. На практиці цього буває недо­статньо. Насамперед залишається неясним, як фор­мально порівнювати два графічні зображення не­залежно від індивідуальних уподобань і досвіду дос­лідника. Тому для подальшого вивчення характеру варіації (зміни) елементів у випадковій вибірці ви­користовують їх числові характеристики.

Оскільки числові характеристики стосуються вибірок, то їх називають вибірковими. Ми ознайо­мимося з основними з них: вибірковим середнім (арифметичним — це слово часто опускають) та вибірковою дисперсією.

Вибіркове середнє арифметичне випадкової ви­бірки x1, x2, ..., хn позначають символом х і вира­жають формулою: .

Розглянемо окремі випадки, коли обчислення вибіркового середнього можна спростити.

  1. Нехай вибіркова сукупність задана своїм статистичним рядом розподілу, тобто послідовні­стю варіант z1, z2, ..., zk і послідовністю відповід­них їм відносних частот , , …, . Тоді вибіркове середнє даної сукупності можна обчис­лювати за формулою z1 + z2+ … +zk.

Якщо ж вибіркова сукупність задана послідов­ністю тих самих варіант і послідовністю відповід­них їм абсолютних частот n1, n2, ..., nk, то вибір­кове середнє можна обчислити за формулою .

  1. Якщо кожний елемент х, вибіркової по­слідовності можна представити у вигляді хi = суi + b1 то вибіркове середнє можна виразити че­рез вибіркове середнє формулою = с + b.

  2. Нехай маємо дві вибіркові послідовності однакових об'ємів

х = (х1, х2, ..., хn) і у = (у1, у2, ..., уn). За ними утворюють третю послідовність

х + у = (х1 + у1, x2 + у2, ..., хn + уn). Тоді вибірко­ве середнє для суми послідовностей дорівнює сумі вибіркових середніх, тобто .

  1. Якщо від кожного елемента вибіркової по­слідовності х відняти його вибіркове середнє і позначити таку вибіркову послідовність х, то її вибіркове середнє дорівнює нулю, тобто .

Приклади обчислень вибіркового середнього можна взяти з підручника.

Вибіркове середнє — дуже важлива характе­ристика для статистичного матеріалу найрізнома­нітнішої природи. Ми часто чуємо про середню температуру місяця в певному місці, середню зар­плату працівників даної галузі, середню пенсію, середній рівень опадів у даній місцевості тощо. Проте для кожного прикладу відхилення значень вибіркової послідовності від вибіркового серед­нього може бути досить значним і завжди важ­ливо знати міру цього відхилення. Хотілося б скористатися вибірковим середнім відхилення, але воно, як ми уже знаємо, завжди дорівнює нулю. Тому за міру цього відхилення прийнято вико­ристовувати середнє арифметичне величин (хi)2 — це буде вибіркова дисперсія.

Вибірковою дисперсією випадкової вибірки х = (х1, x2, ..., xn) називають величину .

Ця формула не завжди зручна для обчислен­ня вибіркової дисперсії. Можна довести, що дане обчислення можна вести за такою формулою: , або в розгорнутій формі .

Якщо позначити всі попарно різні варіанти z = (z1, z2, ..., zk), а відповідні їм абсолютні час­тоти n1, n2, ..., nk, то для вибіркової дисперсії буде мати місце .
III. Закріплення нового матеріалу

1. Знайти центральні тенденції вибірки: 1, 4, 5, 2, 3, 6, 1, 3, 5, 4, 5.

Відповідь: мода — 5, медіана — 4, середнє зна­чення — .

2. Знайти вибіркову дисперсію для вибірки, заданої статистичним рядом розподілу (табл. 3).

Таблиця З


zi

2

5

7

10

nі

16

12

8

4


Розв'язання (див. табл. 4).

Таблиця 4

zi

2

5

7

10

ni

16

12

8

4

zini

32

60

56

40



4

25

49

100

ni

64

300

392

400

Тепер легко провести подальші обчислення:

= 32 + 60 + 56 + 40 = 188, звідки = = 4,7.

= 64 + 300 + 392 + 400 = 1156, звідки = = 28,9.

= 28,9 – (4,7)2 = 28,9 – 22,09 = 6,81. Отже, вибіркова дисперсія даного варіаційно­го ряду дорівнює 6,81.

Після вивчення основних понять статистики бажано провести самостійну роботу.

IV. Самостійна робота


І рівень.

Визначте моду і медіану, використовуючи дані про відсоток жирності молока 20 корів (у відсот­ках): 3,8; 3,9; 4,0; 4,1; 3,8; 3,7; 3,6; 3,7; 3,9; 3,7. Складіть варіативний ряд і статистичну таблицю. Знайдіть середнє значення жирності молока (3 бали).

II рівень.

Протягом березня середньодобова температу­ра (в градусах) була такою: 6, 7, 5, 4, 3, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 5, 8, 6, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 7. Побудуйте полігон. Знайдіть моду, медіану, середнє значення сукупності значень температу­ри (6 балів).

III рівень.

За контрольну роботу учні 11 класу отримали бали (табл. 5).

Таблиця 5

Номер у списку

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Кількість балів

10

8

7

6

9

7

5

2

3

4

Номер у списку

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Кількість балів

8

7

7

8

4

9

11

5

6

7

Визначте центральні тенденції. Побудуйте полігон (9 балів).

IV рівень.

Учні 9 класу показали результати зі стриб­ків у висоту (табл. 6, 7).

Таблиця 6

Номер у списку

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Резуль­тат

130

135

120

115

120

125

140

138

135

130

120

130

Таблиця 7
Номер у списку

13

14

15

16

14

18

19

20

21

22

23

24

Резуль­тат

125

128

130

125

135

138

135

136

121

125

128

130

Складіть частотну таблицю і побудуйте відпо­відну гістограму. Визначте центральні тенденції (12 балів).

У самостійній роботі учень сам обирає для себе відповідний рівень

V. Домашнє завдання


1. Знайти вибіркову дисперсію для вибірки, заданої таким статистичним рядом розподілу (табл. 8).

Таблиця 8

zi

1

3

39

45

ni

8

16

40

26

Розв'язання.

Складемо таку таблицю (табл. 9).

Таблиця 9


zi

1

3

39

45

ni

8

16

40

26

zini

8

48

1560

1170



1

9

1521

2025

ni

8

144

60840

52650

Тепер легко провести подальші обчислення:

= 2786, звідки = = 40,38.

= = 1646,99.

= 1646,99 – (40,38)2 = 16,4456.

Отже, вибіркова дисперсія даного варіаційно­го ряду дорівнює 16,4456.

2. Провести дослідження статистики оцінок з математики в класі за останню чверть: знайти середнє арифметичне і вибіркову дисперсію.

3. Тема для дослідження. Проаналізувати час­тоту вживання службових слів на різних сторінках підручника з математики. Вирішити питання про близькість частот та існування певної характер­ної частоти вживання службових слів автором підручника.

4. Розділ 8, §§52, 53.




“Математика в школі” 2`2004 Уроки статистики в школі

Схожі:

УРОК 115 Тема: Середнє значення величин. Самостійна робота №24
ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ ТЕМА 10. МАСШТАБ. ВІДСОТКИ. СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ КІЛЬКОХ ЧИСЕЛ. МІКРОКАЛЬКУЛЯТОР
Урок 55 Тема уроку
...
УРОК 114. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ВПРАВ. САМОСТІЙНА РОБОТА Мета
Тема Ділення десяткових дробів. Дії з десятковими дробами. Середнє арифметичне
УРОК 124 Тема: Тематична контрольна робота №11
ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ ТЕМА 10. МАСШТАБ. ВІДСОТКИ. СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ КІЛЬКОХ ЧИСЕЛ. МІКРОКАЛЬКУЛЯТОР
9-й клас. Алгебра
Нерівність Коші для двох чисел та Ті застосування. Нерівності між середніми величинами двох додатних чисел (середнє гармонічне, середнє...
УРОК 120 Тема: Розв'язування задач на відсоткові розрахунки. Самостійна робота №25
ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ ТЕМА 10. МАСШТАБ. ВІДСОТКИ. СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ КІЛЬКОХ ЧИСЕЛ. МІКРОКАЛЬКУЛЯТОР
УРОК 103. ДІЛЕННЯ ДЕСЯТКОВОГО ДРОБУ НА НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО Мета
Тема Ділення десяткових дробів. Дії з десятковими дробами. Середнє арифметичне
УРОК 107. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ВПРАВ НА ВСІ ДІЇ З ДЕСЯТКОВИМИ ДРОБАМИ Мета
Тема Ділення десяткових дробів. Дії з десятковими дробами. Середнє арифметичне
Дата Клас Майстер функцій. Категорії функцій
Зокрема, знаходити середнє арифметичне, максимальне й мінімальне значення, середньоквадратичне відхилення, найбільш імовірне значення,...
УРОК 10 Тема. Контрольна робота
Знайти моду, медіану і середнє значення вибір­ки: 13, 18, 12, 14, 15, 16, 16, 17, 14, 14
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка