1. ПРЕДМЕТ І ЗНАЧЕННЯ ЛОтКИ


Назва1. ПРЕДМЕТ І ЗНАЧЕННЯ ЛОтКИ
Сторінка5/15
Дата15.03.2013
Розмір1.48 Mb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Фізика > Документи
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Мова1 й основні правила виводу логіки висловлювань

Правило виводу — своєрідний трафарет, шаблон, припис, що визначає перехід від засновків до висновку-наслідку, вказуючи, яким чином висловлювання, істинність яких відома, можна видозмінювати, щоб одержати нові істинні висловлювання.

Пропонують і таке формулювання правил виводу: «Правила виводу — це способи логічного переходу від засновків до висновку, які задають правила введення і усунення логічних сполучників» [14].

Правило введення кон'юнкції (ВК):

А

А,АА0Л...АА

1 Z П

Згідно з цим правилом істинні висловлювання завжди можна з'єднувати знаком кон'юнкції. У найпростішому випадку це правило записується так:-— ,що

АлВ означає: якщо висловлювання А, В поодинці істинні,

то істинна і їх кон'юнкція — АлВ. Наприклад: Тарас Шевченко2 — геніальний поет (А). Тарас Шевченко — талановитий живописець (В).

Тарас Шевченко — геніальний поет і (він же) талановитий живописець (АлВ).

Одержаний висновок є істинним, чого не скажеш, наприклад, про складне висловлювання (кон'юнк-цію)«Тарас Шевченко — геніальний поет і живописець», оскільки ознака геніальності в цьому висловлюванні стосується Шевченка і як живописця.

Цей приклад не можна вважати типовим, оскільки суб'єктами простих суджень (кон'юнктів) далеко не завжди виступає одне й те ж поняття. Приклад, як правило, адресується буденній свідомості, здоровому глузду. Тому «типовіші» приклади, що ілюструють правила введення кон'юнкції, здадуться непереконливими для здорового глузду. Скажімо, «"Сім" — просте число, і Київ — столиця України» (АлВ).

Правило усунення кон'юнкції (УК):

А,/А9л...лА

А>

Це правило дозволяє з кон'юнкції висловлювань виводити будь-яке висловлювання, що є її кон'юнк-том.

Наприклад:

У скоєнні цього злочину брали участь А і В (АлВ). У скоєнні цього злочину брав участь А(А).

Правило введення диз'юнкції (ВД): A,vA,v...vA

12 п

Це правило дозволяє до істинного висловлювання приєднувати з допомогою диз'юнкції (нестрогої) інші висловлення. Оскільки ж нестрога диз'юнкція є істинною за умови істинності принаймні одного диз'юнкта, то звідси випливає висновок, що логічне значення приєднуваних диз'юнктів не впливає на утворену диз'юнкцію: вона завжди буде істинною.

Наприклад:

О. Пушкін — геніальний поет.

0. Пушкін — геніальний поет або живописець.

Правила усунення диз'юнкції (УД)

1. Правило усунення строгої диз'юнкції:

A,vA,v...vA

1— 2— — п

A,v...vA А,

Усунення строгої диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:

АуВ АуВ АуВ АуВ

А . В . А . В

В ' А В ' А

2. Правило усунення нестрогої диз'юнкції:

A,vA.v...vA„ A,vA„v...vA

12 п 12 п

А9Л...ЛА„ A,v...vA

А, > А,

Логічний вивід і проблема розв'язання

Усунення нестрого! диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:

AvB AvB А . В

В ' А

У традиційній логіці правило усунення диз'юнкції відповідає схемі розділово-категоричного умовиводу (див. с 195).

Правило введення імплікації (ВІ):

А В-+А

Згідно з таблицею істинності імплікації за умови істинності консеквента вона завжди є істинною. Дати переконливу змістовну інтерпретацію цього правила, мабуть, неможливо.

Правило дедукції є одним із різновидів введення імплікації:

Г, АУ-В Г­(А->В) '

Читається це правило так: «Якщо з гамми засновків Г і формули А можна вивести формулу В, то із засновків Г випливає формула А-+В.

Правило усунення імплікації (УІ):

А-+В А->В

А В~

1. (Modus ponens); 2. —=—(Modus tollens).

Це правило дозволяє за наявності істинного антецедента виводити відповідний консеквент, а за наявності заперечення консеквента — переходити до заперечення антецедента.

Правило введення еквіваленції (BE): А->В В-+А АВ '

Імплікація А-+В означає, що А є достатньою, але не необхідною підставою стосовно В, а В є необхідною, проте недостатньою умовою істинності А. Аналогічно можна охарактеризувати й імплікацію В->А, орієнтуючись на її складові (антецедент і консеквент), а не на буквене їх позначення. За умови істинності А—>В і В—> —>А з цих даних можна вивести еквіваленцію АВ, в якій виражається взаємна необхідність і достатність А і В.

Наприклад:

Якщо трикутник рівносторонній, то він рівнокутний (А->Б).

Якщо трикутник рівнокутний, то він рівносторон-

ній (В—>А).

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли він рівнокутний (АВ).

Правило усунення еквіваленції (УЕ):

1 АВ

А . В . А . В .

В А В~ А

Про правильність перелічених висновків свідчить таблиця істинності еквіваленції, згідно з якою логічне значення її правої і лівої частин збігається: іі; х--х.

Існують й інші правила виводу, котрі часто виділяють в окрему групу: «...в логіці висловлювань існують також правила перетворення суджень, які задаються відповідними рівносильностями (їх ще називають правилами еквівалентної заміни). Знак «=», що з'єднує дві частини кожної формули, які наводяться нижче, означає логічну тотожність цих частин за будь-яких значень пропозиційних змінних (що можна перевірити, склавши для них таблиці істинності). Ці рівносильності служать алгоритмами правомірної трансформації структури логічних виразів, а також правилами переходу до виразів з іншими логічними сполучниками» [15].

Поняття «рівносильність» (=) тотожне поняттю «еквівалентність» (В.

2. CvA.

3. B->D.

4. CAD,

то немає потреби вдаватися до припущення, оскільки четвертий засновок містить пряму інформацію про С і D.

5. Q (усунення кон'юнкції: 4);

6. j=) (усунення кон'юнкції: 4);

7. А (усунення нестрогої диз'юнкції: 2; 5);

8. В (усунення імплікації: 3; 6);

9. В (усунення імплікації: 1; 7);

10. CADAAABAB (введення кон'юнкції: 5; 6; 7; 8; 9).

11. CADAAABAB (усунення подвійного заперечен

ня — УПЗ).

12. CADAAAB (згідно із законом ідемпотентності).

А якщо без припущення не можна обійтися, то яку

ж змінну треба вибирати як припущення? Ту, з якої можна вивести якомога більше наслідків. Так, маючи засновки

1. С-*А.

2. В->С-

3. AvB,

з яких потрібно зробити висновки, ми змушені брати за припущення С, оскільки саме воно дає можливість вивести найбільше висновків. Інші припущення тут неефективні: припущення В дає можливість одержати лише один висновок —С , а припущення А — жодного:

4. С (припущення).

5. А (усунення імплікації: 1; 5).

6. S (усунення імплікації: 2; 5).

7. А (усунення нестрогої диз'юнкції: 3; 6).

Щоб застосувати теорію логічного виводу у розв'язанні практичних задач, потрібно послідовно здійснити кілька операцій. Наприклад, у нас є такі дані:

Коло підозрюваних у скоєнні злочину обмежується чотирма особами: Івановим, Петровим, Сидоровим, Федотовим.

1. Іванов міг брати участь у скоєнні злочину тоді і тільки тоді, коли до цього злочину причетний і Петров.

2. Якщо до цього злочину не причетний Сидоров, то в ньому брав участь Федотов.

3. Відомо, що один і тільки один із підозрюваних Іванов або Сидоров — причетні до цього злочину.

4. Федотов довів своє алібі.

Насамперед потрібно виділити прості судження з цього тексту і позначити їх пропозиційними змінними. Ось ці судження:

1. Іванов брав участь у скоєнні злочину (А).

2. Петров брав участь у скоєнні злочину (В).

3. Сидоров брав участь у скоєнні злочину (С).

4. Федотов брав участь у скоєнні злочину (>). Після цього слід виділити логічні зв'язки, які є в

цьому тексті (і відповідно їх розставити): , у.

Поєднавши пропозиційні змінні (А, В, С, D) відповідними логічними термінами (зв'язками), одержимо такі висловлювання:

1. АВ.

2. С->».

3. АуС;

4. D

Оскільки в нас є пряма інформація про алібі Федотова — D, то немає потреби вдаватися до припущення. Далі вивід будуємо так:

5. С (усунення імплікації: 2; 4).

6. А (усунення строгої диз'юнкції: 3; 5).

7. В (усунення еквіваленції: 1; 6).

8. БлСлАлВ (введення кон'юнкції: 4; 5; 6; 7). Залишається лише зробити переклад одержаного

висновку на природну мову: «Ні Федотов, ні Іванов, ні Петров не причетні до скоєння злочину. Злочин скоїв Сидоров».

Проблема розв'язання і розв'язуючі процедури

Оскільки висновок виводу (останнє у відповідній послідовності, вивідне висловлювання) не завжди з необхідністю випливає із засновків, то доводиться вдаватися до різних процедур, щоб довести, що логічне слідування справді має місце в тому чи іншому виводі. Так, щоб довести, що проголошена нами формула В (теза) є справді істинною, треба підібрати такі фор-мули-аргументи А1лА2л...лАп, з яких за відповідною процедурою можна вивести формулу, що збігається з проголошеною (з тезою), проте на відміну від останньої є достовірною.

Для позначення логічного слідування в логіці застосовують знак «І— » (або« f=»). Вираз «АВ» читається так: «з А логічно випливає В».

Із формули А випливає формула В тоді, коли імплікація «А—їВ» є законом логіки («завжди істинною» формулою). Ось чому (і не тільки тому) знаходження процедури, що дає змогу визначити, до якого класу формул логіки висловлювань («завжди істинних», «завжди хибних» чи виконуваних) належить будь-яка формула, є винятково важливою проблемою логіки висловлювань.

Побудова відповідних таблиць істинності є ефективною лише за умови, коли до розглядуваних формул входить невелике число змінних. В іншому разі вона буде громіздкою, оскільки кількість рядків у таблиці стрімко зростає із збільшенням числа змінних, які входять до формули. Так, якщо формула містить три пропозиційні змінні, то рядків у таблиці буде 8, чотири — 16, п'ять — 32, десять — 1024. До того ж існують інші, менш громіздкі, зручніші процедури, з допомогою яких розв'язуються ці задачі. Йдеться про зведення формул до нормальної форми.

Нормальні форми формул логіки висловлювань

Формула логіки висловлювань має нормальну форму, якщо вона, по-перше, не містить у собі знаків -», , у, а по-друге, знаки заперечення стоять у ній лише при змінних.

Будь-яку формулу, що не має нормальної форми, можна скінченним числом застосувань правил заміни перетворити у формулу, яка має нормальну форму. Ця процедура називається процесом зведення формули до нормальної форми.

Щоб звести формулу до нормальної форми, необхідно зробити в ній такі рівносильні заміни:

1) кожну підформулу типу (А—>В) замінити згідно з рівносильністю 13 формулою (AvB);

2) кожну підформулу типу (АВ) замінити згідно з рівносильністю 16 формулою (AVB)A(BVA);

3) кожну підформулу типу (AvB) замінити згідно з рівносильністю 17 формулою (АУВ)Л(АУВ);

4) кожну підформулу типу (АлВ) замінити згідно з рівносильністю 10 формулою (AvB);

5) кожну підформулу типу (AvB) замінити згідно з рівносильністю 11 формулою (АлВ);

6) кожну підформулу типуіГ замінити згідно з рівносильністю 1 формулою А.

Якщо ж перелічені процедури не можна застосувати до формули, то вона вже має нормальну форму.

Наприклад, дано формулу (pq), яку треба звести до нормальної форми. Згідно з рівносильністю 16 одержимо формулу(p~vq)л(qvp). 3 цієї формули згідно з рівносильністю 10 одержимо формулу(pvq)v(qvp), де підформулі (pvq) відповідає підформула рівносильності А , виражена засобами метамови, а підформулі (FVQ) — В. Вдавшись до рівносильності 11 і застосувавши її до кожного з диз'юнктів одержаної формули, дістанемо формулу (pAq~)v(c[Ap). І нарешті згідно з рівносильністю 1 одержимо формулу (pAq)v(q~Xp).

До нормальних форм формул логіки висловлювань належать передусім кон'юнктивна нормальна форма (КНФ) і диз'юнктивна нормальна форма (ДНФ). Причому кожна з них має свій специфічний спосіб утворення (зведення) і дає змогу розв'язувати відповідні задачі.

Проблема розв'язання

Є три класи формул логіки висловлювань («завжди істинні», «завжди хибні» і невизначені, або виконувані). Завдання, що полягає у відшуканні процедури, котра дає змогу визначити, до якого з перелічених класів належить будь-яка формула, називається семантичною проблемою розв'язання для формул логіки висловлювань. А процедура, що дає змогу скінченним числом простих дій вирішувати проблему розв'язання, називається розв'язуючою процедурою.

Для того щоб одержати розв'язуючу процедуру, достатньо знайти спосіб відрізняти «завжди істинні» Формули від усіх інших. Якщо в результаті застосування такої процедури до формули А виявиться, що вона «завжди істинна», то проблема розв'язання вирішена. Коли ж ця формула виявиться не «завжди істинною», то цю процедуру треба застосувати до фор-мулиА Якщо буде встановлено, що ця формула є «завжди істинною», то звідси випливає висновок: формула А є «завжди хибною». Коли ж буде встановлено, що і формула А не є «завжди істинною», то це свідчить, що формула А є виконуваною, тобто при одних логічних значеннях змінних вона є істинною, а при інших — хибною.

Існує формальна процедура, з допомогою якої, не вдаючись до побудови відповідних таблиць істинності, можна визначати, до якого класу належить будь-яка формула логіки висловлювань — до «завжди істинних», «завжди хибних» чи виконуваних.

Пропозиційна змінна входить до складу формули, зведеної до нормальної форми, регулярно, якщо вона (змінна) входить до складу цієї форми одночасно як із запереченням, так і без заперечення. Якщо ж змінна входить до складу формули, зведеної до нормальної форми, тільки із запереченням або тільки без заперечення, то вона входить до складу формули нерегулярно.

Розв'язуюча процедура передбачає такі дії:

1) зведення формули до нормальної форми;

2) у зведеній до нормальної форми формулі виділення змінних, які входять до неї нерегулярно;

3) замість усіх змінних і заперечень змінних, які входять до формули нерегулярно, слід підставити на всіх місцях, де вони трапляються в нормальній формі, букву х (тобто логічне значення «хиба»);

4) застосування правил заміни згідно з рівносиль-ностями 48, 48', 50 і 50' до всіх підформул одержуваної формули, доки є приводи для його застосування. В результаті такої процедури довжина формули буде скорочуватись, і можуть з'явитися нові змінні, що нерегулярно входять до формули. З ними чинять аналогічно, тобто згідно з пунктами 3 і 4. Передбачувані в пунктах 2—4 перетворення слід повторювати, доки не одержимо формулу, яка не містить у собі змінних, що входять до неї нерегулярно;

5) розгляд наступних двох формул, одержаних з формули, яка не містить змінних, що входять до неї нерегулярно, якщо:

а) замість однієї змінної, яка регулярно входить до формули, в усіх місцях слід підставити і (логічне значення — «істина») і застосовувати правило рівносильної заміни згідно з рівносильностями 43, 47—50;

б) замість тієї ж змінної на всіх місцях підставити букву х (логічне значення — «хиба») і застосовувати правило рівносильної заміни згідно з рівносильностями 44, 47—50.

До формул а і б, якщо це можливо, знову застосовують пункти 2—4, а потім, згідно з пунктом 5, з формул а і б одержують відповідно формули аа, аб, ба і бб тощо, доки не вичерпані можливості застосування пунктів 2—5.

Якщо в результаті застосування цієї процедури до будь-якої формули А всі заключні формули набудуть значення і («істина»), то формула А є «завжди істинною», а якщо хоча б одна заключна формула набуде значення х («хиба»), то формула А не є «завжди істинною»
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Схожі:

ПЕРЕЛІК ОРІЄНТОВНИХ ПИТАНЬ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО СЕМЕСТРОВОГО ЕКЗАМЕНУ З ПСИХОЛОГІЇ
Загальне поняття про психологію, її предмет та завдання психологія як наука і навчальний предмет, її значення
Астрономії. Її розвиток та значення в житті суспільства КОНСПЕКТ...
КОНСПЕКТ УРОКУ Предмет астрономії. Ії розвиток та значення в житті суспільства. Методи та засоби астрономічних спостережень
Календарне планування
...
ПЕРЕЛІК КОНТРОЛЬНИХ ТЕМ І ПИТАНЬ
Предмет, принципи, джерела й значення вивчення курсу «Історія України в контексті всесвітньої історії»
Предмет, завдання і методи патологічної фізіології. Значення експериментального...
Дати студентам уявлення про патофізіологічний експеримент, ознайомити їх з основними видами експерименту і технікою фік­сації лабораторних...
ТЕМА ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ
ПРЕДМЕТ АСТРО­НОМІЇ, її РОЗВИТОК І ЗНАЧЕННЯ В ЖИТТІ СУ­СПІЛЬСТВА. КОРОТКИЙ ОГЛЯД ОБ'ЄКТІВ ДОСЛІДЖЕННЯ В АСТРОНОМІЇ
МІЖНАРОДНИЙ НАУКОВО-ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Поняття кримінально-процесуального доказування та його значення. Предмет доказування
План Вступ Поняття кримінально-процесуального доказування та його...
Судочинства суд, суддя, прокурор, слідчий, особа, яка провадить дізнання, зобов'язані встановити: чи був вчинений злочин, який саме,...
ЗАТВЕРДЖУЮ
Предмет і задачі курсу «Бюджетна система». Місце дисципліні в підготовці бакалаврів-фінансистів. Історія виникнення, значення бюджетної...
Програма курсу Професійна педагогіка наука і навчальний предмет
Профпедагогіка як галузь педагогічної науки, її методологія. Предмет профпедагогіки та предмет навчального курсу. Основні категорії...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка