   Equation Chapter 1 Section 1Зміст
Передмова. 2
Загальні поняття й означення. 3
Лінійні нерівності. 3
Квадратні нерівності. 9
Дробово-раціональні нерівності. 22
Ірраціональні нерівності. 30
Використана література 45
І. ПЕРЕДМОВА
Запропонований матеріал є навчальним посібником, в якому розглянуто аналітичні методи розв’язання лінійних, квадратних, дробово-раціональних та ірраціональних нерівностей з параметрами.
На початку кожного розділу наведено короткі теоретичні відомості, потім на прикладах ілюстровано різні методи розв’язування задач із детальним поясненням. Для більш повного та глибокого засвоєння задачі розташовані у порядку зростання складності.
Специфіка задач із параметрами полягає в тому, що вони охоплюють усі теми алгебри, тому є унікальним засобом для систематизації й узагальнення навчальних досягнень учнів. Високий рівень абстрагування та алгоритмізації, що містять задачі з параметрами, розвиває навички застосування евристичних, дослідницьких прийомів роботи, вміння встановлювати причинно-наслідкові зв’язки, культуру мислення, ініціативу, творчість, а також забезпечити інтелектуальний розвиток особистості.
Навчальний посібник може бути використаний учителями та учнями у школах (класах) із поглибленим вивченням математики, так і у звичайних загальноосвітніх навчальних закладах (класах). Цей збірник, доповнюючи підручники з алгебри 8-10, допоможе вчителям сформувати в учнів міцні навички розв’язування задач з параметрами різної складності. Опрацьовуючи матеріал посібника, учні зможуть ліквідувати прогалини в знаннях і вміннях, розширити та поглибити знання, підвищити рівень власної підготовки.
ІІ. У задачах, що описують реальні фізичні процеси, досить часто крім невідомих зустрічаються величини, які називаються параметрами. Їх, як правило, позначають літерами a, b, c, m, k, і т. д., а невідомі - x, y, z, і т. д. В основу розв’язання задач із параметрами покладено такий принцип: значення параметра (або параметрів) вважається довільно фіксованим і розв’язок задачі знаходитися традиційними методами. Проте наявність параметрів у задачі передбачає обов’язкове дослідження існування розв’язку залежно від конкретних числових значень параметрів із області їх допустимих значень, а також знаходження всіх таких розв’язків. Задачі з параметрами, таким чином, розглядаються як ціла множина рівнянь, нерівностей або їх систем, які отримуються, коли параметри набувають конкретних значень. Форма запису відповіді у задачах з параметрами має спеціальний вигляд: значення невідомих вказуються для кожного допустимого значення параметрів.
Для розв’язання задач з параметрами необхідні ґрунтовні знання властивостей елементарних функцій, рівносильних перетворень рівнянь та нерівностей.
Нерівності, які крім букв, що позначають невідомі, містять інші букви, які називаються параметрами. Фактично ми маємо справу не з однією нерівністю, а з нескінченною множиною нерівностей.
Значення параметрів, при яких вирази в лівій та правій частинах нерівності мають зміст, називаються допустимими.
Розв’язати нерівність з параметрами означає знайти всі її розв’язки для кожної системи допустимих значень параметрів. Значення параметрів, при переході через які відбуваються якісні зміни нерівності, називаються контрольними значеннями параметрів.
ІІІ. Нерівності виду ax >< b ,де a i b – дійсні числа, x - змінна, називаються лінійними нерівностями з однією змінною. Розв’язки нерівності суттєво змінюються в залежності від числа a; від умов
a = 0 або a < 0 або a > 0.
Приклад 1.
При будь-якому значенні m розв’язати нерівність
(m - 1) x < 5m
Розв’язання.
Якщо m = 1, то 0x < 5, x  R,
Якщо m > 1, то x <   ,
Якщо m < 1, то x >.
Відповідь: якщо m < 1, то x (; + ∞);
якщо m = 1, то x R;
якщо m > 1, то x (- ∞ ; ).
Приклад 2
При будь-якому значенні параметра а розв’язати нерівність:
 х – < 2x – 1
Розв’язання
Якщо   .
Якщо  , то( -2)х <-   х <-
 х <- х>.
1)= 0a = 4, маємо 0x >х.
2) > 0a (- ∞ ; 1)  (4 ; + ∞), маємо x > .
3) < 0a (1 ; 4), маємо x < .
Відповідь: якщо a = 1 або a = 4, то x ;
якщо а (- ∞ ; 1) (4 ; + ∞), то х (; + ∞ ) ;
якщо а (1 ; 4), то х ( - ∞;).
Приклад 3
При будь-якому значенні а розв’язати нерівність.
 - <
Розв’язання
-<3(а2х+1) – 2(a2 x + 3) < a + 9x
3a2x - 2 a2x – 9x < 6 – 3 + a(a2– 9)x < 3 + a.
1) a2– 9 = 0a = 3 aбо a = -3.
Якщо a = 3,то 0x < 6x R.
Якщо a = -3, то 0x < 0х;
2) a2– 9 > 0(a - 3)(a + 3) > 0a (- ∞; -3) (3 ;+ ∞),
маємо x < x < ;
3) a2– 9 < 0(a - 3)(a + 3) < 0a (-3;3), маємо x >.
Відповідь : якщо a (- ∞; -3) (3 ;+ ∞), то x ( - ∞;);
якщо а (-3; 3), то х (; + ∞) ;
якщо a = -3, то х ;
якщо a = 3, то х R .
Приклад 4
При будь-якому значенні параметра а розв’язати нерівність
 + a2 – 2 >  +  .
Розв’язання
+ a2 – 2 > + ax + 2a2 – 4 > a3 –1+2a3 + x–4
(a - 1)x > 3a3 - 2a2 – 1.
Розкладемо 3a3 - 2a2 – 1 на множники:
3a3 - 2a2 – 1 = 2a3 - 2a2 + a3 – 1 = 2a2 (a – 1) + (a – 1)( a2 + a + 1) =
=(a - 1)(2a2 + a2+ a + 1) = (a - 1)( 3a2 + a + 1).
Нерівність приймає вигляд:
(a - 1)x > (a - 1)( 3a2 + a + 1).
Якщо а = 1, то 0x > 0x .
Якщо а > 1, то x > 3a2 + a + 1.
Якщо а < 1, то x < 3a2 + a + 1.
Відповідь : якщо а (- ∞;1), то х (- ∞; 3a2 + a + 1);
якщо а = 1 , то х ;
якщо а (1; + ∞), то х (3a2 + a + 1; + ∞).
Приклад 5
При будь-якому значенні параметра m розв’язати нерівність.
 - > .
Розв’язання
Якщо  .
Якщо  , то
-> >
 >
 .
1)  =0 m=-9
маємо ох<- х.
2) >0 (m+9)(m-1)(m+1)>0
m(-9; -1) (1; + ∞) .
При таких значеннях m розв’язуємо дану нерівність:
x < x < .
3) <0 (m+9)(m-1)(m+1)<0
m(- ∞ ; -9) (-1; 1).
При таких m розв'язуємо дану нерівність.
x >x >.
Відповідь: якщо m(- ∞ ;-9)(-1; 1), то х(;+∞);
якщо m(-9;-1)(1;+∞),то х(-∞;);
якщоm=-9;1;-1,тох. Приклад 6
При будь-якому значенні параметра а розв’язати нерівність
 .
Розв’язання
.
Якщо  .
Якщо  , то .
1) а=-10; 0х< хR.
2)  >0(a + 10) . (a - 2) > 0 a (- ∞; - 10) (2; + ∞)
маємо x <  .
3) < 0 (a + 10) . (a - 2) < 0a (- 10; 2)
маємо x > .
Відповідь: якщо a є (- ∞; - 10) (2; + ∞), то х (- ∞ ; );
якщо a є (- 10; 2) , то х (; + ∞);
якщо а = - 10, то х R;
якщо а = 2, то х .</0>
|