Математичні моделі детермінованих сигналів. Елементарні і складні детерміновані сигнали.
До елементарних детермінованих сигналів належать постійний сигнал, ідеальний одиничний імпульс і синусоїдальний сигнал.
Постійний сигнал 
 Дельта-функція:
Синусоїдальний (гармонічний) сигнал описується формулою
Багато фізичних процесів з достатньою для практики точністю описуються синусоїдальною функцією, вона є однієї з найбільш простих і зручних для аналізу функцій часу.
До складних детермінованих сигналів належать полігармонічні (періодичні) сигнали різної форми (послідовність прямокутних імпульсів, трикутних і т.п.).
Будь-яку періодичну функцію, що задовольняє умовам Діріхле, можна представити рядом Фур’є
Розкладання сигналу за гармонічними складовими називається спектром сигналу (рис. 5.3).
Рисунок 5.3 – Спектральне подання періодичного сигналу
Для періодичного сигналу будь-якої форми основними параметрами є:
1) середнє значення (постійна складова)
2) середнє випрямлене значення
3) середнє квадратичне значення
Складні періодичні сигнали утворюються як сума двох і більше гармонік із кратними частотами. Неперіодичні сигнали відрізняються від періодичних тим, що представляються безперервним спектром, описуваним перетворенням Фур’є:
Квантування і дискретизація, основні форми представлення сигналів. Основні види математичних моделей вимірювальних сигналів.
Операція ідентифікації випадкового сигналу, тобто визначення його моделі, значно складніша – необхідно перевірити гіпотезу про стаціонарність сигналу, гіпотезу про ергодичність, про характер закону розподілу. Невідповідність моделі викликає виникнення специфічних помилок ідентифікації. Крім того, необхідний значний обсяг статистичних даних.
Параметри сигналів можуть бути безперервними і квантованими за розміром. Фізичні сигнали залежно від характеру зміни в часі і просторі бувають безперервними та дискретизованими (рис. 5.2). Квантування і дискретизація є найважливішими видами перетворення вимірювальних сигналів.
Перед вимірювальною технікою раніше ставилося завдання вимірювання постійних сигналів, що містять тільки один інформативний параметр. При цьому не пред’являлися високі вимоги до швидкодії приладу і його динамічних характеристик.
а) безперервний за часом і за розміром; б) безперервний за часом і квантований за розміром; в) дискретизований за часом і безперервний за розміром; г) дискретизований за часом і квантований за розміром
Р исунок 5.2 – Форми подання сигналів
На сьогодні у більшості випадків вирішується задача вимірювання параметрів сигналів, що змінюються в часі. При цьому до ЗВ пред’являються вимоги усе більш високої швидкодії. У випадку вимірювання одного з багатьох параметрів процесу виникає задача виділення заданого інформативного параметра.
И выше и через 2 вопроса
Частотне представлення полігармонічного сигналу, ряд Фур’є. Основні параметри періодичного сигналу.
До складних детермінованих сигналів належать полігармонічні (періодичні) сигнали різної форми (послідовність прямокутних імпульсів, трикутних і т.п.).
Будь-яку періодичну функцію, що задовольняє умовам Діріхле, можна представити рядом Фур’є
Розкладання сигналу за гармонічними складовими називається спектром сигналу (рис. 5.3).
Рисунок 5.3 – Спектральне подання періодичного сигналу
Для періодичного сигналу будь-якої форми основними параметрами є:
1) середнє значення (постійна складова)
2) середнє випрямлене значення
3) середнє квадратичне значення
Складні періодичні сигнали утворюються як сума двох і більше гармонік із кратними частотами.
Аналітичне представлення неперіодичних сигналів. Перетворення Фур’є. Узагальнений ряд Фур’є.
Неперіодичні сигнали відрізняються від періодичних тим, що представляються безперервним спектром, описуваним перетворенням Фур’є:
Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть, обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:
Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).
Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для 2π-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:
Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.
Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой 2π-периодической функции имеем
Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.
Математичні моделі випадкових сигналів. Основні характеристики випадкового сигналу.
Випадкові сигнали розділяються на стаціонарні та нестаціонарні, ергодичні і неергодичні.
Стаціонарним називається випадковий сигнал, закон розподілу якого не залежить від часу. Математичне сподівання і дисперсія стаціонарного сигналу є постійними і не залежать від часу.
Якщо статистичні характеристики стаціонарного сигналу, визначені по ансамблю реалізацій, можуть бути отримані часовим усередненням по одній реалізації, що має досить велику довжину в часі, то такий сигнал є ергодичним.
Основні характеристики випадкового сигналу:
1) математичне сподівання
 ;
2) середнє квадратичне значення
 ;
3) дисперсія
 ;
4) щільність розподілу
5) функція розподілу
6) автокореляційна функція
7) спектральна щільність потужності
Дискретне перетворення Фур’є, його основні властивості.
Оскільки цифрові системи обробки даних, використовувані в інформаційно-вимірювальних системах, працюють із дискретним поданням сигналу (дискретною послідовністю відліків), то й спектр цього сигналу хотілося б одержати в дискретній формі. Це дозволяє зробити дискретне перетворення Фур’є (ДПФ).
Проведемо такі міркування. Нехай ми маємо аналоговий сигнал  і його безперервний спектр  (рис. 5.4).
Р исунок 5.4 – Безперервний сигнал і його спектр
Якщо тепер провести дискретизацію сигналу з періодом  , то спектр отриманого сигналу  стане періодичним з періодом повторення по частоті  (рис. 5.5).
Р исунок 5.5 – Дискретний сигнал і його спектр
Тепер продовжимо дискретизований сигнал періодично на всю часову вісь із періодом повторення Т. Оскільки сигнал і його спектр мають дуальні властивості, то спектр періодичного сигналу стане дискретним з періодом дискретності по частоті  (рис. 5.6).
Рисунок 5.6 – Дискретний сигнал і дискретний спектр
Таким чином, ми одержали дискретний періодичний сигнал, якому відповідає дискретний періодичний спектр. Для аналізу зазвичай використовується один період сигналу і один період спектра, тому що інші значення просто періодично повторюються.
Нехай в одному періоді сигналу міститься N дискретних відліків
 ,
тоді
 .
Із цього випливає, що якщо ми маємо дискретний сигнал, що містить N відліків, те і його дискретний спектр теж буде містити N відліків.
Пряме та зворотне дискретне перетворення Фур’є описується формулами
Оскільки безпосереднє обчислення ДПФ за допомогою наведених формул є трудомістким завданням, на практиці використовують більш ефективні алгоритми обчислення ДПФ, що одержали назву швидкого перетворення Фур’є (ШПФ, англ. FFT – Fast Fourier Transform). Кількість обчислювальних операція для ДПФ оцінюється як  , а для ШПФ –  . Найбільше ефективно ШПФ працює у випадку, коли N є цілим ступенем 2.
Цифрові фільтри. Основні форми опису цифрових фільтрів та зв’язок між ними.
Фільтрація є однією з найпоширеніших операцій обробки вимірювальних сигналів. Мета фільтрації полягає в цілеспрямованій зміні співвідношення між різними компонентами спектра сигналу, у заглушенні завад, що містяться в сигналі, або у виділенні окремих складових сигналу, що відповідають тим або іншим властивостям досліджуваного процесу.
В електричних і електронних вимірювальних пристроях уже давно знаходять застосування різні типи RLC-фільтрів. З появою доступних і дешевих інтегральних операційних підсилювачів набули широкого поширення активні фільтри. Теорія цих фільтрів розроблена досить добре, сформульовані чіткі рекомендації з їхнього розрахунку і проектування.
Прогрес у розвитку цифрових інтегральних схем, повсюдне застосування мікропроцесорів для цифрової обробки вимірювальної інформації обумовили інтерес розроблювачів вимірювальної апаратури до цифрових фільтрів. Використання цифрових фільтрів в інформаційно-вимірювальних системах привабливо ще й тим, що функціональні можливості цифрової обробки сигналу набагато ширші, ніж у традиційних аналогових пристроїв.
Цифровий фільтр є динамічною системою, що здійснює перетворення дискретного вхідного сигналу x(n) у вихідний сигнал y(n), n=0,1,2,…–дискретний час (рис. 5.7). Надалі ми будемо розглядати лінійні цифрові фільтри, тому що методи їхнього аналізу і проектування досить добре розроблені. Для лінійних систем справедливий принцип суперпозиції
 ,
де L – лінійний оператор.
  
Рисунок 5.7 – Схема цифрового фільтра
Для опису властивостей цифрового фільтра використовують різні математичні моделі. Так, співвідношення між входом і виходом може задаватися у вигляді різницевого рівняння
Задавшись значеннями коефіцієнтів ai, bj і початковими умовами, можна за допомогою рекурентної формули розрахувати значення вихідного сигналу y(n) для будь-якої відомої вхідної послідовності x(n):
Перехідною характеристикою цифрового фільтра (рис. 5.8) називається його відгук на вхідний сигнал, що представляє одиничну сходинку
 
Рисунок 5.8 – Перехідна характеристика цифрового фільтра
Важливою характеристикою фільтра є його імпульсна характеристика h(n) (рис. 5.9), що є відгуком фільтра на одиничний дискретний дельта-імпульс
 
Рисунок 5.9 – Імпульсна характеристика цифрового фільтра
Для фізично реалізованих фільтрів повинна виконуватися умова
Умова стійкості цифрового фільтра має вигляд
Вихідний сигнал фільтра являє собою дискретну згортку вхідного сигналу з імпульсною характеристикою
Дуже часто для опису цифрових фільтрів використовується передаточна функція, що пов’язана з імпульсною характеристикою z-перетворенням
Здійснюючи z-перетворення лівої і правої частини різницевого рівняння, одержуємо
звідки
Оператор z–1 відповідає часовій затримці на один такт дискретного часу («зсув назад»). Знаменник передаточної функції називається характеристичним поліномом, він визначає поводження динамічної системи під час відсутності зовнішніх впливів (x(n) = 0). Для того, щоб фільтр був стійким, необхідно, щоб корені його характеристичного полінома лежали усередині кола одиничного радіуса  (рис. 5.10).
Р исунок 5.10 – Розташування нулів і полюсів цифрового фільтра
Для аналізу поведінки фільтра в частотній області використовується комплексна частотна характеристика  яка пов’язана з імпульсною характеристикою співвідношенням
де – кругова частота.
Частотну характеристику фільтра можна також одержати, покладаючи в передаточній функції 
Частотна характеристика фільтра є комплексною періодичною функцією з періодом 2. Модуль частотної характеристики  називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) фільтра, а фаза  – фазо-частотною характеристикою (ФЧХ).
 
Рисунок 5.11 – АЧХ і ФЧХ цифрового фільтра
Цифрові фільтри з кінечною и безкінечною імпульсною характеристикою. Умова стійкості цифрового фільтра.
Існує два фундаментальних класи цифрових фільтрів. Якщо коефіцієнти фільтра задовольняють умові  то різницеве рівняння набуває вигляду
і, отже, передаточна функція набуває вигляду
Ці фільтри мають кінцеві реакції довжини  на одиничну імпульсну послідовність  . Із цієї причини вони називаються фільтрами з скінченною імпульсною характеристикою (англ. FIR – Finite Impulse Response) на противагу фільтрам з нескінченною імпульсною характеристикою (англ. IIR – Infinite Impulse Response). Фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою називаються ще рекурсивними фільтрами, а фільтри з скінченною імпульсною характеристикою – нерекурсивними.
Неважко помітити, що коефіцієнти нерекурсивого фільтра  збігаються з відліками імпульсної характеристики 
Основні структури рекурсивних фільтрів: пряма форма 1, пряма форма 2, послідовна та паралельна форми.
Пряма форма 1 рекурсивного фільтра, заданого різницевим рівнянням загального виду
 ,
представлена на рис. 5.12.
Рисунок 5.12 – Пряма форма 1
Представляючи фільтр у вигляді послідовного з’єднання двох ланок з передаточними функціями H1(z) і H2(z)
одержимо два різницевих рівняння
де w(n) – вихід ланки H1(z).
Таку структурну схему можна реалізувати у вигляді прямої форми 2, що містить мінімальну кількість елементів затримки (рис. 5.13). Інша назва прямої форми 2 цифрового фільтра – канонічна форма.
а) неканонічна б) канонічна
Рисунок 5.13 – Пряма форма 2
Записавши передаточну функцію фільтра у вигляді
одержимо послідовну (каскадну) форму фільтра (рис. 5.14).
Рисунок 5.14 – Послідовна (каскадна) форма
Якщо серед нулів або полюсів фільтра є комплексно-спряжені пари, то в розкладанні будуть присутні ланки другого порядку
 .
Кожний з фільтрів  можна представити у вигляді прямої форми 2. При реалізації послідовної форми фільтра необхідно вирішити кілька задач:
1) визначити, які полюси з якими нулями поєднувати в пари;
2) вибрати послідовність з’єднання блоків;
3) за необхідності ввести масштабні множники між блоками, якщо проміжний сигнал занадто слабкий або занадто сильний.
Паралельну форму структури фільтра можна одержати, розклавши передаточну функцію на прості дроби
Якщо серед полюсів фільтра є комплексно-спряжені, то в розкладанні будуть присутні ланки другого порядку
Паралельна форма структури представлена на рис. 5.15.
Рисунок 5.15 – Паралельна форма
Основні структури нерекурсивних фільтрів: пряма форма, послідовна форма, структурна схема Лагранжа.
Пряма форма нерекурсивного фільтра, заданого різницевим рівнянням загального вигляду
 ,
представлена на рис. 5.16. Ця структура одержала також назву трансверсального фільтра.
Рисунок 5.16 – Пряма форма
Послідовна (каскадна) форма нерекурсивного фільтра представлена на рис. 5.17, де окремі блоки є або ланками першого порядку  , або ланками другого порядку  .
Рисунок 5.17 – Послідовна (каскадна) форма
Ще одним варіантом структури нерекурсивного фільтра є структурна схема Лагранжа
де 
Масив  утворений  довільними точками на z-площині, у яких обчислені значення  .
Структурна схема Лагранжа зображена на рис. 5.18. Важливим випадком є окремий випадок структури Лагранжа, коли послідовність  складається із точок, рівномірно розподілених по одиничному колу
Рисунок 5.18 – Структурна схема Лагранжа
У цьому випадку одержуємо структуру із частотною вибіркою
Значення даної структури полягає в тому, що вона дозволяє досить ефективно створювати фільтри, у яких більшість коефіцієнтів  дорівнює нулю. Тоді відповідні ланцюги можна відкинути.
Рисунок 5.19 – Структура із частотною вибіркою
Адаптивні системи, їх основні властивості. Адаптація зі зворотнім зв’язком та без зворотнього зв’язку.
Адаптивна система є системою, структура якої змінюється або пристосовується таким чином, щоб її поведінкая або функціонування поліпшувалося (відповідно до деякого заданого критерію) у результаті взаємодії з навколишнім середовищем. Простим прикладом адаптивної системи є автоматичне регулювання підсилення (АРП), застосовуване в радіо- і телевізійних приймачах. Функція цієї системи – зменшення чутливості приймача при збільшенні середнього рівня вхідного сигналу. Таким чином, приймач може адаптуватися до широкого діапазону рівнів вхідних сигналів і формувати значно вужчий діапазон рівнів вихідних сигналів.
Розглянуті системи містять у собі системи, створені, насамперед для адаптивного керування і адаптивної обробки сигналів. Як правило, такі системи мають деякі або всі перераховані нижче властивості:
1) вони можуть адаптуватися (самооптимізуватися) при зміні (нестаціонарній) умов навколишнього середовища та вимог до системи;
2) вони можуть навчатися для здійснення заданого виду фільтрації і виконання задачі прийняття рішення. Системи з такими властивостями можна автоматично синтезувати через навчання. Адаптивні системи можна в деякому смислі «запрограмувати» процесом навчання;
3) вони не вимагають ретельно розроблених методів синтезу, зазвичай необхідних для неадаптивних систем. Навпаки, їх можна вважати такими що самоорганізуються;
4) вони можуть екстраполювати модель поводження для функціонування в нових умовах після навчання на кінцевому і часто невеликому числі навчальних сигналів або ситуацій;
5) вони можуть до деякої міри відновлюватися, тобто адаптуватися до обумовлених внутрішніх дефектів;
6) їх можна розглядати як нелінійні системи з параметрами, що змінюються в часі;
7) їх складніше аналізувати, ніж неадаптивні системи, але вони дозволяють значно розширити область функціонування системи, коли параметри вхідного сигналу невідомі або змінюються в часі.
Досягнутий за останній час прогрес у розробці та виробництві мікросхем привів до створення дуже компактних, економічних і надійних пристроїв обробки сигналів, що конкурують із біологічними нейронними системами за розмірами і, вочевидь, перевершують біологічні системи за швидкодією. У результаті цього значно розширилася область їхнього застосування у всіх видах цифрової обробки сигналів, у тому числі адаптивної обробки. На сьогодні адаптивні системи застосовуються в таких областях, як зв’язок, радіолокація, гідролокація, сейсмологія, проектування механічних систем, навігація, біомедична електроніка та ін.
Основною властивістю адаптивної системи є функціонування, що змінюється в часі, із саморегулюванням. Необхідність такого функціонування очевидна з наступних міркувань. Якщо розроблювач проектує «незмінну» систему, яку він вважає оптимальною, то це означає, що розроблювач передбачає всі можливі умови на її вході, щонайменше, у статистичному смислі, і розраховує, що система буде працювати при кожній із цих умов. Далі розроблювач вибирає критерій, за яким повинне оцінюватися функціонування, наприклад середнє число помилок між вихідним сигналом реальної системи і вихідним сигналом деякої обраної моделі або «ідеальної» системи. Нарешті, розроблювач вибирає систему, що виявляється кращою відповідно до встановленого критерію функціонування, звичайно з деякого апріорно обмеженого класу (наприклад, із класу лінійних систем).
Однак у багатьох випадках весь діапазон вхідних умов може бути не відомий точно навіть у статистичному смислі або умови можуть час від часу змінюватися. Тоді адаптивна система, яка використовуючи регулярний процес пошуку, постійно шукає оптимум у межах припустимого класу можливостей, має переваги в порівнянні з незмінною системою. Адаптивні системи за своєю природою повинні змінюватися в часі і бути нелінійними. Їхні властивості залежать, крім усього іншого, від вхідних сигналів. Якщо на вхід подається сигнал х1, то адаптивна система настроїться на нього і сформує вихідний сигнал – назвемо його у1. Якщо на вхід подається інший сигнал х2, то система настроїться на цей другий сигнал і знову сформує вихідний сигнал – назвемо його у2. У загальному випадку структура й процеси корекції адаптивної системи будуть різними для двох різних вхідних сигналів. Якщо на вхід адаптивної системи подається сума двох сигналів, то вона настроюється на цей новий вхідний сигнал, а вихідний сигнал у загальному випадку не дорівнює сумі вихідних сигналів y1+y2, які відповідали б вхідним сигналам х1, х2. У цьому випадку не виконується принцип суперпозиції, що має місце в лінійних системах. Якщо сигнал подається на вхід адаптивної системи для визначення властивостей по її відгуку, то система адаптується до цього певного вхідного сигналу і тим самим змінює власну структуру. Таким чином, адаптивні системи по суті важко описати у звичайних поданнях.
Не можна сказати, що адаптивні системи належать до абсолютно чіткої підмножини нелінійних систем. Однак властиві їм дві особливості в загальному випадку відрізняють їх від інших видів нелінійних систем. По-перше, адаптивні системи є регульованими, і процеси їхнього регулювання залежать від усереднених в обмеженому інтервалі часу характеристик сигналу, а не від миттєвого значення сигналів або миттєвих значень внутрішніх станів системи. По-друге, процеси регулювання адаптивних систем цілеспрямовано змінюються для того, щоб оптимізувати задані параметри функціонування.
Деякі види адаптивних систем стають лінійними системами, якщо їхня структура після адаптації залишається постійною. Їх можна назвати лінійними адаптивними системами, описати математично і у загальному випадку легше розробляти, ніж інші види адаптивних систем.
|