LXVII Київська міська олімпіада юних математиків Умови та розв’язки по усіх класах


Скачати 239.15 Kb.
Назва LXVII Київська міська олімпіада юних математиків Умови та розв’язки по усіх класах
Сторінка 3/4
Дата 08.04.2013
Розмір 239.15 Kb.
Тип Документи
bibl.com.ua > Математика > Документи
1   2   3   4

5. (Сенін Віталій) Для додатних чисел a, b, c доведіть нерівність:

.
Розв’язання. Слід зауважити, що нерівність симетрична, тобто від обміну будь-яких двох змінних місцями не змінює свого вигляду. Тому без втрати загальності можемо вважати, що . Якщо перенести всі доданки в один бік та згрупувати їх відповідним чином, нерівність набуває такого вигляду:

.

Після множення кожного доданку на спряжене одержимо, що треба довести таку нерівність:

.

Оскільки , достатньо довести, що

.

Якщо , то в обох частинах нерівності стоять нулі. Інакше можемо скоротити обидві частини на . Далі, оскільки , нам достатньо довести таку нерівність:

.

Остання нерівність справджується, оскільки

та .

Нерівність доведена.
10 клас
1. Для шести цілих чисел a, b, c і A, B, C справджуються співвідношення:

, , , .

Знайдіть числа a, b, c, для яких сума набуває найменшого можливого значення.
Відповідь: .

Розв’язання. Розв’яжемо задану систему рівнянь відносно чисел a, b, c. З перших двох рівнянь маємо, що . Додаємо це до третього рівняння і знаходимо, що

.

Аналогічно або з міркувань симетрії знаходимо, що

та .

Найменша можлива сума досягається для трьох найменших різних квадратів цілих чисел: . Але для такої трійки квадратів числа a, b, c не будуть цілими, наприклад . Наступна за величиною суми трійка квадратів — числа . Для цієї трійки значення a, b, c є цілими, а отже шуканими:

, , .
2. (Рубльов Богдан) Послідовність дійсних чисел , , , ..., задовольняє умови:

.

Яких значень може набувати різниця ?
Відповідь: 0.

Розв’язання. Нехай . Можемо записати рівності:

...,

Якщо , додамо ці рівності і скоротимо все на k, унаслідок чого матимемо таку рівність:

.

Але незалежно від знака перед 1 ми не можемо одержати в результаті 0, адже модуль суми решти доданків менший за 1. У цьому легко переконатися з допомогою формули для суми членів геометричної прогресії:

.

Отже, випадок неможливий. Тоді , звідки , тобто .
3. Для кожного натурального n знайдіть кількість наборів , які є перестановками чисел і задовольняють умову:

.
Відповідь: при є один набір, що задовольняє умову задачі; при — два набори; при інших значеннях n таких наборів не існує.

Розв’язання. При існує тільки тривіальна перестановка (1), яка, очевидно, задовольняє умову. Хай . Тоді і для всіх можливих перестановок, а тоді й лише тоді, коли — парне, тобто дорівнює 2. Тож маємо дві перестановки, що задовольняють умову: (1, 3, 2) і (3, 1, 2).

Нехай тепер або і — набір чисел, який задовольняє умову. Тоді сума повинна ділитися на n. Якщо n — парне, тобто , то , суперечність. Таким чином, парним n бути не може.

Хай тепер — непарне число, тобто , . Тоді , і для має виконуватись умова . Перепишемо її таким чином:

.

Оскільки , то , і цей вираз може ділитися на лише за умови, що він дорівнює 0, тобто , а .

Аналогічно, . Звідси маємо, що

.

Оскільки , то , а враховуючи, що , цей вираз може ділитися на лише за умови, що він дорівнює 0, тобто також дорівнює . Але це неможливо, оскільки серед чисел набору значення має траплятися рівно один раз. Одержана суперечність показує, що і для непарного наборів, які задовольняють умову задачі, не існує.
4. (Рожкова Марія) У трикутнику ABC зі сторонами розглядаються кути між висотою та медіаною, що проведені з однієї вершини. З’ясуйте, при якій вершині цей кут є найбільшим із трьох.
Відповідь: при вершині B.

Розв’язання. Позначимо стандартним чином сторони трикутника через a, b, c. Тоді за умовою . Позначимо висоту та медіану з вершини B через та відповідно (рис. 7). Тоді кут, який нас цікавить, — це , при цьому . Аналогічно визначаються косинуси інших досліджуваних кутів. Щоб довести, що саме при вершині B кут найбільший, достатньо показати, що косинус цього кута — найменший, тобто . Доведемо для цього, що

та .

Щоб це зробити, використаємо такі формули для обчислення висоти та медіани:

та .

Перша нерівність еквівалентна такій:



.

Остання нерівність справджується, оскільки за умовою .

Аналогічно, для другої нерівності маємо:

.

Остання нерівність, знову ж таки, справджується, оскільки .
1   2   3   4

Схожі:

*Конкурс юних математиків (збірна команда з представників усіх класів з різних країн)
Прибуття в Туреччину/Анталію. Трансфер з аеропорту. Заїзд і розміщення в готелі. Реєстрація учасників. Відпочинок. 19. 00-21. 00...
ЦІКАВІ ФАКТИ ПРО ВИДАТНИХ МАТЕМАТИКІВ
Сьогодні ми з вами згадаємо прізвища відомих математиків, цікаві історич-ні факти про деяких з них. Життя і діяльність математиків...
Урок №7 Тема. Розв'язування задач
Мета: доповнити знання учнів поняттями: «достатня та необхідна умови», «критерій»; відпрацювати вміння відрізняти необхідні та дос­татні...
КВК між командами 10 класу
Ми дуже раді привітати вас на нашому конкурсі веселих і кмітливих. Сьогодні ви будете свідками найцікавішої боротьби юних веселих...
«Розв’язування текстових задач в 5-6 класах»
Урок математики для 5 – 6 класів на тему «Розв’язування текстових задач в 5-6 класах»
Обласна олімпіада юних хіміків 2009р
Обчисліть, скільки атомів Цинку міститься у сплаві цинку з міддю масою 300 г, якщо масова частка міді у сплаві становить 40%
Умови проведення І обласного турніру юних хіміків та особливості підготовки
Турнір юних хіміків проводиться відповідно до «Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади з базових і спеціальних дисциплін,...
Розв’язування квадратних рівнянь
...
Всеукраїнська учнівська олімпіада з української мови та літератури
Укажіть рядок, у якому правильно вжито форми усіх складених кількісних числівників?
УКРАЇНА БОГОРОДЧАНСЬКА РАЙОННА ДЕРЖАВНА АДМІНІСТРАЦІЯ ІВАНО-ФРАНКІВСЬКОЇ...
«Про проведення І, ІІ етапів Всеукраїнських учнівських олімпіад у 2012-2013 н р.», у зв’язку з проведенням у період з 29 жовтня по...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка