Урок 4 Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дисперсія

Скачати 114.42 Kb.

Назва	Урок 4 Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дисперсія
Дата	30.03.2013
Розмір	114.42 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Математика > Урок

Урок 4

Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дисперсія.

Мета уроку. Ознайомити учнів з найважливішими числовими характеристиками випадкових вибірок: вибірковим середнім та вибірковою дисперсією — й основними прийомами їх обчислень.
І. Перевірка домашнього завдання

1. Вибірково перевірити зошити з виконаним домашнім завданням.

2. Перевірити засвоєння теоретичного матеріалу можна такими усними вправами:

1) За даними вибірки 1; 5; 4; б; 3; 2; 6; 4; 5; 4:

а) заповнити таблицю 1 точкового розподілу частот.

Таблиця 1

Число	1	2	3	4	5	6
Частота

б) заповнити таблицю 2 інтервального розподілу частот.

Таблиця 2

Інтервал	1-2	3-4	5-6
Частота

2) Дано. вибірку 2; 2; 4; 5; 7. Знайти: а) її моду; б) її медіану.

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Графічно зобразивши варіаційний ряд, дослідник отримує можливість наочного уявлення про характер поведінки генеральної сукупності і початкового її аналізу. На практиці цього буває недостатньо. Насамперед залишається неясним, як формально порівнювати два графічні зображення незалежно від індивідуальних уподобань і досвіду дослідника. Тому для подальшого вивчення характеру варіації (зміни) елементів у випадковій вибірці використовують їх числові характеристики.

Оскільки числові характеристики стосуються вибірок, то їх називають вибірковими. Ми ознайомимося з основними з них: вибірковим середнім (арифметичним — це слово часто опускають) та вибірковою дисперсією.

Вибіркове середнє арифметичне випадкової вибірки x₁, x₂, ..., х_n позначають символом х і виражають формулою:

.

Розглянемо окремі випадки, коли обчислення вибіркового середнього можна спростити.

Нехай вибіркова сукупність задана своїм статистичним рядом розподілу, тобто послідовністю варіант z₁, z₂, ..., z_k і послідовністю відповідних їм відносних частот , , …, . Тоді вибіркове середнє даної сукупності можна обчислювати за формулою z₁+ z₂+ … +z_k.

Якщо ж вибіркова сукупність задана послідовністю тих самих варіант і послідовністю відповідних їм абсолютних частот n₁, n₂, ..., n_k, то вибіркове середнє можна обчислити за формулою

Якщо кожний елемент х, вибіркової послідовності можна представити у вигляді х_i = су_i + b₁ то вибіркове середнє можна виразити через вибіркове середнє формулою = с+ b.
Нехай маємо дві вибіркові послідовності однакових об'ємів

х = (х₁, х₂, ..., х_n) і у = (у₁, у₂, ..., у_n). За ними утворюють третю послідовність

х + у = (х₁ + у₁, x₂ + у₂, ..., х_n + у_n). Тоді вибіркове середнє для суми послідовностей дорівнює сумі вибіркових середніх, тобто

Якщо від кожного елемента вибіркової послідовності х відняти його вибіркове середнє і позначити таку вибіркову послідовність х – , то її вибіркове середнє дорівнює нулю, тобто .

Приклади обчислень вибіркового середнього можна взяти з підручника.

Вибіркове середнє — дуже важлива характеристика для статистичного матеріалу найрізноманітнішої природи. Ми часто чуємо про середню температуру місяця в певному місці, середню зарплату працівників даної галузі, середню пенсію, середній рівень опадів у даній місцевості тощо. Проте для кожного прикладу відхилення значень вибіркової послідовності від вибіркового середнього може бути досить значним і завжди важливо знати міру цього відхилення. Хотілося б скористатися вибірковим середнім відхилення, але воно, як ми уже знаємо, завжди дорівнює нулю. Тому за міру цього відхилення прийнято використовувати середнє арифметичне величин (х_i –

)² — це буде вибіркова дисперсія.

Вибірковою дисперсією випадкової вибірки х = (х₁, x₂, ..., x_n) називають величину

.

Ця формула не завжди зручна для обчислення вибіркової дисперсії. Можна довести, що дане обчислення можна вести за такою формулою:

, або в розгорнутій формі

.

Якщо позначити всі попарно різні варіанти z = (z₁, z₂, ..., z_k), а відповідні їм абсолютні частоти n₁, n₂, ..., n_k, то для вибіркової дисперсії буде мати місце

.
III. Закріплення нового матеріалу

1. Знайти центральні тенденції вибірки: 1, 4, 5, 2, 3, 6, 1, 3, 5, 4, 5.

Відповідь: мода — 5, медіана — 4, середнє значення —

.

2. Знайти вибіркову дисперсію для вибірки, заданої статистичним рядом розподілу (табл. 3).

Таблиця З

z_i	2	5	7	10
n_і	16	12	8	4

Розв'язання (див. табл. 4).

Таблиця 4

z_i	2	5	7	10
n_i	16	12	8	4
z_in_i	32	60	56	40
	4	25	49	100
n_i	64	300	392	400

Тепер легко провести подальші обчислення:

= 32 + 60 + 56 + 40 = 188, звідки

= 4,7.

= 64 + 300 + 392 + 400 = 1156, звідки

= 28,9.

= 28,9 – (4,7)² = 28,9 – 22,09 = 6,81. Отже, вибіркова дисперсія даного варіаційного ряду дорівнює 6,81.

Після вивчення основних понять статистики бажано провести самостійну роботу.

IV. Самостійна робота

І рівень.

Визначте моду і медіану, використовуючи дані про відсоток жирності молока 20 корів (у відсотках): 3,8; 3,9; 4,0; 4,1; 3,8; 3,7; 3,6; 3,7; 3,9; 3,7. Складіть варіативний ряд і статистичну таблицю. Знайдіть середнє значення жирності молока (3 бали).

II рівень.

Протягом березня середньодобова температура (в градусах) була такою: 6, 7, 5, 4, 3, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 5, 8, 6, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 7. Побудуйте полігон. Знайдіть моду, медіану, середнє значення сукупності значень температури (6 балів).

III рівень.

За контрольну роботу учні 11 класу отримали бали (табл. 5).

Таблиця 5

Номер у списку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Кількість балів	10	8	7	6	9	7	5	2	3	4
Номер у списку	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Кількість балів	8	7	7	8	4	9	11	5	6	7

Визначте центральні тенденції. Побудуйте полігон (9 балів).

IV рівень.

Учні 9 класу показали результати зі стрибків у висоту (табл. 6, 7).

Таблиця 6

Номер у списку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Результат	130	135	120	115	120	125	140	138	135	130	120	130

Таблиця 7

Номер у списку	13	14	15	16	14	18	19	20	21	22	23	24
Результат	125	128	130	125	135	138	135	136	121	125	128	130

Складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму. Визначте центральні тенденції (12 балів).

У самостійній роботі учень сам обирає для себе відповідний рівень

V. Домашнє завдання

1. Знайти вибіркову дисперсію для вибірки, заданої таким статистичним рядом розподілу (табл. 8).

Таблиця 8

z_i	1	3	39	45
n_i	8	16	40	26

Розв'язання.

Складемо таку таблицю (табл. 9).

Таблиця 9

z_i	1	3	39	45
n_i	8	16	40	26
z_in_i	8	48	1560	1170
	1	9	1521	2025
n_i	8	144	60840	52650

Тепер легко провести подальші обчислення:

= 2786, звідки

= 40,38.

= 1646,99.

= 1646,99 – (40,38)² = 16,4456.

Отже, вибіркова дисперсія даного варіаційного ряду дорівнює 16,4456.

2. Провести дослідження статистики оцінок з математики в класі за останню чверть: знайти середнє арифметичне і вибіркову дисперсію.

3. Тема для дослідження. Проаналізувати частоту вживання службових слів на різних сторінках підручника з математики. Вирішити питання про близькість частот та існування певної характерної частоти вживання службових слів автором підручника.

4. Розділ 8, §§52, 53.

“Математика в школі” 2`2004 Уроки статистики в школі

Схожі:

УРОК 115 Тема: Середнє значення величин. Самостійна робота №24 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ ТЕМА 10. МАСШТАБ. ВІДСОТКИ. СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ КІЛЬКОХ ЧИСЕЛ. МІКРОКАЛЬКУЛЯТОР	Урок 55 Тема уроку ...
УРОК 114. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ВПРАВ. САМОСТІЙНА РОБОТА Мета Тема Ділення десяткових дробів. Дії з десятковими дробами. Середнє арифметичне	УРОК 124 Тема: Тематична контрольна робота №11 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ ТЕМА 10. МАСШТАБ. ВІДСОТКИ. СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ КІЛЬКОХ ЧИСЕЛ. МІКРОКАЛЬКУЛЯТОР
9-й клас. Алгебра Нерівність Коші для двох чисел та Ті застосування. Нерівності між середніми величинами двох додатних чисел (середнє гармонічне, середнє...	УРОК 120 Тема: Розв'язування задач на відсоткові розрахунки. Самостійна робота №25 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ ТЕМА 10. МАСШТАБ. ВІДСОТКИ. СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ КІЛЬКОХ ЧИСЕЛ. МІКРОКАЛЬКУЛЯТОР
УРОК 103. ДІЛЕННЯ ДЕСЯТКОВОГО ДРОБУ НА НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО Мета Тема Ділення десяткових дробів. Дії з десятковими дробами. Середнє арифметичне	УРОК 107. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ВПРАВ НА ВСІ ДІЇ З ДЕСЯТКОВИМИ ДРОБАМИ Мета Тема Ділення десяткових дробів. Дії з десятковими дробами. Середнє арифметичне
Дата Клас Майстер функцій. Категорії функцій Зокрема, знаходити середнє арифметичне, максимальне й мінімальне значення, середньоквадратичне відхилення, найбільш імовірне значення,...	УРОК 10 Тема. Контрольна робота Знайти моду, медіану і середнє значення вибірки: 13, 18, 12, 14, 15, 16, 16, 17, 14, 14

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання

Урок 4 Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дис­персія