Графічний метод розв’язання рівнянь і нерівностей з параметрами

Скачати 55.82 Kb.

Назва	Графічний метод розв’язання рівнянь і нерівностей з параметрами
Дата	24.12.2013
Розмір	55.82 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Астрономія > Документи

Графічний метод розв’язання рівнянь і нерівностей з параметрами.
Залежно від того, яка роль відводиться задачі параметру (нерівноправна чи рівноправна зі зміною) можна відповідно виділити два основних графічних прийоми:

побудова графіків на координатній площині (х;у);
побудова графіків на координатній площині (х; a);

При використанні другого прийому, параметр дорівнюється у правах зі зміною, будується графічний образ у площині (х; a), потім отриманий графік перетинається з прямими, які будуть, перпендикулярні до параметричної осі, та «знімається» необхідна інформація.

Алгоритм розв’язання.

Знаходимо ОДЗ рівняння.
Виражаємо a як функцію від х.
В системі координат (х; a) будуємо графіки функцій а=f(x) для тих

значень х, які входять в ОДЗ. Знаходимо точки перетину прямої а=С, де С

R, з графіком а=f(x). Якщо пряма а=С перетинає графік а=f(x), то знаходимо абсциси точок перетину. Для цього достатньо розв’язати рівняння а=f(x) відносно х.

записуємо відповідь.

Розглянемо приклад, який показує красу цього способу та його наочність.

1. Розв’язати рівняння ах + 1 =

(1)

Розв’язання

Тому що х = 0 – не є коренем цього рівняння, то можна розв’язати це рівняння відносно а, а=

або а =

, якщо х

- 2; та якщо х> 2.

Графіком функції є «скляні» гіперболи. Кількість точок перетину цієї лінії з прямою у = а визначає кількість розв’язків.

Якщо а

, то пряма перетинає графік рівняння в одній точці з абсцисою, яку знайдемо при розв’язанні рівняння а =

відносно х: ах = х+1; х =

. Якщо

, то пряма а перетинає графік рівняння у двох точках. Абсциси цих точок можна знайти із рівнянь

. Одержимо:

Якщо

, то пряма у = а не перетинає графік рівняння (1). Це означає, що розв’язків немає.

Відповідь: 1) якщо

, то х =

;

2) якщо

, то

;

3) якщо

, розв’язків немає.
Х

1

4

1

y = a

2

3

-2

-1

-4

0

У

-3

(a<0)

y = 4

Приклад 2.

При яких значеннях параметра рівняння

має рівно три корені.
Розв’язання.

Побудуємо графік функції

. Для цього спочатку побудуємо графік квадратного тричлена у= х

що являє собою параболу з вершиною (1; - 4) і вітками, що направлені вгору. Потім симетрично відносно осі ОХ відобразимо ділянки графіка, що знаходяться в нижній півплощині, достанемо графік функції, що розташований у лівій частині рівняння. Графіки функцій у=а – це сімейство прямих, паралельних осі ОХ. Легко визначити, що в момент дотику лінія і пряма перетинаються тричі. Відповідь очевидна.
Відповідь: при а=4.

Приклад 3.

Скільки коренів має рівняння

залежно від значення параметра?

Розв’язання.

Побудуємо графік функції, що міститься в лівій частині рівняння. Відразу помітно, що вона парна, потім досить побудувати Ії графік при

і симетрично відобразити від осі ОУ.

0

-1

1

y = a

У

Х

-1

1

2

- 2

Графіком функції

є парабола вершиною в точці (1; -1) і вітками направленими вгору. Графік функції

одержано з попереднього симетрією «нижньої» частини графіка відносно осі ОХ. Графік функції

дістанемо в результаті симетрії відносно осі ОУ.

Переміщаючи пряму у= а уздовж осі ОУ дістанемо відповідь.
Відповідь: при а < 0 – розв’язків немає;

при а=0 – три розв’язки;

при

– шість розв’язків;

при а=1 – чотири розв’язки;

при а > 1 – два розв’язки.
Приклад 4.

При яких значеннях параметра а система

має єдиний розв’язок?

Розв’язання.
Графіком першого рівняння є коло з центром у початку координат і радіусом R=4. Графіком другого рівняння э коло з центром у точці (а;0) і радіусом R=1. система має один розв’язок, якщо кола дотикаються внутрішнім або зовнішнім способом. Отже центри другого кола можуть розміщуватись на осі ОХ, що розташовані на відстані 1 від точок перетину оси ОХ з графіком першого кола.

У

Х

-4

4

4

-4

0

С

А

В

D

Приклад 5.

Визначити кількість коренів рівняння

залежно

від значень параметра а.

Розв’язання.
Побудуємо графік функції

для х > 0, а потім симетрично відобразити його відносно осі ОУ. Дістанемо графік.

0

y = a

-1

У

Х

1

1

(a < 0)

Відповідь: якщо а < 0, то рівняння немає розв’язків;

якщо а > 1, то рівняння має три розв’язки;

якщо 0 < а <1, то рівняння має чотири розв’язки;

якщо а=0, то рівняння має два розв’язки х= - 1; х=1.

Приклад 6.

При яких значеннях параметра а система

має тільки чотири розв’язки?
Розв’язання.
Побудуємо графік рівняння

.

При x > 0, y > 0; x + y = 1; y=1-x.

При x > 0, y < 0; x - y = 1; у = x – 1.

При x < 0, y > 0; - x + y = 1; y = x+1.

При x < 0, y< 0; - x – y = 1; y= 1- x.
Графік рівняння є квадрат з вершинами у точках (0; 1), (- 1; 0), (о; - 1), і (1; 0). Графік другого рівняння є коло з центром у початку координат і радіусом а.

У

Х

-1

1

-1

1

0 0

Чотири розв’язки система має, коли коло описано навколо квадрата, або вписано в квадрат. У першому випадку а=1, у другому випадку а=r, де r – радіус вписаного у квадрат кола, сторона квадрата -

. Отже, r =

.

Відповідь: 1;

Схожі:

Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач Комп’ютерний... Функціональний метод розв`язування рівнянь, нерівностей і задач. Навчальний посібник для вчителів та учнів 8-10 класів як загальноосвітніх...	УРОК 58 Тема уроку: Розв'язування логарифмічних рівнянь Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами: зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного;...
Equation Chapter 1 Section 1 Запропонований матеріал є навчальним посібником, в якому розглянуто аналітичні методи розв’язання лінійних, квадратних, дробово-раціональних...	Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та... Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; вироблення...
“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного...	Розділ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми...
Лінійні рівняння з параметрами та рівняння, які зводяться до них Дидактична мета: сформувати в учнів поняття параметра, лінійного рівняння з параметром. Навчати іх дослідувати та розв’язки. Виробити...	“Ітераційні методи розв’язання систем лінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення ітераційних методів розв’язання систем лінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного...
Тема уроку: Розв’язування тригонометричних рівнянь Навчальна: ознайомити учнів з іншими способами розв'язування тригонометричних рівнянь; навчити раціонально вибирати метод їх розв'язування;...	Цікаві способи усного розв’язування деяких видів квадратних рівнянь та рівнянь з параметрами Виконала: Холява Віра Павлівна вчитель математики Уманської загальноосвітньої школи І – ІІІ ступенів №14

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання