Завдання ідентифікації у вузькому розумінні полягає в оцінюванні параметрів і станів системи, якщо відома структура моделі («сірий ящик»). Завданням ідентифікації є кількісне оцінювання певних параметрів. Для цього використовується параметрична ідентифікація математичної моделі. Прикладами таких моделей можуть бути диференціальні та різницеві рівняння, моделі типу «вхід – стан – вихід».
На рис. 1.10 зображено загальну схему ідентифікації системи. Вхідні впливи X на систему та модель однакові, виходи системи Ys і моделі Ym у загальному випадку відрізняються. Для їх порівняння потрібно сформувати критерій подібності та мінімізувати його, тобто налагодити модель.
Прикладами моделей, створених на основі експериментальних даних, можуть бути моделі авторегресії різних порядків, ковзного середнього та моделі типу «вхід – вихід», побудовані за допомогою методу найменших квадратів.
Рис. 1.10. Загальна схема ідентифікації системи
1.8.2. Системна динаміка
Для формального представлення моделей неперервних систем Дж. Форрестер у 1960 році запропонував підхід, названий системною динамікою, який дає змогу будувати моделі динамічних взаємопов'язаних систем за допомогою причинних діаграм циклів і схем виду «фонд – потік». Він же запропонував для числового моделювання таких систем мову Динамо. Модель будується як система диференціально-різницевих рівнянь, а мова Динамо дає можливість автоматизувати процес їх написання. Практично всі сучасні засоби неперервного та неперервно-дискретного моделювання базуються на цій мові для побудови моделей. На відміну від математичного розв'язання системи таких рівнянь у замкненому вигляді використовується числове розв'язання з дискретним кроком часу, що дає змогу моделювати на деякому проміжку часу динамічні зміни фондів, пов'язаних з точкою часу і потоків. Фонди та потоки пов'язані між собою через змінні.
Фонд можна трактувати як деяку кількість чого-небудь, що виміряється в певних одиницях (наприклад, фізичних, грошових та ін.). Фонди можуть акумулювати одиниці фонду. Найкраще їх уявляти як резервуари, ресурси або буфери. Фонди поповнюються через вхідні потоки та спорожнюються через вихідні. Як буфер фонд може використовуватись для забезпечення балансування швидкості накопичення та витрачання.
Потік – це процес, що протікає неперервно в часі, оцінити який можна в деяких кількісних одиницях за певний проміжок часу. Залежно від характеристики використання потоки поділяються на обмежені та необмежені, одно- та двоспрямовані, конвертовані та неконвертовані. Потік, як правило, обмежується фондом. Потоком можна керувати, тобто збільшувати або зменшувати його інтенсивність за допомогою деяких алгебричних виразів.
Існує багато різних способів зв'язувати у динамічних моделях причини та наслідки, не розглядаючи конкретні методи. В їх основі лежить кілька підходів. Розглянемо три з них, які наведено на рис. 1.11.
Рис. 1.11. Три підходи до зв'язування причин і наслідків для побудови моделі
Перший підхід полягає в тому, що наслідок виникає з причини і взаємозв'язок між різними причинами відсутній. Такий підхід, наприклад, використовують бухгалтери під час розрахунків. Як правило, для цього застосовують статичні та статистичні моделі.
Другий підхід передбачає, що між причинами та наслідками існує лінійний зв'язок у вигляді ланцюжка. Такий підхід підтримують інженери та науковці, які вважають, що всі події у всесвіті залежать одна від одної. Маючи достатню кількість інформації, можна побудувати залежності в часі для всіх подій у майбутньому. Системні мислителі, які застосовують цю парадигму, користуються діаграмами впливу та моделями лінійних рівнянь і вважають, що завжди можна логічно прослідкувати, «що є на вході і що буде на виході».
Згідно з третім підходом всесвіт розглядається як система зі зворотними зв'язками, тобто ланцюжки причин і наслідків циклічно пов'язані між собою. Таке уявлення підтримують кібернетики, прихильники нелінійної динаміки та хаосу. Вони вважають, що всесвіт значною мірою хаотичний, і передбачити майбутнє з огляду на його минуле неможливо. Ці системні мислителі використовують циклічні причинні моделі, нелінійні рівняння в кінцевих різницях. Часто поведінка таких моделей далека від реальності та інтуїтивного уявлення і може бути дещо несподіваною для дослідника.
На рис. 1.12 зображено найпростішу причинну циклічну модель для деякої популяції, яка має два цикли. Лівий цикл, позитивний, свідчить про приріст популяції в разі збільшення народжуваності, що у свою чергу збільшує народжуваність. Правий цикл, негативний, свідчить про зменшення популяції у випадку збільшення смертності, що у свою чергу зменшує смертність. Такі пари причинних циклів можуть використовуватись під час побудови більш складних динамічних моделей.
Рис. 1.12. Найпростіша причинна модель циклу популяції
Побудова складних динамічних моделей з використанням причинних циклів включає такі етапи.
Абстрагування від фізичної структури.
Концентрація на процесах для визначення траєкторій, за якими система починає та закінчує працювати.
Використання простих диференціально-різницевих рівнянь для опису процесів у системі:
 — показова функція, яка визначає швидкість зміни фонду в часі, де х — фонд (для прикладу з водопостачанням — це швидкість наповнення бака);
 — сигмаїдальна, або логістична, крива, або S-крива;
або системи рівнянь:
 (наприклад, х — кількість травоїдних тварин);
 (наприклад, у — кількість хижаків).
Такі системи рівнянь відомі як рівняння Ланкастера. їх можна використовувати для дослідження складних взаємозв'язків, конкуренції або конфліктів. За допомогою комп'ютерів подібні рівняння можна подати в числовому вигляді. Для цього використовують прості рівняння рекурсії:
Якщо описати дані рівняння словами, то наступний рівень дорівнюватиме попередньому плюс невеличка зміна протягом короткого проміжку часу. Таким способом можна будувати складні динамічні моделі за допомогою створення простих блоків у вигляді відношень і рівнів. У сучасних пакетах моделювання цей процес запису рівнянь автоматизовано із застосуванням ідеографічних схем.
Причинні діаграми циклів дають змогу провадити якісне моделювання, а діаграми «фонд – потік» — кількісне. Щоб пояснити явище, потрібно знайти «причини» його виникнення. Припустимо, що таку причину визначено і наслідок може спостерігатись кожного разу, коли ця причина присутня. Якщо описують ці концепції системного мислення звичайними словами, то використовують слова або фрази «тому що», «завдяки тому, що», «якщо ..., то» та ін. З погляду математики, якщо розглядають функціональну концепцію з однією незалежною змінною, ця змінна — причина, а залежна змінна — наслідок.
У разі кількісного моделювання таких систем модельовані об'єкти — це об'єкти, параметри яких можна виміряти і між якими існують функціональні залежності. Якщо розглядати систему «хижаки – зайці», то в кількісній моделі знищення хижаками деяких зайців — це не знищення тварин, а зменшення їх кількості. Тобто в системі є суттєва різниця між зайцями як тваринами та їх кількістю. Наприклад, вовк може знищити зайців, але кількість вовків не може знищити дещо, а може тільки вплинути на кількість зайців.
Вищенаведені моделі динамічних систем широко використовуються для побудови спеціальних засобів моделювання — мов і пакетів неперервного та неперервно-дискретного імітаційного моделювання.
1.8.3. Теоретико-множинний підхід
Згідно з теоретико-множинним підходом [60] формальна модель динамічної системи має такий вигляд:
|
(1.7)
|
де Т – модельний час; X, Y – множина відповідно вхідних і вихідних змінних; Z – простір станів моделі; z(t) – функція станів, tТ; Р – множина процесів, яка визначається як множина впорядкованих у часі пар елементів  , дe tТ, a – початковий момент модельного часу для процесу рР. Таке визначення задає модель системи у вигляді схеми процесів, у якій множини процесів можуть існувати паралельно в модельному часі Т.
Вважається, що деяка подія з множини подій С зумовлює зміну стану системи, якщо починається певний процес рiР або закінчується деякий процес рjР. У протилежному випадку стан системи не змінюється. Тоді можна задати подійну схему моделі:
|
(1.8)
|
де С — множина подій, що визначається як множина впорядкованих у часі пар елементів  , де сC,  – функція дії для процесу рjP; tТ, а – початковий момент модельного часу Т. У цій схемі процес моделювання описується як послідовність подій, що відбуваються в моделі.
Припустимо, що завдяки виконанню деякої умови u з множини U почне виконуватись певна дія з множини D для деякого процесу рjP. Тоді можна задати модель системи у вигляді схеми дій:
|
(1.9)
|
У цій схемі процес моделювання описується як перевірка всіх умов у разі кожної зміни модельного часу tТ, щоб знайти умову, яка почне певну дію з множини D. Зміна часу t може відбуватись з постійним або змінним від події до події кроком. Схеми моделей (1.7) – (1.9) широко застосовуються під час побудови алгоритмів моделювання і мов дискретного імітаційного моделювання.
Якщо припустити, що виконання деякої множини процесів Р може призвести до зміни станів zZ і виникнення нових процесів, що спричинить появу деякої множини ситуацій L, тобто z(t): Pz L, то отримаємо ситуаційну або причинно-наслідкову схему:
|
(1.10)
|
в якій потрібно описати множину ситуацій та множину правил (алгоритмів), за якими визначають процес, що має виконуватись. Поведінка моделі в таких системах зображується у вигляді ланцюга
{ситуація} {правило} {процес}.
Якщо модель здатна конструювати нові правила на основі існуючих, то вона перетворюється на модель зі штучним інтелектом.
Під час ситуаційного моделювання, як правило, повний опис усіх можливих ситуацій замінюється деякою множиною узагальнених ситуацій, кожна з яких з певною мірою ймовірності відтворює один із можливих станів системи. Для кожної ситуації існує набір правил дії. Вибір того або іншого правила може здійснюватись за деяким критерієм або за допомогою таблиць прийняття рішень, а в простіших випадках — згідно із заданою ймовірністю. Моделювання виконується шляхом програвання різних ситуацій за певним сценарієм, яким у окремому випадку може бути алгоритм моделювання. Таким чином створюють різні ігри, наприклад ділові, військові, економічні, розважальні. Гра — це спрощене відтворення реального процесу, яке здебільшого використовується для навчання, прийняття рішень, проведення досліджень або розваг.
Визначити систему можна не тільки як сукупність елементів, але і як сукупність відношень, спостерігаючи за їх змінами. Перш за все це стосується взаємодії між різними динамічними системами, кожна з яких досить складна. Прикладом можуть бути екологічні та соціальні системи. Під час вивчення таких систем дослідник, базуючись на системному аналізі, вивчає та описує впливи однієї системи на іншу.
1.9. Принципи побудови моделей
Розглянемо коротко основні принципи моделювання, які відображають достатньо багатий досвід, накопичений на даний час у галузі розроблення і використання моделей.
Принцип інформаційної достатності. За повної відсутності інформації про систему модель побудувати неможливо. За наявності повної інформації про систему її моделювання недоцільне. Існує деякий критичний рівень апріорних відомостей про систему (рівень інформаційної достатності), після досягнення якого можна побудувати її адекватну модель.
Принцип доцільності. Модель створюється для досягнення деяких цілей, які визначають на первинному етапі формулювання проблеми моделювання.
Принцип здійсненності. Модель, яка створюється, має забезпечувати досягнення мети дослідження з урахуванням граничних ресурсів з імовірністю, суттєво відмінною від нуля, і за кінцевий час. Звичайно задають деяке граничне значення Р (ступінь ризику) ймовірності досягнення мети моделювання P(t), а також сам граничний термін t досягнення мети. Модель вважають здійсненною, якщо P(t) P.
Принцип множинності моделей. Модель, яка створюється, має відображати в першу чергу ті властивості реальної системи (або явища), які впливають на вибраний показник ефективності. Відповідно під час використання будь-якої конкретної моделі пізнаються лише деякі складові реальності. Для повного її дослідження необхідно мати ряд моделей, які дали б змогу відобразити певний процес з різних боків і з різним ступенем детальності.
Принцип агрегації. У більшості випадків складну систему можна подати такою, що складається з агрегатів (підсистем), для адекватного формального описування яких придатними є деякі стандартні математичні схеми. Принцип агрегації дає змогу досить гнучко перебудовувати модель залежно від завдань дослідження.
Принцип параметризації. У ряді випадків модельована система має у своєму складі деякі відносно ізольовані підсистеми, які характеризуються певними параметрами, у тому числі векторними. Такі підсистеми можна замінювати в моделі відповідними числовими величинами, а не описувати процес їх функціонування. У разі необхідності залежність значень цих величин від ситуації може задаватись у вигляді таблиць, графіків або аналітичних виразів (формул), наприклад за допомогою регресійного аналізу. Принцип параметризації дає змогу скоротити обсяг і тривалість моделювання, але слід мати на увазі, що параметризація знижує адекватність моделі.
Потреба в моделюванні виникає як на етапі проектування систем для оцінювання правильності прийнятих рішень, так і на етапі експлуатації — для оцінювання наслідків внесення змін у системи. У цьому випадку на різних етапах проектування (технічний або робочий проект) з уточненням вихідних даних і виявленням нових суттєвих факторів ступінь деталізації процесу в системі зростає, що має відобразитись у моделі. Отже, у моделі можуть водночас знаходитись блоки з різним ступенем деталізації, які моделюють одні й ті самі компоненти проектованої системи. Іншими словами, під час побудови моделі потрібно застосовувати методологію ітераційного багаторівневого моделювання.
Розроблення моделі доцільно починати зі створення простої вихідної моделі, яку в процесі уточнення вхідних даних і характеристик системи ускладнюють і коригують, тобто адаптують до нових умов. Водночас модель має залишатись досить наочною, тобто її структура має відповідати структурі модельованої системи, а рівень деталізації моделі повинен вибиратись з урахуванням мети моделювання, ресурсних обмежень (наприклад, час, кваліфіковані людські ресурси і кошти, виділені на проектування) і можливості отримання вхідних даних.
Отже, модель має бути багаторівневою, адаптивною, наочною, цільовою, розвиватись ітераційним способом, ускладнюватись і коригуватись у процесі утворення, що можливо тільки за умови побудови її блоковим (модульним) способом. Програмування та налагодження моделі доцільно провадити поетапно, з наступним збільшенням програмних модулів.
Один із способів підвищення ефективності моделювання полягає в тому, щоб не будувати заново модель для кожної нової системи, а вирізняти окремі класи систем і створювати уніфіковані програмні моделі для класів у цілому. Узагальнені програмні моделі дають змогу моделювати будь-яку систему із заданого класу без додаткових витрат на програмування. Така методологія забезпечує єдиний системний підхід до розроблення програмних реалізацій моделей і використовується під час об'єктно-орієнтованого програмування у вигляді бібліотеки класів моделей.
Розглянутий підхід можна реалізувати також у вигляді спеціалізованої мови або пакета моделювання, що дає змогу створювати узагальнені моделі шляхом уведення засобів розмноження підмоделей, реорганізації зв'язків між ними та їх параметричного налагодження. Цей спосіб орієнтовано на фахівців, добре обізнаних з мовою моделювання. Інший спосіб реалізації цього підходу полягає в розробленні діалогових інтелектуальних систем моделювання з використанням банку моделей та бази знань, які користувач може налагоджувати на конкретну реалізацію [29, 32, 44]. У цьому разі етап програмування можна повністю виключити під час програмної реалізації імітаційної моделі завдяки використанню ефективних методів взаємодії з базами даних і застосуванню засобів генерації моделей.
1.10. Технологія моделювання
Основою моделювання є методологія системного аналізу. Це дає змогу досліджувати систему, яка проектується або аналізується, за технологією операційного дослідження, включаючи такі взаємопов'язані етапи:
Формулювання проблеми та змістове поставлення задачі.
Розроблення концептуальної моделі.
Розроблення програмної реалізації моделі (зазвичай застосовується комп'ютерна модель), яка включає:
а) вибір засобів програмування, за допомогою яких буде реалізовано модель;
б) розроблення структурної схеми моделі та складання опису її функціонування;
в) програмна реалізація моделі.
Перевірка адекватності моделі.
Організація та планування проведення експериментів, яке включає оцінювання точності результатів моделювання.
Інтерпретація результатів моделювання та прийняття рішень.
Оформлення результатів дослідження.
На першому етапі замовник формулює проблему:
організовуються зустрічі керівника проекту із замовником, аналітиками з моделювання та експертами з проблеми, яка вивчається;
визначаються цілі дослідження та спеціальні питання, відповіді на які буде одержано за результатами дослідження;
встановлюються критерії оцінювання роботи, які використовуватимуться для вивчення ефективності різних конфігурацій системи;
розглядаються такі показники, як масштаб моделі, період дослідження і необхідні ресурси;
визначаються конфігурації модельованої системи, а також потрібне програмне забезпечення;
провадиться цілеспрямоване дослідження модельованої системи;
залучаються експерти з проблеми, що вирішується, які володіють достовірною інформацією;
збирається інформація про конфігурацію системи і способи експлуатації для визначення параметрів моделі і вхідних розподілів ймовірностей.
На другому етапі розробляється концептуальна модель – абстрактна модель, яка дає змогу виявити причинно-наслідкові зв'язки, властиві досліджуваному об'єкту в межах, визначених цілями дослідження. По суті, це формальний опис об'єкта моделювання, який відображає концепцію (погляд дослідника на проблему). Вона включає в явному вигляді логіку, алгоритми, припущення й обмеження.
Згідно з цілями моделювання визначаються вихідні показники, які потрібно збирати під час моделювання, ступінь деталізації, необхідні вхідні дані для моделювання.
Рівень деталізації моделі залежить від таких чинників:
цілі проекту;
критерії оцінювання показників роботи;
доступність даних;
достовірність результатів;
комп'ютерні можливості;
думки експертів з проблеми, що вирішується;
обмеження, пов'язані з часом і фінансуванням.
Провадиться структурний аналіз концептуальної моделі, пропонується опис допущень, які обговорюються із замовником, керівником проекту, аналітиками та експертами з проблеми, яка вирішується.
Розробляються моделі вхідних даних, провадиться їх статистичний аналіз, за результатами якого визначають розподіли ймовірностей, регресійні, кореляційні та інші залежності. На цьому етапі для попереднього аналізу даних широко застосовують різні статистичні пакети (наприклад, Statistica).
Для динамічних систем провадиться поопераційний аналіз функціонування модельованої системи з детальним описуванням роботи елементів системи. За результатами такого аналізу можна з'ясувати, чи можна вирішити проблему без застосування засобів моделювання. Детально опрацьована концептуальна модель дає змогу замовнику з іншого боку поглянути на роботу системи та, наприклад, визначити вузькі місця системи, які спричиняють зниження її пропускної здатності.
Одна з найскладніших проблем, з якою має справу аналітик моделювання, полягає у визначенні, чи адекватна модель системі. Якщо імітаційна модель «адекватна», її можна використовувати для прийняття рішень щодо системи, яку вона представляє, тобто ніби вони приймались на основі результатів проведення експериментів з реальною системою. Модель складної системи може тільки приблизно відповідати оригіналу, незалежно від того, скільки зусиль затрачено на її розроблення, тому що абсолютно адекватних моделей не існує.
Оскільки модель завжди має розроблятись для певної множини цілей, то модель, яка є адекватною для однієї мети, може не бути такою для дослідження іншої. Слід відзначити, що адекватна модель не обов'язково є достовірною, і навпаки. Модель може бути достовірною, але, в цьому разі, не використовуватись для прийняття рішень. Наприклад, достовірна модель не може бути адекватною з політичних або економічних причин.
Під час розроблення програмної реалізації моделі визначаються засоби для програмування, тобто мови програмування або пакети. Наприклад, можуть використовуватись мови програмування загального призначення, такі як С чи PASCAL, або спеціалізовані засоби для моделювання (наприклад, Arena, AutoMod, Extend, GPSS, iThink). Перевага використання мов програмування полягає в тому, що, як відомо, вони мають невисоку закупівельну вартість, і на виконання моделі з їх допомогою затрачається менше часу. Натомість використання програмного забезпечення моделювання сприяє зменшенню тривалості програмування і вартості всього проекту.
Серед спеціалізованих пакетів для моделювання слід відзначити MATLAB з інтерактивним модулем Simulink. Пакет MATLAB є всесвітньо визнаним універсальним відкритим середовищем, і мовою програмування водночас, в якому інтегровані засоби обчислень, візуалізації, програмування та моделювання.
Здійснюється програмування моделі та її налагодження, виконуються тестові прогони моделі на основі контрольних даних, провадиться аналіз чутливості, щоб визначити, які фактори в моделі суттєво впливають на робочі характеристики системи і мають моделюватись дуже точно. Після кожного з вищезазначених етапів перевіряється достовірність моделі. Перевірку умовно можна розділити на два етапи:
перевірка правильності створення концептуальної моделі, тобто задуму — валідація;
перевірка правильності її реалізації – верифікація [38].
Під час перевірки достовірності потрібно відповісти на запитання про відповідність моделі модельованій системі, тобто визначити, наскільки ізоморфні система та модель. Як правило, у разі моделювання вимога ізоморфізму об'єкта та моделі надмірна, бо в цьому разі складність моделі має відповідати складності об'єкта. Через те будують гомоморфні моделі, в яких виконується вимога однозначної відповідності моделі об'єкту.
На етапі верифікації розглядають, чи правильно перетворено концептуальну модель (модельні припущення) на комп'ютерну програму, тобто виконують налагодження програми моделювання. Це складне завдання, оскільки може існувати безліч логічних шляхів.
Етап перевірки правильності реалізації моделі включає перевірку еквівалентності перетворення моделі на кожному з етапів її реалізації та порівняння станів. У цьому разі модель зазнає таких змін: концептуальна модель –математична модель – алгоритм моделювання – програмна реалізація моделі.
|