M+n способами. Правило добутку: якщо першу дію можна виконати m


Скачати 84.69 Kb.
НазваM+n способами. Правило добутку: якщо першу дію можна виконати m
Дата17.03.2013
Розмір84.69 Kb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Математика > Документи
1. Комбінаторіка. Правило суми і добутку.

Комбінаторіка вивчає різні способи поєднання елементів скінченної величини. Правило суми: якщо дві дії взаємно віключають одна одну, причому одну з них можна віконати m способами, а другу n способами, то виконати першу або другу дію можна m+n способами. Правило добутку: якщо першу дію можна виконати m способами і після кожного такого виконання другу дію можна виконати n способами, то виконати першу і другу дію разом можно m*n способами. Розміщення – впорядкована вибірка об’ємом m элементів із групи у я якій n елементів. Кількість розміщень ; Сполуки – невпорядкована вибірка об’ємом m елементів із групи в якій n елементів. Кількість сполук: ; ; Перестановки – спосіб розташування n елементів, які відрізняються тільки порядком. Кількість перестановок без повторень знаходиться по формулі Pn = n!

3. Формули повної ймовірності, формули Ваєса.

Нехай подія А відбувається разом з однією із подій H1,H2,…Hn. Ці події називаються гіпотезами. Ці гіпотези утворюють повну групу, тому P(H1)+…+P(Hn)=1. Тоді ф-ла повної ймовірності має вигляд: P(A)=P(H1)*P(A/H2)+…+P(Hn)*P(A/Hn)- формула повної ймовірності. Формула Ваєса дозволяє оцінити ймовірність гіпотези Hi після того як подія А вже відбулася: P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi)/P(A);

2. Класичне означення ймовірності. Операції над подіями.

Всі результати експерименту повинні бути рівноможливі, попарно несумісні і утворювати повну группу (описують всі можливі результаті експерименту); Ω (w1, w2wn); A c; Ймовірність події А: P(A() = m/n, де m – кількість результатів експерименту, які сприяють події А; n – кількість елементів простору Ω; Існують події неймовірні – подія, яка ніколи не відбувається. Ймовірність такої події = 0. Є достовірні події – подія відбувається завжди. Ймовірність такої події – 1; 0; Подія протилежна події А, якщо вона полягає в тому, що не відбувається подія А. Ці дві події утворюють повну групу P(A)+P(=1;

Операції: Нехай дано дві події А і В. Операція С називається сумою циї подій С = А+В; Якщо вона полягає в тому, що відбувається подія А або подія В, а добутком подій А*В називається така подія, яка полягає в тому, шо відбувається і подія А і подія В одночасно С = А+В = А U B; K = A*B = A B; Якщо події не сумісні P(A+B) = P(A) + P(B). Якщо події не сумісні P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Незалежні події залежні. Подія В не залежить від А якщо результат цієї події не залежить від того відбулась подія А чи ні. Залежна – у протилежному випадку. Якщо події не залежні, то ймовірні. P(A*B/A) = P(A)*P(B/A).

4. Повторення іспитів. Формула Бернуллі

Нехай відомо, що при проведенні експерименту ймовірність появи події А=р, тоді ймовірність того, що при nкрат. Проведенно експерименту подія А наступить рівно k разів можна обчислити за допомогою ф-ли Бернулі: ; 1-P=Q; Наймовірнішу частоту k події можна знайти з такої нерівності:

5. Локальна теорема Муавра-Лапласа

Якщо кількість випробувань n досить велика, а ймовірність події Р не дуже близька до 0, то ймовірність того що при n кратному експерименті подія наступить k разів можна знайти за допомогою формули:









7. Формула Пуассона

Якщо кількість випробувань n досить велика, а ймовірність події P близька 0. То ймовірність того, що при n кратному проведенні експерименту подія А наступить рівно k разів





6. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Нехай відомо, що при проведенні експерименту ймовірність події А=Р. Ймовірність того, що при n кратному проведенні експерименту частота k появи події:













Функція Ф непарна, тому f(-x)=-f(x)

Для функції Ф(х) існують таблиці . ймовірність того, що при n випробуваннях частота k/n відрізняється від ймовірності події не більш ніж на число



8. Випадкові величини. Дискретна випадкова величина

Випадкова величина - величина яка в результаті експерименту приймає те чи інше значення. В.в. називаються дискретною, якщо вони приймають ізольовані значення.



X :

P:



– матсподывання



Дисперсія – розсіяння, відхилення від мат сподівання .





- Середньоквадратичне відхилення.

9.Відхилення. Непереривна випадкова величина

Випадкова величина називається неперервною, якщо вона приймає значення, які належать деякому інтервалу

Для неперервної випадкової величини. Функція щільності – похідна від ф-ції розподілу



1.

Функцію розподілу можна через щільність







10. Нормальний розподіл випадкової величини. Розподіл, при якому Щільність знаходиться за формулою





-- середнє квадратичне відхилення

1.Крива симетрична відносно вертикальної прямої 2.У цій точці крива має максимум 3.х 4.х c:\users\валентин\desktop\безымянный.pngкрива буде наближатися асимптотично до осі ОХ. Якщо задана функція розподілу

-функція лапласа або інтеграл ймовірності. Для першої функції

Для другої Множина значень першої функції від 0 до 1, а нижня – від -0,5 до 0,5. Цей інтеграл аналітично не обчислюється. Ймовірність попадання випадкової величини р(=Ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного сподівання Розподіл неперервної випадкової величини заданий функцією щільності



11. Показниковий розподіл

, x≥0













12. Рівномірний розподіл Випадкова величина має рівномірний розподіл якщо її щільність постійна













13. Елементи математичної статистики. Варіаційний ряд. Характеристики. Вибіркова середня

Задача статистики – встановлення закономірностей, за якими відбуваються масові випадкові явища. Завдання: збір та групування статистичного матеріалу, застосування методів аналізу статистичних даних. Генеральна сукупність – множина об’єктів. Вибірка – сукупність вибірково відібраних об’єктів з генеральної сукупності. Вибірка репрезентативна, якщо вона достатньо інформативно представляє пропорції і властивості генеральної сукупності.

Сукупність:







Послідовність зростаюча.

Вибіркове середнє – середнє арифметичне: =

Мода – варіанта, яка має найбільшу частоту.

Медіана – варіанта, яка ділить варіаційний ряд на 2 рівні частини.

Розмах – різниця між min і max.

Коефіцієнт варіації - V=

d =

ϴ =

14. Точкові та інтервальні оцінки

Довірчий інтервал для оцінки мат. сподівання нормального розподілу нормального розподілу при відомому середньому квадратичному відхиленні. Точковою називають оцінку яка визначається 1-м числом , наприклад вибіркове середнє. При вибірці малого об’єму точкові оцінки приводять до істотних помилок, тому використовуються інтервальні оцінки, які визначаються 2-ма числами – кінцями інтервалу. Довірчим називається інтервал (, який покриває параметр ʏ. Якщо використати формулу р, то можна знайти формулу для оцінки мат. сподівання нормального розподілу, яка має вигляд:

P( - < < + ) = 2Φ(t)



n – об'єм вибірки

σ – середнє квадратичне відхилення

2Φ(t) = ʏ.

15. Елементи теорії кореляції, функціональна та кореляційна залежність. Вибірковий коефіцієнт кореляції

Між двома випадковими величинами може існувати залежність. Одній величині по певному закону поставлена у відповідність інша(y=f(x)). Така жорстка залежність на практиці зустрічається рідко. Статистична залежність називається кореляційною, якщо зміна однієї з величин призводить до зміни значення іншої. Коефіціент кореляції показує степінь залежність між величинами.

Перейдемо до умовного варіанту, змінюємо масштаб и систему координат.

x->U, y->V

=

= =

= =

= =

V=*V U=*U

16. Знаходження лінії середньо квадратичної регресії.

(, )

...

( , )

Ставиться задача знайти пряму y=kx+b (1) , яка буде називатись лінією середньої квадратичної регресії. Потрібно знайти k і b таким чином, щоб точки лежали якомога ближче до прямої 1.

- , де , - досліджене значення

k і b підбираємо таким чином, щоб F(k,b) = була min (метод найменьших квадратів).

F(k,b) =

= * = 0

= = 0




Схожі:

Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви слова “математика”?
При грі в преферанс 32 карти роздаються трьом людям по 10 кожному і 2 залишаються. Скількома способами можна це зробити?
ІНВАРІАНТИ. РОЗФАРБУВАННЯ На дошці записано 11 чисел 6 нулів і 5...
На дошці записано 11 чисел — 6 нулів і 5 одиниць. Дозволяється 10 раз виконати таку операцію: закреслити будь-які два числа і якщо...
У футбольній команді (11 гравців) треба вибрати капітана та його...
...
Якщо ви хочете знайти інформацію про певну особу, товар, подію, що ви робите?
Тому кожен намагається поставити кращу фотку, показати фотографіями чого він досягнув. Як правило, переглядаючи фото малознайомих...
Визначення типу темпераменту за Г. Айзенком
Вашого звичного способу поведінки. Постарайтесь уявити типові ситуації і дайте першу відповідь, що прийде в голову. Відповідайте...
Це можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх...
Розв’язання. Це можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх до спільного знаменника. Але простіше це можна зробити...
Урок можна вважати ефективним, якщо в ньому забезпечується оптимальний...
Чи вдалося вам викликати у дітей стан інтелектуального напруження? Яким чином?  
ПЗ №5 : “Розрахунок директорної антени”
...
ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ. ДІЛЬНИКИ ТА КРАТНІ
Правило: Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то й число ділиться на Якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то й число не ділиться...
УРОК №49 Тема уроку
Виробити вміння: відтворювати вивчені означення; зна­ходити члени послідовності із заданими номерами, якщо послідовності задані різними...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка