Урок лекція-інструктаж. Тема уроку: «Показникова функція, її графік і властивості»


Скачати 149.36 Kb.
НазваУрок лекція-інструктаж. Тема уроку: «Показникова функція, її графік і властивості»
Дата24.10.2013
Розмір149.36 Kb.
ТипУрок
bibl.com.ua > Астрономія > Урок
Урок лекція-інструктаж.

Тема уроку: «Показникова функція, її графік і властивості».

Мета уроку: Засвоєння учнями поняття показникової функції, її загальних властивостей при a>1 та 0
Навчити учнів будувати графіки функцій у=а і схематично їх зображати.

Розвивати навички самостійності, кмітливості, оперативності при виконанні вправ, виховування уваги, швидкості реакцій, зібраності, організованості, стимулювати розвиток логічного мислення, показати зв’язок математики з природою.

Хід уроку.

Напис на дошці:

«Деякі види функцій, що найбільше використовуються, насамперед показникові, відкривають доступ до багатьох досліджень»

Леонард Ейлер

І. Організаційний момент.
ІІ. Аналіз контрольної роботи.
На інтерактивній дошці виписані приклади з тими помилками, які були допущені учнями при виконанні контрольної роботи і проведено аналіз кожної допущеної помилки.
ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Повідомлення теми уроку.
а) Комп’ютерна презентація «історична довідка»:


Питання, пов’язане з показниковою функцією, розробляв Леонард Ейлер. У двох розділах своєї праці «Вступ до аналізу» він описав «показникові та логарифмічні кількості». До перших належить а, до других у. Навіть і сам показник може бути показниковою «кількістю», наприклад у виразах а, а, y, x. Ейлеру належить відкриття зв’язку між показниковою і тригонометричною функціями.

Показникову функцію виду у=епочали вивчати з 40-х років ХVІІ ст.
Число е позначено на честь академіка Петербурзької Академії наук, який жив у 1707-1783 р. А називають це число ще на честь шотландського любителя математики Джона Непера (1550-1617 рр.) неперовим числом.

е ≈ 2,7182818459…



Часто в літературі зустрічається функція у = π

Число π було введено в 1706 році англійським математиком Ч. Джонсом (відношення довжини кола до діаметра).

Аль-Каші, Шенкс та багато інших намагалися обчислити найбільшу кількість знаків цього ірраціонального числа, а тепер у змаганні беруть участь і ЕОМ.

π ≈ 3,1415926535897

б) «Мозковий штурм» (розгадування кросворду)

Учитель: Тепер перейдемо до наступного етапу уроку і проведемо «Мозковий штурм» під девізом «Хай живе теорія!». Вам потрібно було вдома повторити тему «Функції і графіки» , тому зараз ви зможете продемонструвати свої знання з теорії при розв’язуванні кросворду, складеного вашими однокласниками.

Продовжити речення:

1) якщо кожному значенню змінної х з деякої множини D відповідає єдине значення змінної у, то таку відповідність називають … (функцією)

2) х називають незалежною змінною, або … (аргументом)

3) Множину D називають областю … (визначення)

4) Множину Е називають областю … (значень)

5) Як називають функцію, яку можна задати формулою виду у = kx + b, де х –аргумент, а k і b – дані числа? (лінійною)

6)Якщо b = 0, k ≠0, то лінійна функція має вигляд у = kx, таку функцію називають прямою … (пропорційністю)

7) Що є графіком кожної лінійної функції? (пряма)

8) Скільки потрібно мати координат точок для побудови графіка прямої?(дві)

9) Як називають графік функції у = х? Назвати її властивості. (парабола)

10) Як називають графік функції у = k/x ? (гіпербола)

11) Скільки віток параболи має графік функції у = √х ? (одну)

12) Як називається добуток кількох рівних множників? (степінь)

13) Нагадати основні властивості степенів з раціональним показником і записати на дошці.

Учень: Для будь-яких раціональних чисел r i s і будь-яких додатніх a i b вірні рівності:

а∙a = а

a : a = a

(a) = a

(ab) = a∙ b

( ) =
Отже, для яких показників ці рівності є вірними?( раціональних)

14)

а) Сформулювати означення зростаючої та спадної функції і зробити короткий запис.

Учень: якщо х1 і х2 є D(f)
x1 > x2 x1 > x2

f (x1) > f (x2) f (x1)< f (x2)

f (x) – зростає f (x) – спадає.
б) Дати приклади функцій, які 1) зростають

2) спадають.

в) Яку мають назву зростаючі, спадні, не зростаючі, не спадні функції?(монотоні)

15) Учений математик, механік, астроном, швейцарець за походженням. Незважаючи на те, що в 1776 році втратив зір, він продовжував диктувати все нові і нові праці.(Ейлер)



ІV.Мотивація навчальної діяльності.

В житті дуже важливо берегти і раціонально використовувати матеріальні цінності. Зокрема, чим економніше ми будемо використовувати вже створені засоби праці, тим менша частина суспільного продукту потрібна буде для їх відшкодування, тим більше буде зекономлено матеріальних цінностей для народного господарства.

Для прикладу розглянемо задачу: (цифри на інтерактивній дошці)

Фермер отримав новий інвентар ( сівалка, культиватори) для обробітку ґрунту на суму 800.000 грн. Яка буде вартість цого інвентарю через рік, 2 роки, t років, коли щороку на амортизацію відраховується 10% його вартості? Обчислити вартість інвентарю через 5 років.

Розв’язання:

Вартість інвентарю через рік становитиме 90% початкової вартості, тобто 800.000•0,9, через два роки -- 800.000•0,9², через t років 800.000•0,9.

Учитель:

Як змінюється ціна при збільшенні t ?

Коментар:

Ми бачимо: чим більше значення t, тобто чим довше ми експлуатували техніку (що можливо тільки при бережливому відношенні до неї), тим буде менша її ціна!

Зверніть увагу, що основа степеня 0‹0,9‹1.

Учитель:

А як би у нас при розв’язуванні зовсім іншої задачі в основі степеня було б число, більше одиниці, як ви вважаєте, ця величина збільшувалася б із збільшенням значення t чи зменшувалася? (Збільшувалася)

При розв’язуванні цієї задачі і багатьох інших задач народного господарства, фізики, соціальних наук ми зустрічаємося з формулою, яка задає функцію для обчислення значення якої сталий множник доводиться множити на степінь сталої зі змінним показником. Яка має цілком певне додатне значення. Найпростішим випадком таких залежностей є функція вигляду y=a, яку називають показниковою.

Сьогодні на уроці навчимося будувати графік показникової функції і розглянемо її властивості.

(Учні записують тему уроку)
V. Осмислення нової теми

Вам було задано додому скласти таблицю значень функцій y=2; y=3; y=(½); y=(⅓), і обчислити за допомогою калькулятора значення 2 на відрізку [-3;3] з точністю до 0,1 з кроком 1, а потім з кроком ½ .

Побудуємо графік функції y=2

Для цього на міліметровій бумазі відмічаєте в координатній площині точки з цілим значенням x.

Перевірить нанесені точки із зображенням на інтерактивній дошці.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

≈0,1

≈0,3

0,5

1

2

4

8


Тепер відмітимо в координатній площині точки, координати яких указані в таблиці з кроком ½

x

-3

-2,5

-2

-1,5

-1



0

½

1

1,5

2

2,5

3

y

≈0,1

≈0,2

≈0,3

≈0,4

0,5

0,7

1

1,4

2

≈2,7

4

≈5,6

8



Перевірити нанесені точки із зображенням на інтерактивній дошці. Якщо продовжить уявно такі ж побудови з кроком ¼;⅛;1/16;1/32 і т.д., то ми бачимо, що отримані точки можна з’єднати плавною лінією. Не відриваючи руки від зошита, провести криву, яку природно вважати графіком функції y=2, яка визначена уже на всій числовій прямій.


Які значення буде приймати функція в раціональних точках(Учні: функція буде приймати значення 2).

Звернуть увагу учнів, що крива наближається до вісі OX, але її не перетинає. Маючи графік функцій y=2, спробуємо охарактеризувати властивості даної функції:

Учні: 1) Функція визначена при всіх значеннях x;

2) Областю значень функції y=a є множина всіх додатніх чисел E(a)=(0;+∞);

3) Функція y=2 є зростаючою функцією на всій числовій прямій, тобто із нерівності x‹ x випливає нерівність а‹ а;

Учитель: 4) В яких межах знаходиться y, якщо -‹x‹0 (0‹y‹1);

5) Якщо x=0, то y=? (y=1);

6) В яких межах знаходиться y, якщо 0‹x‹+∞ (1‹y‹+∞);

7) Оскільки при x=/x ax=/ax і середнє арифметичне двох додатніх чисел більше їх середнього геометричного, тобто

(a+a)/2>√(ax•ax ) то функція опукла вниз чи опукла вгору?

8) Чи має функція розриви (неперервний).

А тепер самостійно спробуйте назвати всі властивості даної функції.

Учитель: Абітурієнтам часто на екзаменах зустрічаються і такі питання: скільки розв’язків мають рівняння типу: 2=0; 2=-3; 2=8.

Так хто пояснить, скільки розв’язків має кожне з цих рівнянь і чому?

Усне виконання вправ

1) Які із поданих функцій є показниковими: а)y=5 б)y=x в)y=(-4) г)y=(√7) д)y=(0,4) е)y=π ж)y=e (Відповідь: а, г, д, е, ж)

2) Чи є серед значень функції y=2 а) найбільше б)найменше (Відповідь: ні)

3) Порівняти значення виразу:

А) 2 і 2,

Б) 2і 2,

В) 2і 2.
Розташувати в порядку зростання числа:
2; 2; 2; 2
Учитель: Розглянемо, як будуть розташовані графіки функцій в координатній площині з основами а і а і якщо а› а›1.

В цій же системі координат побудувати графік функцій y=3. Спочатку побудуємо точки з координатами, використовуючи результати таблиці з кроком 1 на проміжку [-3;3] і кроком ½ на проміжку [-1;1].

х

-3

-2

-1



0

½

1

2

3

y=3x

1/27

1/9

1/3

≈0,6

1

≈1,7

3

9

27


Перевірити із зображенням на інтерактивній дошці.


Ці точки з’єднати плавною лінією і порівняти властивості двох графіків y=2 і y=3, звертаючи увагу на те, яких значень приймають функції при однакових значеннях аргументу ( Учні аналізують поведінку побудованих графіків, використовуючи зображення на інтерактивній дошці).

Відповідь: Ці функції мають однакові властивості, функція y=3 зростає більш швидше.

Зверніть увагу, що графік y=3також проходить через точку з координатою (0;1).

Учитель: Запишіть властивості функцій, якщо а›1.

Запис є на інтерактивній дошці:

1) D(f)=R

2) E(f)=R+

3) Функція ні парна, ні непарна;

4) При а›1 функція монотонно зростає на R.

5) Оскільки при x≠xa≠a, (а) /2 > √(а∙а), то графік функції опуклий вниз,

6) у›0 при х є R

7) Найбільшого і найменшого значення нема;

8) При будь-яких дійсних значеннях х і у (а›0; b›0) вірні рівності

а) а•а= a

б)

в) (а)

г) (ab) =ab

д) ()=
9) Графік функції перетинає вісь у в точці (0;1).

Учитель: 1)Для яких показників ми писали раніше властивості 4 і 8.

Відповідь: (Для раціональних)

2) А які ще є числа на числовій прямій, крім раціональних?

Відповідь: (ірраціональні)

Учитель: А так як функція визначення на всій числовій прямій, то ці властивості залишаються вірними не тільки для раціональних х, але і для дійсних.

Запишемо означення показникової функції.

(показниковою функцією називається функція виду y=а де а > 0,і а ≠1).

Як ви думаєте, чому ми в означенні записали а≠1?

(В процесі обговорення учні приходять до правильної відповіді що графіком функції у=1 є пряма лінія паралельна вісі ОХ.

(графік зображено на інтерактивній дошці)



Отже у=1 не називається показниковою функцією.
Побудуємо в цій же координатній площині іншим кольором графік функції у=(1/2). Нанесіть точки при цілих значеннях х.

Перевірте із зображенням на інтерактивній дошці.



х

-3

-2

-1



0

½

1

2

3

y=(1/2)x

8

4

2

≈1,4

1

≈0,7

0,5

≈0,3

≈0,1



Тепер відмітьте в координатній площині точки, координати яких указані в таблиці з кроком 1⁄2 .

Перевірити відповідні точки із зображенням на інтерактивній дошці.

Як розташовані точки по відношенню до графіка функції у=2?

Відповідь: симетрично.

Продовжуючи в уяві такі ж побудови з кроком 1/4 ;1/8;1/16 і т.д. бачимо, що дані точки можна не відриваючи від аркуша з’єднати плавною лінією, яку природно вважати графіком функції у=(1/2)

Перевіримо, чи вірно побудований графік із зображенням на дошці


Як бачите, цей графік також проходить через точку з координатами (0;1)

Що є спільного у графіків функції у=2 і у= (1⁄2)

1) Областю визначення обох функцій є множина дійсних чисел.

2) Обидві функції додатні при будь-яких значеннях аргументу.

3) Обидва графіка знаходяться у верхній півплощині

4) Якщо х=0, обидві функції набувають значення, що дорівнює 1.

Наголосити, що ці властивості спільні для будь-яких показникових функцій.

Учитель показує, як маючи три контрольних точки можна схематично побудувати графік функції у= (1/3)х .

А тепер проаналізувати поведінку графіків у=()і у=() і зробити висновок, звертаючи увагу на те, яких значень приймає функція при однакових значеннях аргумента.

Учні аналізують поведінку побудованих графіків.

(чим більша основа, тим більше значення функції при додатних значеннях х, а при від’ємних навпаки.)

Назвати властивості функції . якщо 0‹а‹1.

Відповідь:

1.Область визначення- множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень- множина всіх додатніх чисел.

4. Функція монотонно спадає, тобто із нерівності x‹ x випливає нерівність а› а Якщо -∞‹х‹0, то 1‹у‹∞,

Якщо х=0, то у=1,

5. Оскільки при х≠х ; а≠ а і середнє арифметичне двух додатніх чисел більше їх середнього геометричного, тобто , (а+ а)/( 2) > √( а∙ а), то графік функції опуклий вниз.

6. При будь=яких дійсних значеннях х і у (а›0, b›0) вірні рівності.

а) а•а= a

б) (ab) = а

в)

г) ()=

в) (а)

7) у>0, при х є R.

8) Найбільшого і найменшого значення нема.

9)Графік функції перетинає вісь у в точці (0;1)

3.Функція ні парна, ні непарна.

Учитель:

Чим же відрізняються властивості функції у=а, якщо 0‹а‹1, і у= а, якщо а>1, функція постійно спадає на всій числовій прямій, а при а>1 постійно зростає.

Тепер повернемось до практичної задачі, яку ми розглядали на початку уроку.

Графік функції у=0,9 зображено на інтерактивній дошці.

Звертаємо увагу на те, що функція спадає і на зв’язок із зменшенням ціни інвентаря.

Отже:

  1. Сформулювати означення показникової функції,

  2. Схематично зобразити на дошці графіки функцій у=3і у=(),

  3. Чим відрізняються їхні властивості?

  4. Користуючись цим графіком назвати властивості показникової функції.



VI. Усне виконання вправ

1. Чи є серед значень функцій у=()

а) найбільше?

б) найменше?
Відповідь: ні

2. Порівняти значення виразу

Перше завдання пояснює вчитель, а останні по черзі пояснюють учні.
а) () і ()

б) ()і ()

в) ()і ()

г) ()і ()
3. Порівняти х і у, якщо
а) ()>()

б) ()‹ ()

Відповідь: а) х‹ у, б)х>у
4. Чим відрізняються властивості і графіки функцій у=() і у=()?

Відповідь: вони мають однакові властивості, функція у=() спадає більш швидше.

Учитель:

додому було задано знайти в літературі приклади де зустрічається показникові функція для описання різних процесів у природі і техніці.

Учні пояснюють підібрані задачі, використовуючи зображення на інтерактивній дошці.

  1. В біології

Бактерії розмножуються шляхом поділу клітини на дві, утворюючи дві дочірні клітини, які знову ростуть до розмірів материнської клітини і знову діляться.

у=2, х є N

Ця функція відображає процес росту кількості бактерій.

  1. В фізиці

Радіоактивний розпад виражається формулою m(t) = m(), де m(t) – масса радіоактивної речовини в момент часу t; m- маса радіоактивної речовини в момент часу t=0.

T – період напіврозпаду (проміжок часу, за який початкова кількість речовини зменшується удвічі)

3) Задача про зміну атмосферного тиску

4) Задача про приріст речовини і т.д.
VII. Підсумок уроку.

а)

1) Чи зростає фунція у=()?

2) Через яку точку обов’язково пройде графік функції у=а?

3) Чи спадає функція у=5?

4) Указати точку перетину графіка функції з вісю абсцис.

5) Скільки розв’язків має рівняння 5=-5?

6) Як розташований графік функцій у=-5?

7) а>1 при ....

8) 3=1, х=...

9) Розв’язати нерівність3<3

10) Розв’язати нерівність ()>()

11) множина значень показникової функції....

12) Область визначення показникової функції....
б) Що цікавого Ви дізналися на уроці?
в) А зараз кожен учень повинен оцінити свою роботу на уроці підбиттям кількості набраних балів із зазначенням оцінки в таблиці, а учитель узгоджує свою думку з оцінкою учня


Бажаний очікуваний результат

Науковий штурм

Побудова графіка

Властивості функцій

Повідомлення

Розв’язування вправ

Самооцінка


VIII. Домашнє завдання.

Схожі:

Урок №64 Тема. Лінійна функція, її графік та властивості
Мета: ознайомити учнів із означенням лінійної функції та сформувати знання про графік та властивості лінійної функції; виробити первинні...
10 КЛАС ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯ
Критерії оцінювання навчальних досягнень учня при вивченні теми «Показникова функція»
Логарифмічна функція, її графік і властивості
Побудувати графік функції y = log3 x. Як змі­нюється у, коли х зростає від 1 до 9?
Урок №66 Тема. Лінійна функція та її графік
Графік лінійної функції проходить через точку (0; 0) та точку. Задайте її формулою
Урок №63 Тема. Графік функції Мета: формувати вміння
Мета: формувати вміння виконувати побудову графіка функції, зада­ної формулою «по точках»; відпрацьовувати навички «читання» графіків...
Тема уроку
Продовжити формування понять: функція, аргумент функції, значення функції. Ввести і сформувати поняття графіка функції. Навчити учнів...
Урок 21 Тема уроку
Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині
Функції та їх графіки Лінійна функція
Наприклад, задано функцію y = 2x + Розглянемо частинні випадки побудови графіків цієї функції: Побудувати графік функції y = bx –...
УРОК 33 Тема уроку
Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го сте­пеня і його властивості
УРОК №53 Тема уроку
Мета уроку: формувати вміння учнів застосовувати властивості перпен­дикуляра та похилої під час розв'язування задач
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка