Це можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх до спільного знаменника. Але простіше це можна зробити таким чином. У другому виразі ми маємо, що, звідки очевидно, що другий вираз менший. 2


Скачати 128.21 Kb.
НазваЦе можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх до спільного знаменника. Але простіше це можна зробити таким чином. У другому виразі ми маємо, що, звідки очевидно, що другий вираз менший. 2
Сторінка1/3
Дата14.04.2013
Розмір128.21 Kb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Інформатика > Документи
  1   2   3
Розв’язання завдань ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2011-2012 рік
6 клас
1. Який з двох виразів більший:

чи ?
Відповідь: перший вираз більший.

Розв’язання. Це можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх до спільного знаменника. Але простіше це можна зробити таким чином. У другому виразі ми маємо, що



,

звідки очевидно, що другий вираз менший.
2. Знайдіть найменше чотирицифрове число з усіма різними цифрами, яке ділиться націло на 9.
Відповідь: .

Розв’язання. Число тим менше, чим менше в нього перші цифри. Оскільки число чотирицифрове, то усього у нього 4 цифри, усі за умовою різні. Найменша перша цифра 1, найменша друга цифра – це 0. За таких умов найменша третя цифра – 2. Далі, щоб це число було кратним 9 треба, щоб остання цифра була 6.
3. У кожній клітині шахівниці записане число 0 або 1. Леся порахувала суми чисел у кожному рядку, у порядку зростання вони мали такі значення: 0, 1, 2, 2, 2, 5, 6 та 8. Андрійко підрахував суми чисел у кожному стовпчику і у порядку зростання вони мали такі значення: 0, 2, 2, 3, 4, 4, 5 та 6. Чи не помилився хтось із діток у своїх підрахунках?
Відповідь: хтось із діток помилився.

Розв’язання. Якщо припустити, що Леся правильно все підрахувала, то є рядок, у якому сума чисел дорівнює , у це означає, що цей рядок цілком складається з одиниць, тобто не містить жодного нуля, а це в свою чергу означає, що у кожному стовпчику є принаймні одна одиниця, тобто не може бути жодного стовпчика, у якого сума чисел , а це суперечить числам, що записані Андрієм. Тому хтось помилився.
4. Всередині квадрата зі стороною 6 розмістили 5 однакових прямокутників як це показане на рис. 1 (сторони кожного прямокутника паралельні сторонам квадрата). Знайдіть площу прямокутника.
Відповідь: .

Розв’язання. Нехай менша сторона прямокутника , а більша – . Тоді розглядаючи по горизонталі сторони прямокутників (рис. 1), одержимо таку рівність:

.

Аналогічно по вертикалі маємо, що:

.

Звідси площа прямокутника дорівнює 2.

7 клас
1. Який з двох виразів більший:

чи ?
Відповідь: перший вираз більший.

Розв’язання. Це можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх до спільного знаменника. Але простіше це можна зробити таким чином. Обчислимо вирази: та . Тому, якщо у кожному із заданих виразів розставити дужки таким чином:

та ,

оскільки перший вираз додатній як сума додатних доданків, а другий вираз – від’ємний.
2. Знайдіть найменше п’ятицифрове число з усіма різними цифрами, яке ділиться націло на 9.
Відповідь: .

Розв’язання. Число тим менше, чим менше в нього перші цифри. Оскільки число чотирицифрове, то усього у нього 4 цифри, усі за умовою різні. Найменша перша цифра 1, найменша друга цифра – це 0. За таких умов найменша третя цифра – 2. Для того, щоб число було кратним 9, треба щоб сума цифр була кратною 9, тобто у даному випадку дорівнювати 9 або 18. Сума перших трьох цифр дорівнює 3, тому сума двох останніх цифр повинна дорівнювати 6 або 15. У першому випадку можливі варіанти , , , – жоден з них умову не задовольняє. Для другого варіанту суму можна одержати так: або . Найменше число таким чином утвориться у випадку .
3. Заданий круг та кільце навколо нього, яке розрізане на 11 однакових частин, як це показане на рис. 2. Чи можна пофарбувати одержані 11 частин та круг у три кольори – жовтий, блакитний та червоний таким чином, щоб жодні дві фігури, які пофарбовані у однаковий колір, не мали спільної межі?
Відповідь: не можна.

Розв’язання. Припустимо, що ми можемо це зробити. Без обмеження загальності будемо вважати, що круг у центрі пофарбований у червоний колір. Він має спільну межу з кожним із секторів, тому усі вони повинні бути пофарбовані у жовтий та блакитний кольори. Якщо перший пофарбований у жовтий колір, і оскільки він межує з другим сектором, то другий сектор має бути пофарбований у блакитний колір, далі так само, третій фарбується знову у жовтий, четвертий – у блакитний і т.д. При цьому це єдина можливість потрібного фарбування. Дійдемо до 10 сектора, він повинен бути пофарбованим у блакитний колір. Тому далі 11-й сектор треба пофарбувати у жовтий колір, але тоді він має спільну межу з першим сектором, який так само жовтий. Одержана суперечність показує неможливість указаного фарбування.
4. У чотирикутника такі довжини сторін , , , . Знайдіть довжину діагоналі , якщо відомо, що вона визначається цілим числом.
Відповідь: .

Розв’язання. Позначимо , тоді , крім того, . Звідси, .
5. Леся написала на дошці декілька попарно різних натуральних чисел. Андрійко не зміг серед них вибрати трьох, сума яких кратна 3. Скільки щонайбільше чисел могла написати на дошці Леся?
Відповідь: 4 числа.

Розв’язання. Спочатку наведемо відповідний приклад. Серед чотирьох чисел не можна вибрати шуканих трьох, у чому легко переконатись простим перебором.

Припустимо, що таких чисел можна обрати п’ять. Усього числа можуть мати три різні остачі при діленні на , це числа . Якщо там є такі три, які мають попарно різні остачі при діленні на , то їх сума кратна . Інакше, тоді якоїсь остачі повинно не бути. Тобто різних остач щонайбільше дві, але чисел п’ять, тому якась остача зустрічається принаймні у трьох різних чисел. Тоді вже їх сума кратна . Твердження доведене.
8 клас
1. Обчисліть значення виразу:

.
Відповідь: .

Розв’язання. Позначимо число , тоді заданий дріб можна подати у такому вигляді:


2. Чи існують цілі числа , які задовольняють рівність:

?
Відповідь: таких чисел не існує.

Розв’язання. З трьох цілих чисел принаймні два маю однакову парність, наприклад це числа , тоді сума – парна, звідси кратна , а – ні. Одержана суперечність доводить потрібне.
3. У першій коробці є деяка кількість жовтих м’ячів, а у другій деяка кількість блакитних м’ячів. Андрій бере якусь кількість м’ячів з першої коробки та перекладає їх в другу і перемішує їх там. Після цього Леся перекладає таку ж саму кількість м’ячів з другої коробки у першу. Яких м’ячів більше – жовтих у другій коробці чи блакитних у першій після таких двох перекладань?
Розв’язання. Однакова кількість

Нехай з першої коробки Андрій переклав жовтих м’ячів у другу коробку. Леся переклала м’ячів у першу коробку, серед яких було жовтих. Тоді жовтих м’ячів у другій коробці залишиться , але тоді і блакитних у першій коробці буде також .

що й треба було довести.
4. Знайдіть усі такі прості числа та , для яких число також є простим.
Відповідь: або .

Розв’язання. Без обмеження загальності будемо вважати, що . Простою перевіркою переконуємось, що пара не задовольняє умови.

Якщо – непарні, то вони також умову не задовольняють, оскільки сума парне число більше . Тому одне з них парне, звідси . Залишається з’ясувати при яких простих число – просте. Розглянемо остачу при діленні на . Якщо , то воно не кратне і дає остачу при діленні на або , або , тому дає остачу , звідки ділиться на тобто простим не є. Таким чином єдина можливість, що залишилась – це . Перевіркою переконуємось, що число – просте.



  1   2   3

Схожі:

Знати думку  бажання іншої людини мрія кожного з нас. Але як це зробити?
Але як це зробити? Які тільки пристрої не придумувало людство! Для ідентифікації людини використовують: відбитки пальців, колір радужної...
Скільки різних слів можна утворити переставляючи букви слова “математика”?
При грі в преферанс 32 карти роздаються трьом людям по 10 кожному і 2 залишаються. Скількома способами можна це зробити?
Cкачано с DSMAHELP. ORG. UA
У хірургічне відділення привели чоловіка 35 років, гнійні рани на шиї спереду трахеї (у просторі predvistseralnogo). Де можна поширити...
Тест крок 2012 1
У хірургічне відділення привели чоловіка 35 років, гнійні рани на шиї спереду трахеї (у просторі predvistseralnogo). Де можна поширити...
У футбольній команді (11 гравців) треба вибрати капітана та його...
...
10 “золотих правил виховання щасливих дітей
Створивши сприятливі умови, можна підвищити розумовий розвиток дитини. Тому не гайте часу. Пізніше це зробити набагато важче
Олександр Боргардт Остання ніч Гекати
Нема, навіть, і самої людини. Без цього, гадаю, і саме життя на Землі було би немож­ливе. В середньому виходить не рідше одного разу...
Чи вважаєте ви, що світ, який вас оточує, можна зробити кращим?
Чи вважаєте ви, що ваші ідеї могли б забезпечити значний прогрес у поліпшенні справи освіти?
Тема: "Процеси застосування норм права (стадії, основні вимоги)"
Таким чином, термін "застосування правових норм", який закріпився в теорії права і правозастосувальній діяльності, можна вважати...
Урок можна вважати ефективним, якщо в ньому забезпечується оптимальний...
Чи вдалося вам викликати у дітей стан інтелектуального напруження? Яким чином?  
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка